Apuntes de rectas

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P ( 2; 1)S Q(4; 3)S Geometría Plana 12 ! ( ! OP ( 2; 1)! u1; ! u2 ! OQ(4; 3)! u1; ! u2 Como ! OI = 1 ! OP + 2 ! OQ entonces ! OI = 1 (( 2; 1) + (4; 3)) = (1; 2) 2 Por lo que, el punto I tiene de coordenadas en el sistema de referencia S I = (1; 2) Ejemplo b) Dado el sistema de referencia S = fO; ! u1; ! u2g y dados los puntos P y I cuyas coordenadas en S son respectivamente P ( 2; 1); I(4; 3). Determina las coordenadas del punto Q sabiendo que I es el pto medio del segmento P Q Como ! OI = 1 2 P ( 2; 1)S Q(a; b)S ! ! OP + ! OQ entonces ( ! OP ( 2; 1)! u1; ! u2 ! OQ(a; b)! u1; ! u2 ! OI = 1 1 (( 2; 1) + (a; b)) = 1 + 2 2 a; 1 1 + 2 2 b Al ser I = (4; 3) ! ! OI = (4; 3) Igualando componente a componente con la expresión anterior tendremos 1 + 1a = 4 a = 10 2 ! b = 3 b = 5 1 2 + 1 2 ! Q(10; 5)
Geometría Plana 13 2. La recta Una recta, r, en < 2 queda unívocamente determinado si conocemos un punto P y un vector ! v n (paralelo a r) denominado vector director de la recta r = X 2 < 2 = ! P X == ! o v 2.1. La recta. Ec. vectorial y ecuaciones parámetricas. Como ! P X == ! un único real = v !existirá ! P X = ! v En virtud de la relación de Chasles ! P X = ! OX ! OP Por nlo tanto r = X 2 < 2 = ! OX ! OP = ! o v Despejando el vector ! OX tendremos ! OX = ! OP + ! v (Ecuacion vectorial de la recta) Si r P (a1; a2) ! v = (v1; v2) y el pto genérico X del plano tiene por coordenadas (x; y); entonces sustituyendo en la ecuación vectorial tendremos: x y = a1 a2 + Operando e igualando componente a componente, tendremos x = a1 + v1 y = a2 + v2 v1 v2 (Ecuacion vectorial recta bis) (Ecuaciones parametricas) Nota 1: Conocidas las ecuaciones paramétricas de una recta, si asignamos valores al parámetro obtenemos diferentes puntos de la recta Nota 2:Una recta también queda univocamente determinada si conocemos dos puntos A y B de ésta. Bastará con considerar como vector director ! AB o el vector ! BA 2.2. Ecuación continua de la recta. Sólo existe si v1; v2 son no nulos Despejando de las ecuaciones paramétricas e igualando posteriormente el parámetro x a1 v1 = y a2 v2 x = a1 + v1 y = a2 + v2 tendremos x a1 v1 y a2 v2 (Ecuacion continua de la recta) Nota A partir de la ecuación continua, también podemos obtener los siguientes tipos de ecuaciones = = 9 >= >;
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