Introducción a la probabilidad Introducción a la probabilidad ...

Introducción a la probabilidad 

Introducción 

Estadística: Profesora María Durbán 

Fenómenos y experimentos aleatorios 

Concepto de probabilidad y propiedades 

Estimación de la probabilidad en la práctica 

Equiprobabilidad 

Métodos combinatorios 

Probabilidad condicionada 

Concepto y propiedades 

Independencia de sucesos 

Teorema de Bayes 













1 

3 


Objetivos del tema: 

Al final del tema el alumno será capaz de: 

Comprender y describir los sucesos de un experimento mediante 

gráficos, tablas, etc. 

Calcular probabilidades de sucesos simples y compuestos 

Interpretar y calcular probabilidades condicionadas 

Determinar la independencia de sucesos y utilizarla para calcular 

probabilidades 

Utilizar el Teorema de Bayes para el cálculo de probabilidades 

condicionadas 




Un investigador puede tener el objetivo de: 

Describir los resultados de un experimento concreto 

Estadística descriptiva 

Extraer conclusiones generales aplicables en situaciones similares 

Inferencia Necesitamos probabilidad 

El cálculo de probabilidades nos proporciona las reglas para el estudio de 

experimentos con un componente aleatorio 

2 

4















Ejemplo 

Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre 

Repetimos el experimento en distintas partes 

Obtenemos distintos resultados 

Debido a las variables no controladas 

Errores de medida 

Impurezas del cobre 

Calibre del cable 

5 

7 


Experimento: Proceso de observar una característica 


Ejemplos 

Lanzar una moneda tres veces y observar el número de caras 

Medir la corriente en un cable de cobre 

Contar el número de llamas que llegan a una centralita en una hora 

Medir la resistencia a la compresión del hormigón 



Ejemplo 

Medir la corriente que atraviesa un cable de cobre 

Repetimos el experimento en distintos momentos 

6 

8


Si esta variabilidad es pequeña no afectará a los resultados del experimento 

Si la variabilidad es alta puede encubrir resultados importantes 


Nuestro objetivo 



Sucesos 

Cuando se realiza un experimento aleatorio diversos 

resultados son posibles. El conjunto de todos los 

resultados posibles se llama espacio muestral (E). 

Se llama suceso a un subconjunto de resultados 

Suceso elemental 

Siempre ocurre uno de ellos 

Son mutuamente excluyentes 

Suceso compuesto 

Uniones de sucesos elementales 

E espacio muestral 


9 

11 


Diremos que un experimento es aleatorio si ve verifican las siguientes condiciones: 

1. Puede repetirse indefinidamente, siempre en las mismas condiciones 

2. Antes de realizarlo no se puede predecir el resultado que se va a obtener 

3. El resultado que se obtenga, pertenece a un conjunto previamente conocido 

de posibles resultados 




Sucesos 

Se llama suceso contrario (complementario) de un 

suceso A, al formado por los sucesos que no están en A 

El suceso seguro, E, es aquel que siempre ocurre al realizar 

el experimento 

El suceso imposible, Ø, es aquel que nunca ocurre como 

resultado del experimento 


10 

A A 


12



Operaciones con sucesos 

Se llama suceso intersección de A y B, A∩B o AB, al 

formado por los resultados experimentales que están 

simultáneamente en A y B 

Se dice que dos sucesos A y B son incompatibles si no 

pueden ocurrir a la vez, A∩B=Ø 



A 

B 

INTERSEC. 



Ejemplo 

Se utiliza una balanza digital para pesar las piezas producidas por una 

máquina. 

A → Peso ≥ 11gr 

B →Peso ≤ 15gr 

C →Peso≤5gr C 

A 

A 

B 

13 


Se llama suceso unión de A y B, AUB, al suceso formado por los resultados 

experimentales que están en A o en B (incluyendo los que están en ambos) 

Se llama suceso diferencia de A y B, A-B, al formado por todos los sucesos 

de A que no están en B, es decir, A∩B 


Operaciones con sucesos 


A 

Consecuencia: 

A = E-A 

15 

B Estadística: Profesora María Durbán 

B 


A 

B 

UNIÓN 



Ejemplo 


máquina. 



C →Peso≤5gr B 

A 

B 

A I B →11gr ≤Peso ≤15gr 

B U C →Peso ≤15gr 

AIC→∅ B−C → 5< Peso≤15gr 11 15 

A 

14 

16



Ejemplo 


máquina. 





