5 Variables aleatorias continuas

5 Variables aleatorias contínuas
Una variable aleatoria continua puede tomar cualquier valor en un intervalo
de números reales..
Función de densidad. La función de densidad de una variable aleatoria
continua es una función f que cumple
Z 1
f(x) 0; f(x)dx = 1: (13)
(comparar con (8)) y para todo a < b
1
Z b
F (b) F (a) = P (a < X b) = f(x)dx: (14)
Entonces es evidente que para una variable aleatoria continua:
P (a < X < b) = P (a X b)
La relación entre la función de densidad y la función de distribución está
dada por:
Z x
F (x) = P (X x) = f(y)dy;
de donde se deduce que la función de distribución de una variable aleatoria
continua, es una función continua en todas partes; y que la función de densidad
es la derivada de la función de distribución, en todos los puntos en los
que esta última sea derivable:
f(x) =
dF (x)
dx :
5.1 Esperanza de una variable aleatoria continua
La esperanza o media de una variable continua con función de densidad f; es
Z 1
EX = xf(x)dx:
1
28
1
a
Año
2012

cuando esta integral está de…nida.
Si X es una variable aleatoria continua con densidad f y h es una función
cualquiera, h(X) es una variable aleatoria cuya esperanza se calcula como:
Z 1
Eh(X) = h(x)f(x)dx
1
cuando esta integral está de…nida.
La propiedad de linealidad del valor esperado también vale para variables
aleatorias continuas, así como la de…nición y propiedades de la varianza, y
de la desviación típica.
Para variables aleatorias continuas se de…nen los cuantiles de la siguiente
forma, para cualquier 0 < < 1; el cuantil- , es el valor x( ); tal que
F (x( )) = P (X x( )) =
Z x( )
1
f(x)dx =
En particular, el cuantil-0:5 se llama mediana y es el valor e, tal que:
Z e
F (e) = f(x)dx = 1=2
Ejemplo 5.1 Sea X una v. a. con densidad dada por:
f(x) =
Obtener F (x)
Gra…car f(x) y F (x)
Calcular F ( 1), F (0) y F (1)
Calcular P (0 X 0:5)
1
0:2 si 1 x 0
0:2 + cx si 0 < x 1
0 en caso contrario
Ejemplo 5.2 Sea X una v.a. con la siguiente función de distribución:
F (x) =
0 si x < 0
x=8 si 0 x < 2
x 2 =16 si 2 x 4
1 si x > 4
29

Obtener la función de densidad para X
Calcular P (1 X 3)
Calcular P (X 1:5)
Realice los ejercicios de 1 a 5
5.2 Distribución uniforme
Veamos un ejemplo muy simple: supongamos que una persona toma un
colectivo para ir al trabajo, que pasa exactamente cada 5 minutos. Si sale
de su casa sin tener en cuenta la hora, el tiempo X, que tiene que esperar
en la parada es una variable aleatoria que puede tomar cualquier valor en el
intervalo [0; 5], la función de densidad para esta variable es:
1=5 si x [0; 5]
f(x) =
0 en otro caso
Es evidente que f(x) 0, para todo x; y que el área total bajo f(x) es
igual a 1.
La probabilidad de que tenga que esperar entre 1 y 3 minutos es:
P (1 X 3) = R 3 1 2 dx = 1 5 5
Se dice que esta variable aleatoria tiene distribución uniforme en el intervalo
[0,5]
En general se dice que una variable aleatoria tiene distribución uniforme
en el intervalo [a,b] (X s U[a; b]), si su función de densidad está dada por:
si x [a; b]
1
f(x) = b a
0 en otro caso
esta función cumple: f(x) 0 para todo x; y R 1
f(x)dx = 1.
1
Calculemos la media y varianza de una variable aleatoria con distribución
uniforme en [a,b].
Z 1
Z b
EX = xf(x)dx =
1
a
x 1 b
dx =
b a b a
2 a2 2
= b + a
2
entonces la media de una distribución uniforme es el punto medio del intervalo.
Para calcular la varianza, calculamos primero
EX 2 Z 1
= x 2 Z b
f(x)dx =
1
a
x2 1 b
dx =
b a b a
3 a3 3
30
= a2 + ab + b 2
3

