Teorema de Krein-Milman - Departamento de Matemática ...

Teorema de Krein-Milman 18
Si existiese un i0 ∈ I tal que e(t) = 0 para todo t ∈ Ai0 entonces si se toma un v ∈ Ai0
y y, z ∈ K vienen dados por
1 si t = v
y(t) =
e(t) si t = v
z(t) =
−1 si t = v
e(t) si t = v
entonces e = 1(y
+ z), lo que contradiría la condición de extremalidad de e.
2
Por último, si i0 ∈ I es tal que existen u, v ∈ Ai0, con e(u), e(v) = 0, se definen y, z ∈ K
del siguiente modo
⎧
⎨ e(u)(1 + |e(v)|) si t = u
y(t) = e(v)(1 − |e(u)|)
⎩
e(t)
⎧
⎨ e(u)(1 − |e(v)|)
si t = v
si t /∈ {u, v}
si t = u
z(t) = e(v)(1 + |e(u)|)
⎩
e(t)
si t = v
si t /∈ {u, v}
y nuevamente e = 1(y
+ z), absurdo.
2
Por último, se define la función de elección g asignando g(i) al único elemento t de Ai
tal que e(t) = 0; y queda probado el axioma de elección.
4. Aplicaciones
Si bien el teorema de Krein-Milman tiene valor y belleza en sí mismo, su verdadera
potencia reside en su versatilidad a la hora de aplicarlo a varias áreas de la matemática.
Para comenzar a vislumbrar la potencia de KM, considérese el siguiente ejemplo.
4.1. Teorema de representación
Proposición 4.1. Sea F un conjunto compacto (con la topología de la convergencia puntual)
y convexo de funciones reales, y supóngase que Ext F = {hλ : λ ∈ [0, 1]}, es decir,
que las funciones extremales de F pueden parametrizarse con λ. Entonces para toda f ∈ F
existe una medida de probabilidad µ en [0,1] tal que
f(t) =
1
0
hλ(t) dµ(λ).
Demostración. Sea f ∈ F, como F es convexo y compacto, por Krein-Milman, existe una
red {fi} convergente a f donde cada fi es combinación convexa (finita) de funciones hλ.
Obsérvese que, sin embargo, toda combinación convexa de funciones hλ puede expresarse
como
n
k=1
αk hλk (t) =
1
0
hλ(t)dµ(λ)
con µ una medida de probabilidad concentrada en los puntos λk (µ(λk) = αk ∀k =
1, . . . , n). Por lo tanto la red {fi} de combinaciones convexas puede ser pensada como una
red {µi} de medidas que viven en la bola unitaria (de las medidas), que al ser el dual
de las funciones continuas es compacta en la topología w ∗ por Banach-Alaoglu y por lo