B 



AIC→∅ B−C → 5< Peso≤15gr Fenómenos y experimentos aleatorios 

Ejemplo 


máquina. 




15 



AIC→∅ B−C → 5< Peso≤15gr 17 



Ejemplo 


máquina. 



C →Peso≤5gr 19 

5 B 

15 Estadística: Profesora María Durbán 

C 

∅ 



AIC→∅ B−C → 5< Peso≤15gr Fenómenos y experimentos aleatorios 

Hay ciertas propiedades de la unión, intersección y suceso contrario que son 

conocidas bajo las leyes de Morgan 

AUB=AIB AIB=AUB Leyes de Morgan 


A 

B 


A 

B 

Intersección de 

Unión de 

A 

A 

B 

18 

20





Concepto Concepto de de probabilidad probabilidad y propiedades 

propiedades 









En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite 

aumenta, la frecuencia relativa 

o 

n de veces que ocurre A 

f n(A) 

= 

n 

converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad: 

Pr(A) lim f (A) 

= n →∞ 

n 

También podemos entender la probabilidad como el grado de certeza que 

se posee sobre un suceso, basada en experiencias previas 

La probabilidad depende del grado de información disponible: 

Los sucesos posibles al realizar el experimento 

21 


En un experimento aleatorio, cuando el número de veces que se repite 

aumenta, la frecuencia relativa 

o 

n de veces que ocurre A 

f n(A) 

= 

n 

converge hacia una cantidad que llamamos probabilidad: 

Ejemplo 

Frecuencia relativa del número de 

caras obtenidos en lanzamientos 

sucesivos de una moneda 

Converge a 1/2 


La evidencia empírica existente respecto a la ocurrencia de los 23 

Estadística: Profesora sucesos María Durbán 


Pr(A) lim f (A) 

= n →∞ 


Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que 

asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas 

(axiomas) 

1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø 

El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos: 

A1 

A2 

A A 

4 

4 

A3 

n 

⎛ ⎞ 

Pr ⎜ A ⎟= 

Pr A 

⎝ ⎠ ∑ U 

5 5 

i i 

i=1 i= 1 

( ) 

22 

24


Dado un espacio muestral, E, definimos probabilidad como una función, P, que 

asigna a un suceso A un valor numérico P(A), verificando las siguientes reglas 

(axiomas) 

1. 0≤P(A) ≤1 2. P(E)=1 3. P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø 

El tercer axioma se generaliza a cualquier número de sucesos de disjuntos: 

A1 


A2 

A A 

5 

4 


A3 

⎛ ⎞ 

Pr ⎜ A ⎟= 

Pr A 

⎝ ⎠ ∑ 

5 

i 

5 

i 

i=1 i= 1 

U 

( ) 


Estos axiomas no asignan probabilidades a sucesos, pero facilitan el cálculo de 

probabilidades de unos sucesos a partir de la probabilidad de otros: 

1. 

P(A) = 1 - P(A) 

2. 

P( ∅) 

= 0 ∅= E →Pr( ∅ ) = 1− Pr( E) 

= 1− 1 = 0 

3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 

5. P(A ∪B) = P(A) + P(B) - PA ( ∩B) 

25 

27 




1. 

P(A) = 1 - P(A) E = A∪A→ 1= Pr(A) + Pr(A) 

2. 

P( ∅) 

= 0 

3. Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 

5. P(A ∪B) = P(A) + P(B) - PA ( ∩B) 





1. 

P(A) = 1 - P(A) 

2. 

P( ∅) 

= 0 

3. 

Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

4. P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 

5. P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) 


B = A ∪(B ∩A) → Pr(B) = Pr(A)+Pr(B ∩A) 

26 

28




1. 

P(A) = 1 - P(A) 

2. 

P( ∅) 

= 0 

3. 

Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

4. 

P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 

5. P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) 


P(A) 

+ 

_ 

P(B) 

P(A ∩ B) 

P(A U B) 


A 

B 

B = (A∩B) ∪(B∩A) Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B ∩A) 

Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(B-A) 


P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) 

A o B 

29 

31 




1. 

P(A) = 1 - P(A) 

2. 

P( ∅) 

= 0 

3. 

Si A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B) 

4. 

P(B-A) = P(B) - P(A ∩ B) 

5. 

P(A ∪B) = P(A) + P(B) - P(A ∩B) 

A∪B=(A-B) ∪(B-A) ∪(A∩B) Pr(A ∪B)=Pr(A)-Pr(A ∩B)+Pr(B)-Pr(A ∩B)+Pr(A ∩B) 



1. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un faro sea satisfactoria? 

2. ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga 

duración satisfactoria? 

32 


Ejemplo: Faros de coche 

Un fabricante de faros de coches controla con regularidad la duración y la 

intensidad de la luz cuando son sometidos a elevada humedad y temperatura. 

En la siguiente tabla se presentan las probabilidades de tener un comportamiento 

satisfactorio en cuanto a intensidad y duración: 

Intensidad 

Satisfactorio 

No Satisfactorio 

Satisfactorio 

0.9 

0.062 

Duración 


0.023 

0.015 

30


Intensidad 



Satisfactorio 


A → Satisfactorio en intensidad 

B Satisfactorio en duracion 

Satisfactorio 

0.9 

0.062 

Duración 

→ Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B) 


0.023 

0.015 


Intensidad 


Satisfactorio 




Satisfactorio 

0.062 

Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B) 

0.015 

¿Pr(B)? B = (A∩B) ∪(A∩B) Pr(B) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.062 = 0.962 

35 


Tercer Axioma P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø 

0.9 

Duración 

→ Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B) 


0.023 

33 




Intensidad 



Satisfactorio 




Satisfactorio 

0.9 

0.062 

Duración 

→ Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B) 


0.023 

0.015 



¿Pr(B)? B = (A∩B) ∪(A∩B) Concepto de probabilidad y propiedades 

Intensidad 


Satisfactorio 




Satisfactorio 

0.062 

0.023 

0.015 

Pr(A) = Pr(A ∩ B) + Pr(A ∩ B) = 0.9 + 0.023 = 0.923 Pr(B) = 1− Pr(B) = 1− 0.962 = 0.038 


0.9 

Duración 

→ Pr(A ∩ B) Pr(A ∩ B) 


34 


2. ¿Cuál es la probabilidad de que un faro tenga intensidad satisfactoria o no tenga 

duración satisfactoria? 

Pr(A ∪ B) = Pr(A) + Pr(B) −Pr(A ∩B) 

Pr(A ∪ B) = 0.923 + 0.038 − 0.023 = 

0.938 

36






Estimación Estimación de la probabilidad probabilidad en la práctica práctica 








Lanzamiento de una moneda 

Lanzamiento de un dado 


Ejemplos 

Extracción de cartas de la baraja 

{ } 

E = C, X → Pr( C) 

= 1/2 

E = { 1, 2,3, 4,5,6 } → Pr(3) = 1/ 6 

Pr(Sacar una carta de oros) = 10 / 40 

E = { As de copas, dos de copas.... } 

37 

39 




Si un experimento cualquiera puede dar lugar a un número finito de resultados 

posibles, y no hay razón que privilegie a un resultado frente a otro. Calcularemos 

la probabilidad de un suceso de la forma siguiente: 

Dado un suceso compuesto A que contiene f sucesos elementales, su 

probabilidad será: 


casos favorables( f ) 

Pr( A) 

= 

casos posibles( n) 

1 

n 

Probabilidad de cada 

suceso elemental 

Regla de Laplace 



En ocasiones no es fácil determinar los sucesos elementales contenidos en un 

suceso A: 

Ejemplo: Lote de ordenadores 

En un lote de 9 ordenadores hay 3 que son defectuosos, el comprador del lote lo 

rechazará si al inspeccionar dos de ellos elegidos al azar resultan ser defectuosos: 

¿Cuál es la probabilidad de que el comprador rechace el lote? 

A → Rechazar el lote = Encontrar dos defectuosos 

A 

casos favorables 

= 

casos posibles 

De cuántas maneras puedo 

seleccionar 2 defectuosos 


seleccionar dos ordenadores 

Pr( ) 

38







¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 defectuosos? 








De 3 maneras 

41 

43 














¿De cuántas maneras puedo seleccionar 2 ordenadores de entre los 9? 

42 

44



Combinatoria 

Nos ayuda a calcular el número de reordenaciones de objetos tomados 

de en 

k k 

IMPORTA EL ORDEN 

VARIACIONES 

NO IMPORTA EL 

ORDEN 

COMBINACIONES 

SIN 

REEMPLAZAMIENTO 

(o sin repetición) 

k n! 