entonces
var(X) = EX 2
(EX) 2 = a2 + ab + b 2
3
La función de distribución está dada por:
F (x) =
0 si x < a
si x [a; b]
1 si x > b
x a
b a
Para calcular la mediana e; podemos hacer:
F (e) =
e a
b a
= 1=2
(b + a) 2
4
= (b a)2
12
y despejando:
b + a
med(X) = e =
2
en este caso la mediana y la media coinciden. Esto ocurre siempre que la
distribución es simétrica.
5.3 Distribución exponencial
Veamos otro ejemplo de variable aleatoria continua. Pensemos en un proceso
temporal de Poisson, y consideramos el tiempo T transcurrido entre la presentación
de dos eventos sucesivos. Ese tiempo T , es una variable aleatoria
que puede tomar cualquier valor no negativo, y puede demostrarse que tiene
función de densidad dada por:
f(x) = e x si x > 0
0 si x 0
y se dice que tiene distribución exponencial con parámetro (X ( )),
donde es el valor medio del número de eventos por unidad de tiempo.
Su función de distribución está dada por:
Z t
F (t) =
1
f(x)dx = 1 e t si t > 0
0 si t 0
31

Ejemplo 5.3 Supongase que se reciben llamadas en una línea telefónica de
emergencias las 24 hs del día, según un proceso de Poisson con una tasa 0.5
llamadas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran más de dos
horas entre dos llamadas sucesivas?
La variable aleatoria T; el tiempo (medido en horas) entre dos llamados
sucesivos, tiene distribución exponencial con = 0:5. Entonces:
luego
P (T > 2) = 1 P (T 2) = 1 (1 e 0:5 2 ) = 0:3679
La media y varianza de una variable exponencial están dadas por:
Para calcular la mediana e
ET = 1 ; var(T ) = 1 2
F (e) = 1 e
med(T ) = e =
e = 1=2
ln 2
en este caso puede verse que la mediana es menor que la media.
Realice los ejercicios de 6 a 10
5.4 La distribución normal
La distribución normal típica (o normal N(0; 1)) tiene densidad
'(z) = 1
p 2 e z2 =2
se puede ver que esta función es simétrica respecto de 0
Si Z tiene esta distribución, entonces se prueba que
EZ = 0; var(Z) = 1
Llamamos (z) a su función de distribución; entonces para todo a < b:
P (a Z b) = (b) (a):
32

Por ser ' simétrica, la cumple
( z) = 1 (z): (15)
Las tablas de suelen incluir sólo las z 0; y los valores para z < 0 se
obtienen usando (15).
Por ejemplo, se obtiene de la tabla que (1:02) = 0:8461: Para calcular
( 1:02) se hace 1 0:8461 = 0:1539.
Se deduce de (15) que los cuantiles de la N(0; 1) cumplen
y en particular la mediana
z(1 ) = z( ); (16)
med(Z) = e = z(0:5) = 0:
La variable X tiene distribución normal con media y varianza 2 (que
se indica N( ; 2 )) si su función de densidad está dada por:
f(x) = 1
p 2
e (x )2 =2 2
puede verse que la grá…ca de esta función es simétrica respecto de :
También puede demostrarse que si X s N( ; 2 ), entonces:
E(X) = , V (X) = 2
Importante: La familia de distribuciones normales tiene la siguiente
propiedad: si X s N( ; 2 ), entonces para cualquier a 6= 0 y cualquier b, se
veri…ca que Y = aX + b s N(a + b; a 2 2 )
Entonces, variable normalizada Z = (X )= tiene distribución N(0; 1):
O sea que
X s N( ;
2 ) si X = + Z donde Z s N(0; 1): (17)
Ejemplo 5.4 Sea X s N(30; 4), se desea calcular P (28 < X < 31):
33

