Apuntes de rectas

Geometría Plana 4
1.3. Fórmulas de cambio de sistema de referencia. Dados los siguientes
sistemas de referencia S = fO; ! u1; ! u2g
S 0 = fO 0 ; ! v1; ! v2g
donde las componentes de O 0 en el sistema S son (x0; y0) (OO 0 = x0 ! u1 + y0 ! u2)
y los vectores ! v1; ! v2 tienen de componentes en la base = f ! u1; ! u2g del sistema S
! v1 = (a1;1; a2;1) , ! v1 =
! v2 = (a1;2; a2;2) , ! v2 =
2X
k=1
2X
k=1
ak;1 ! uk
ak;1 ! uk
Si un punto P tiene de coordenadas en el sistema S (a; b) y en el sistema S 0
son(a 0 ; b 0 ) entonces las fórmulas de cambio de sistema de referencia vienen dadas por
la relación matricial
a x0
b y0
A la matriz
= a1;1 a1;2
a2;1 a2;2
a1;1 a1;2
a 0
b 0
(Formulas de cambio de sistema)
; cuyas columnas son las componentes de los vectores
a2;1 a2;2
de la base 0 = f ! v1; ! v2g de S0 con respecto a la base = f ! u1; ! u2g de S;se le denomina
matriz de cambio de sistema de referencia y la representaremos por A. Esta
matriz A admite inversa ; ya que su determinante es no nulo
Demostración Si conocemos las componentes de un punto ,P; en los dos sistemas
de referencia. Esto es:
a) P (a; b)S , !
OP = (a; b)! u1; ! u2 = a! u1 + b ! u2
a0 ) P (a0 ; b0 !
)S0 , O0P = (a0 ; b0 )!
v1; ! v2 = a0! v1 + b0! v2
Por ser !
O0P = (a0 ; b0 )!
v1; ! v2 = a0! v1 + b0! v2 y como por hípotesis
0
!
B v1 = (a1;1; a2;1) ,
B
@
! 2X
v1 = ak;1
k=1
! uk
!
v2 = (a1;2; a2;2) , ! 1
C
2X C entonces tendremos que
A
v2 =
k=1
!
O 0 P = a 0! v1 + b 0! v2 = a 0
ak;1 ! uk
2X
ak;1 ! uk + b 0
k=1
2X
k=1
ak;2 ! uk