Vn 

= 

( n−k)! Si n= k →Permutaciones 

k ⎛n⎞ Cn 

= ⎜ ⎟ 

⎝k⎠ n 

CON 

REEMPLAZAMIENTO 

(o con repetición) 

CR 

VR = n 

k 

n 

k k 

n 

⎛n+ k−1⎞ 

= ⎜ ⎟ 

⎝ k ⎠ 







Los ordenadores se eligen simultáneamente sin reemplazamiento 

El orden dentro del grupo no importa Combinaciones 

Pr( A) 



= De cuántas maneras puedo 

seleccionar 2 ordenadores 

Hay 9 ordenadores en el lote 

45 

2 9! 

C 9 = = 36 

2!7! 

47 










Pr( A) 

= 




seleccionar 2 defectuosos 

2 3! 

C 3 = = 3 

2!1! 

Hay 3 ordenadores defectuosos 








3 

Pr( A ) = 

36 

46 

48




A 












B 


P(A) = 0,25 

P(A) = 0,25 

P(B) = 0,10 

P(B) = 0,10 

P(A∩B) = 0,10 

P(A∩B) = 0,08 

B⊂ A⇒ Pr( A| B) 

= 1 

Pr( A∩ B) 

Pr( A| B) 

= 

Pr( B) 

Pr(A|B)=1 Pr(A|B)=0,8>Pr(A) 

A 

B 

49 





Centra el foco de atención en el hecho 

que se sabe que ha ocurrido el evento B 

A 

. 

B 

Estamos indicando que el espacio 

muestral de interés se ha “reducido” sólo a 

aquellos resultados que definen la 

ocurrencia del evento B 

Entonces, P(A | B) “mide” la probabilidad 

A|B 

2 casos favorables 

relativa de A con respecto al espacio 

reducido B 

5 casos posibles 

2 2/9 Pr( A∩ B) 

Pr( A| B) 

= = = 

5 5/9 Pr( B) 

50 

A 



B 

P(A) = 0,25 

P(B) = 0,10 

P(A∩B) = 0,005 

Pr(A|B)=0,05





B⊂ A⇒ Pr( A| B) 

= 1 

A∩ B=∅⇒ Pr( A| B) 

= 0 Importante: 

Pr( B ) > 0 

Pr( A∩B) Pr( A| B) 

= 

Pr( B) 

⇒Pr( A | B) ≥Pr( A∩B) ⇓ 

Pr( A∩ B) = Pr( A| B)Pr( B) 

= Pr( B | A)Pr( A) 

≤ Pr( A) 

≤ Pr( B) 



Diremos que dos sucesos son independientes si el conocimiento de la ocurrencia 

de uno no modifica la probabilidad de ocurrencia del otro 

A y B son independientes si: 

Pr( A | B) = Pr( A) 

Pr( B| A) = Pr( B) 

Pr( A∩ B) = Pr( A| B)Pr( B) = Pr( A)Pr( B) 

53 

55 

Por lo tanto el 90% 

no tienen fallos 

visibles en la 

superficie. 

También se ha encontrado que el 

5% de la piezas que no tienen 

fallos superficiales son 

funcionalmente defectuosas 



Pr( A| B ) = 0.05 

100% piezas 

Manufacturadas 

Se ha encontrado que el 25% 

de las piezas con fallos 

superficiales son 


Pr( A| B ) = 0.25 

Se sabe que el 10% de las 

piezas manufacturadas 

tienen fallos visibles en la 

superficie. 

Pr( B ) = 0.9 

Pr( B ) = 0.1 

Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa} 

B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie} 

¿Qué porcentaje de piezas tiene fallos y no es funcionalmente defectuosa? 

Pr( A∩ B) = Pr( A| B) Pr( B) = (1− Pr( A| B)) Pr( B) 

= 0.75× 0.1 = 0.075 →7.5% 

54 



Ejemplo 

Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de 

un sistema. 

Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione 

correctamente. 

A B 

56



Ejemplo 

Una aplicación del concepto de independencia es el cálculo de la Fiabilidad de 

un sistema. 

Se denomina Fiabilidad de un sistema a la probabilidad de que el sistema funcione 

correctamente. 

Si la probabilidad de que un interruptor cualquiera esté cerrado es 0.99, ¿cuál es la 

probabilidad de que pase corriente de A a B? 

A 1 

A 3 


A B 

2 

Pr(pasar corriente de A a B) = 0.99 = 0.9801 


A 2 

A 4 


Consideramos un experimento que se 

realiza en dos etapas: en la primera, 

los sucesos posibles 

A 1 , A 2 , A 3 , A 4 … 

Son tales que la unión de todos ellos 

forman el espacio muestral, y sus 

intersecciones son disjuntas. 