P (28 < X < 31) = P ((28 30)=2 < (X 30)=2 < (31 30)=2) =
= P ( 1 < Z < 1=2) = (0:5) ( 1) = (0:5) (1 (1)) =
= 0:6915 (1 0:8413) = 0:5328
En general, para calcular probabilidades correspondientes a una X con
distribución N( ; 2 ); se la lleva al caso N(0; 1), trabajando con Z = (X
)= : Su función de distribución es entonces
F (x) = P (X x) = P Z
y por lo tanto, si a < b :
P (a X b) = F (b) F (a) =
x
=
x
b a
De aquí se puede ver que para cualquier variable aleatoria X con distribución
normal, la probabilidad de que X esté dentro de 1 desvío estándar
de su media es:
P ( < X < + ) = (1) ( 1) = 0:6826
P ( 2 < X < + 2 ) = (2) ( 2) = 0:9544
y P ( 3 < X < + 3 ) = (3) ( 3) = 0:9974
Usando (17), se prueba que los cuantiles de una variable X con distribución
N( ; 2 ) cumplen
x( ) = + z( ); (18)
donde z( ) son los cuantiles de N(0; 1):
En particular, la mediana de una X s N( ; 2 ) es
med(X) = x(0:5) =
Ejemplo 5.5 Calcularemos los cuantiles de 0.80 y de 0.20 de una variable
normal X con media 5 y desviación 2. De la tabla: (0:84) = 0:7995 y
(0:85) = 0:8023: Interpolando resulta aproximadamente z(0:8) = 0:843; y
por lo tanto x(0:8) = 5 + 2 0:843 = 6:686: Para el otro cuantil, usamos
z(0:2) = z(0:8) y por lo tanto x(0:8) = 5 2 0:843 = 3:314:
Realice los ejercicios de 11 a 14
34
;
:

6 "Propagación de errores": Funciones de una
variable
Cuando se realiza cualquier medición, siempre se cometen de errores. Los
errores pueden ser sistemáticos, como en el caso de una balanza mal calibrada
que siempre da un valor superior al verdadero, o pueden ser aleatorios. En
muchas situaciones los errores sistemáticos deben ser eliminados, por ejemplo
calibrando correctamente la balanza, en otras cuando se conoce la magnitud
del error, puede corregirse el resultado de la medición sumando (o restando
según sea el caso) el valor del error sistemático.
Los errores que podemos tratar en estadística son los errores aleatorios.
Debido a los errores aleatorios cuando repetimos una medición, en idénticas
condiciones, los resultados de esas mediciones no son constantes, y ‡uctúan
alrededor de un valor medio. Este tipo de error no puede ser eliminado.
Entonces, consideremos el resultado de una medición, como una variable
aleatoria X = a + ", donde a es el verdadero valor de la magnitud que se
está midiendo y " es el error aleatorio, que en general, podemos suponer que
tiene distribución normal con media 0 (esto indica que es igualmente probable
que el error sea positivo o negativo) y varianza 2 , el valor de la varianza
depende de la precisión del método de medición. Resumiendo, consideramos
el resultado de una medición como una variable aleatoria:
X = a + ", donde a es el verdadero valor y " N(0;
o lo que es equivalente:
X N(a;
2 ) (19)
2 ), donde a es el verdadero valor (20)
En muchos casos interesa conocer el valor de una medición indirecta, es
decir se está midiendo x, pero se desea conocer f(x), y también interesa conocer
cual es el error en la medición indirecta f(x), esto es lo que denominamos
"propagación de errores". Por ejemplo, sabemos que la absorbancia a de una
solución es el negativo del logaritmo (decimal) de su transmitancia t :
a = log t:
Se tiene una medición de t con error, representada por una variable aleatoria
X con media t y desviación ; entonces la absorvancia también es una variable
35

aleatoria Y :
Y = log X: (21)
Con estos elementos se desea calcular la desviación típica de Y; sabiendo que
t = 0:501; = 0:001:
Para resolver este problema, lo plantearemos de modo más general, sea
una variable aleatoria Y que es función de otra variable X :
Y = h(X);
donde X tiene media y desviación ; buscaremos una forma de aproximar
su media y su varianza.
La aproximación de la serie de Taylor a h(X) en un entorno de es:
h(X) ' h( ) + h 0 ( )(X ) (22)
El lado derecho de esta ecuación es una función lineal de X. Si la distribución
de X está concentrada en un intervalo sobre el que la función h sea
aproximadamente lineal, entonces (22) es una buena aproximación de Y; y
puede usarse para aproximar los valores de E(Y ) y dt(Y ); utilizando (22) y
(9):
E(h(X)) ' h( ) + h 0 ( )E(X ) = h( )
del mismo modo, usando (22)y (10):
dt(h(X)) ' jh 0 ( )j dt(X)
Por ejemplo, si Y = X 2 ; es h(x) = x 2 ; por lo tanto h 0 (x) = 2x; y en
consecuencia
dt(Y ) 2 j j :
En el caso (21) es = t; y h(x) = log x; por lo tanto
h 0 (x) =
(con e = 2:71828::::); lo que da
log e
x
EY log 0:501 = 0:30; dt(Y )
Realice el resto de los ejercicios
36
= 0:434
x
0:434 0:001
0:501
= 0:0008:

Práctica 3
1. Sea X una variable aleatoria con densidad dada por:
f(x) =
c(2 x) si 0 x 2
0 en caso contrario
(a) Determinar el valor de c y gra…car f(x)
(b) Obtener y gra…car F (x)
(c) Calcular P (1 X 2)
(d) Calcule E(X) y V (X)
(e) Sea Y = 2X 3, ¿cuál es la E(Y )?
(f) Calcular el 80-percentil. (el cuantil-0:80)
2. El tiempo de reacción (en segundos) a cierto estímulo es una variable
aleatoria X con función de distribución dada por:
0 si x < 1
F (x) = (3=2)(1 1=x) si 1 x 3
1 si x > 3
(a) Calcular la función de densidad f(x) y gra…car.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de reacción sea a lo
sumo 2,5 segundos? ¿entre 1,5 y 2,5 segundos?
(c) Calcular el tiempo esperado de reacción y la mediana.
(d) Calcular la desviacón estándar del tiempo de reacción
(e) Sea Y = X 3 , calcular E(Y )
3. El tiempo de vida (en horas) de cierto tubo de radio es una variable
aleatoria continua con función de densidad dada por
f(x) =
0 si x 100
100=x 2 si x > 100
(a) Veri…car que ésta es una función de densidad.
(b) Calcular la probabilidad de que uno de esos tubos deba ser reemplazado
antes de las 150 horas de operación
37

(c) ¿Puede calcular la media del tiempo de vida de estos tubos?
(d) ¿Puede calcular la mediana del tiempo de vida de estos tubos?
(e) Determinar el valor tal que el tiempo de vida del 90% de los tubos
de radio de ese tipo sea inferior a ese valor (el 90-percentil)
4. Sea X la temperatura a que tiene lugar cierta reacción química, y sea
su densidad:
(a) Gra…car f(x)
f(x) =
1
9 (4 x2 ) si 1 x 2
0 en otro caso
(b) Hallar la función de distribución y gra…carla
(c) ¿Es 0 la temperatura mediana a que se realiza la reacción química?.
Si no es así, ¿la temperatura mediana es menor o mayor que 0?
(d) Suponga que esta reacción química se realiza en 10 laboratorios
en forma independiente, y que la función de densidad de la temperatura
de reacción es la misma en cada laboratorio. Sea Y el
número entre estos 10 laboratorios en los que la temperatura de
la reacción es superior a 1. ¿Qué distribución tiene esta variable
aleatoria?
5. Para ciertas muestras de minerales, la proporción de impurezas por
muestra es una variable aleatoria Y, con densidad dada por:
f(y) = (3=2)y2 + y si 0 y 1
0 en caso contrario
El valor de cada muestra es U = 5 0:5Y . Encontrar E(U) y V (U)
6. Suponga que la temperatura de reacción X (en o C) de un cierto proceso
químico tiene una distribución uniforme en [70; 95]. Calcular:
(a) P (X < 80), P (75 < X < 90)
(b) Calcular la media y la varianza de X
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que la temperatura esté dentro de 1
desvío estándar del valor medio?
38

7. La duración de cada operación que realiza cierta máquina puede representarse
mediante una v.a. uniforme de media 10 segundos y varianza
3 seg2. ¿Cuántos segundos tarda como mínimo, el 75% de las veces?
8. Supongamos que el tiempo de funcionamiento de una lámpara está
exponencialmente distribuida con media 10. Supongamos que una persona
entra en una habitación donde hay una lámpara encendida.
(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la lámpara dure menos de 6 horas?
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que no se funda la bombilla si la
persona desea trabajar 5 horas?
(c) ¿Cuál es la probabilidad de que dure entre 4 y 8 horas?
9. Sea X el tiempo (en minutos) entre dos llegadas sucesivas a un servicio
de emergencias. Si X tiene distribución exponencial con = 0; 125.
Calcular:
(a) El tiempo esperado entre dos llegadas sucesivas.
(b) La probabilidad de que el tiempo entre dos llegadas sea menor de
10 minutos
10. Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos
sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es
la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado
este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el
marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente,
¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?
11. La variable Y tiene distribución normal típica. Calcular las probabilidades
de (a) Y 2; 23, (b) Y > 1; 35, (c) 0; 51 < Y < 1; 54
12. Calcular:
(a) la mediana y los cuartiles de una variable con distribución normal
tipica
(b) Idem, para la distribución N(10; 36)
(c) Para esta última, calcular los percentiles del 10% y del 90%.
39