57 

59 



Ejemplo 

Aunque la fiabilidad de cada componente sea alta, si hay muchos componentes, la 

fiabilidad del sistema puede ser baja. 

Para aumentar la fiabilidad podemos poner varios sistemas en paralelo: 

1 2 

S1 A B 

A 1 

A 3 

3 S2 4 

Pr(pasar corriente de A a B) = Pr(S1∪S 2) 

= 1−Pr(no pasar corriente de A a B) 

( ) 

1−Pr(S ∩ S ) = 1− Pr(S ) Pr(S ) 

1 2 1 2 

Pr(S 1) = 1− Pr(S 1) 

= 1− 0.9801 = 0.0199 

2 

Pr(pasar corriente de A a B) = 1− 0.0199 = 0.9996 


Ha aumentado la fiabilidad en un 2% 


B 

A 2 

A 4 


En la segunda etapa, todo suceso B 

depende de lo sucedido en la primera 

etapa y puede ser descompuesto en 

sucesos disjuntos 

B = (B∩A 1 ) U (B∩A 2 ) U ( B∩A 3 ) U ( B∩A 4 ) 

58 

60

A 1 

A 3 

B 



A 2 

A 4 


P(B) = P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) 

Si conocemos la probabilidad de que 

ocurra B habiendo ocurrido A i , 

entonces podemos calcular la 

probabilidad de B. 

Tercer Axioma 

P(AUB)=P(A)+P(B) si A∩B=Ø 

=P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + P(B|A 3 ) P(A 3 ) + P(B|A 4 ) P(A 4 ) 

A 1 

A 3 



B 

A 2 

A 4 

…si ocurre B, podemos calcular la 

probabilidad (a posteriori) de 

ocurrencia de cada Ai . 

Pr(A ∩ B) 

Pr(B|A i) Pr(A i) 

Pr(A i|B) 

= 

Pr(B) 

donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: 

P(B) =P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + P(B|A 3 ) P(A 3 ) + P(B|A 4 ) P(A 4 ) 

i 

61 

63 

A 1 

A 3 

B 



A 2 

A 4 


P(B) = P(B∩A 1 ) + P(B∩A 2 ) + P( B∩A 3 ) + ( B∩A 4 ) 

Si conocemos la probabilidad de que 

ocurra B habiendo ocurrido A i , 

entonces podemos calcular la 

probabilidad de B. 

Probabilidad Condicionada 

P(A∩B)=P(A|B)P(B) 

=P(B|A 1 ) P(A 1 ) + P(B|A 2 ) P(A 2 ) + P(B|A 3 ) P(A 3 ) + P(B|A 4 ) P(A 4 ) 

Por lo tanto el 90% 

no tienen fallos 

visibles en la 

superficie. 


También se ha encontrado que el 

5% de la piezas que no tienen 

fallos superficiales son 


Pr( A| B ) = 0.05 

100% piezas 

Manufacturadas 

Se ha encontrado que el 25% 

de las piezas con fallos 

superficiales son 


Suceso A = { pieza funcionalmente defectuosa} 

B = { pieza tiene una fallo visible en la superficie} 

Pr( A| B ) = 0.25 

2. Si sabemos que la pieza es funcionalmente defectuosa, ¿cuál es la 

Estadística: probabilidad Profesora María Durbán que no tenga fallos superficiales? 

62 

Se sabe que el 10% de las 

piezas manufacturadas 

tienen fallos visibles en la 

superficie. 

Pr( B ) = 0.9 

Pr( B ) = 0.1 

1. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza sea funcionalmente defectuosa? 

64



probabilidad que no tenga fallos superficiales? 

Pr(A) 

Pieza 



0.1 

0.9 


Pr(B|A) 

B 

B 

0.25 

0.75 

0.05 

0.95 


A|B 

A|B 

A|B 

A|B 


probabilidad que no tenga fallos superficiales? 

Pr(A|B) Pr(B) 0.05× 0.9 

Pr(B|A) = = 

Pr(A) 0.25× 0.1+0.05× 0.9 

= 

0.045 

= 0.64 

0.07 

0.25 

A|B 

Pieza 

0.1 

0.9 

B 

B 

0.75 

0.05 

0.95 

A|B 

A|B 

A|B 

65 

67 

Pieza 




Pr(A) = Pr(A|B) Pr(B) + Pr(A|B) Pr(B) 

= 0.25× 0.1+0.05× 0.9=0.07 

0.1 

0.9 

B 

B 

0.25 

0.75 

0.05 

0.95 

A|B 

A|B 

A|B 

A|B 

66

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