13. En determinada población la presión arterial diastólica entre mujeres
de 18 a 74 años se encuentra distribuida normalmente con una media
de = 77 mmHg y una desviación estándar de = 11; 6 mmHg
(a) Cuál es la probabilidad de que una mujer elegida al azar tenga
una presión arterial diastólica menor de 60 mmHg?
(b) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica mayor
de 90 mmHg?
(c) Cuál es la probabilidad de que tenga una presión diastólica entre
60 y 90 mmHg?
14. Una fábrica produce tornillos, las especi…caciones indican que el diámetro
de los mismos debe estar entre 1; 19 y 1; 21 pulgadas. Si el proceso de
producción es tal que el diámetro de los tornillos es una variable aleatoria
con distribución normal con media 1; 196 y desviación estandar
0; 005: ¿Qué porcentaje de la producción no satisface las especi…caciones?
15. Si el voltaje v en un medio es …jo, pero la corriente I es aleatoria,
entonces la resistencia (R = v=I) también será aleatoria. Si I = 20 y
I = 0:5, calcule los valores aproximados de R y R.
16. Se desea calcular el volumen de un tanque, sabemos que el radio de la
base circular es la mitad de la altura. Se mide la altura y el resultado
es 2m, esta medición tiene un error aleatorio con = 0:1m. Calcular
aproximadamente la desviación típica del error del cálculo del volumen
del tanque.
17. Un sistema consta de 5 componentes idénticos conectados en serie.
Cuando falla uno de los componentes, falla todo el sistema. Suponga
que cada componente tiene una duración que está distribuida exponencialmente
con = 0; 01 y que dicha duración es independiente para
cada componente. De…na Ai ={i-ésimo componente dura por lo menos
t horas}, i = 1; :::; 5 (estos Ai son eventos independientes). Sea X = el
tiempo en que falla el sistema (esto es la duración más breve entre las
cinco componentes)
(a) El evento (X t), ¿es equivalente a qué evento donde aparecen
las Ai?
40

(b) Por medio de la independencia de las Ai, calcule P (X t). Luego
obtenga F (t) = P (X t) y la densidad de X
18. La demanda semanal de gas propano (en miles de galones) es una
varable aleatoria X con densidad dada por:
f(x) = 2(1 1=x2 ) si 1 x 2
0 en caso contraio
(a) Calcular la función de distribución.
(b) Calcular la mediana.
(c) Calcular E(X) y V (X)
(d) Si al principio de la semana hay 2300 galones en existencia y no
se recibe nuevo suministro durante la semana, ¿cuántos galones se
espera que queden al terminar la semana?
19. Se ha estudiado el volumen corpuscular medio eritrocitario (VCM) en
pacientes con posible diagnóstico de anemia ferropénica como indicador
de esta patología, el verdadero diagnóstico se establece con biopsia de
médula osea. Para simpli…car, suponemos que los valores de VCM en la
población siguen ua distribución normal. En una población de pacientes
con diagnóstico con…rmado de anemia ferropénica se ha estimado =
73 y = 6; 1. En una población donde se ha descartado ese diagnóstico
se ha estimado = 82 y = 5; 9: Si se utilza un valor del VCM inferior
a 75, para diagnosticar anemia ferropénica.
(a) ¿Cuál es la sensibilidad de este método? Esto es: ¿cuál es probabilidad
de diagnosticar correctamente un paciente que tiene anemia
ferropénica? ¿Cuál es la probabilidad de un falso positivo?
(b) ¿Cuál es la especi…cidad? Esto es la probabilidad de clasi…car
correctamente a un paciente sin anemia ferropénica ¿Cuál es la
probabilidad de un falso negativo?
(c) ¿Cómo cambiarían esos valores si el valor de corte fuera 80, y si
fuera 85?
41