Análisis Funcional – 2012 - Departamento de Matemática ...

Universidad Nacional de La Plata – Facultad de Ciencias Exactas – Departamento de Matemática
Análisis Funcional – 2012
Trabajo Práctico N o 3 – Operadores sobre espacios de Banach: Teoremas de
la Aplicación Abierta y del Gráfico Cerrado y Ppio. de Acotación Uniforme
Ejercicio 1. Sean E y F dos espacios normados. Dado T ∈ Hom(E, F ), sea
Probar que:
1. T = sup
x∈E, xE=1
2. T ∈ C(E, F ) ⇐⇒ T < ∞.
T = sup T xF : x ∈ E y xE ≤ 1 .
T xF = mín M ≥ 0 : T xF ≤ M xE para todo x ∈ E .
Ejercicio 2. Calcular la norma del operador de multiplicación T ∈ L(SF ) dado por
T x =
(1 − 1
n ) xn
para cada x = (xn)n∈ N ∈ SF . Probar que, dado 1 ≤ p ≤ ∞, se puede extender a L(ℓ p ) manteniendo
su norma.
Ejercicio 3.
1. Dada ϕ ∈ C[0, 1], consideremos el operador Mϕ : (C[0, 1], ∞) → (C[0, 1], ∞) definido por
Probar que Mϕ ∈ L(C[0, 1]) y calcular su norma.
n∈N
Mϕ(f) = ϕf para cada f ∈ C[0, 1]. (1)
2. Dada ϕ ∈ L ∞ [0, 1], definimos Mϕ : L 2 [0, 1] → L 2 [0, 1] igual que en (1). Probar:
a) Mϕ ∈ L(L 2 [0, 1]) con Mϕ = ϕ∞.
b) La representación M : L ∞ [0, 1] → L(L 2 [0, 1]) dada por M(ϕ) = Mϕ para ϕ ∈ L ∞ [0, 1],
es un morfismo isométrico de álgebras (i.e. es K-lineal y respeta productos).
c) M 2 ϕ = Mϕ si y sólo si ϕ es una función característica.
Ejercicio 4. Sea a = (an)n∈N una sucesión de números complejos. Fijado 1 ≤ p < ∞, consideremos
el operador Ma : ℓ p → ℓ p dado por Max = (anxn)n∈N, para cada x = (xn)n∈ N ∈ ℓ p . Probar que:
1. Ma está bien definido (Max ∈ ℓ p ) ⇐⇒ a ∈ ℓ ∞ .
2. En tal caso, se tiene que Ma = a∞.
3. La representación M : ℓ ∞ → L(ℓ p ) dada por M(a) = Ma para cada a ∈ ℓ ∞ , es un morfismo
isométrico de álgebras (i.e. es K-lineal y respeta productos).
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4. Ma es un monomorfismo si y sólo si an = 0 para todo n ∈ N.
5. Ma es un isomorfismo (y hómeo) ⇐⇒ a es inversible en ℓ ∞ ⇐⇒ a −1 = ( 1
an )n∈N ∈ ℓ ∞ .
Ejercicio 5. Consideremos el espacio de Banach real E = L 1 (1, +∞). Sea T : E → E dado por
Probar que T es acotado pero no abierto.
T f(x) = 1
x f(x).
(Sugerencia: 0 ∈ T (B(0, 1)) no es punto interior).
Ejercicio 6. Sea E un espacio vectorial que resulta ser de Banach al dotarlo con cualquiera de las
normas · 1 y · 2. Supongamos que existe C > 0 tal que x1 ≤ Cx2 para todo x ∈ E. Probar
que existe una constante D > 0 tal que x2 ≤ Dx1 para todo x ∈ E.
Ejercicio 7. Sean E y F espacios normados y A ∈ Hom(E, F ). Probar que Gr(A) es cerrado si y
sólo si siempre que xn → 0 y A(xn) → y se tiene que y = 0.
Ejercicio 8. Sea C 1 [0, 1] = {f : [0, 1] → R : existe f ′ ∈ C[0, 1]}, dotado con la norma infinito. Sea
D : C 1 [0, 1] → (C[0, 1], ∞) dado por
D(f) = f ′ para cada f ∈ C 1 [0, 1].
Probar que el Gr(D) es cerrado pero que D no es un operador acotado. ¿Por qué esto no contradice
el Teorema del Gráfico Cerrado?.
Ejercicio 9. Consideremos el espacio vectorial real C 1 [0, 1] dotado con la norma
f = f∞ + f ′ ∞ = máx |f(x)| + máx
x∈[0,1] x∈[0,1] |f ′ (x)|.
Probar que (C 1 [0, 1], ) es un espacio de Banach. Ahora, si D : (C 1 [0, 1], ) → (C[0, 1], ∞)
está definido por D(f) = f ′ , probar que D es acotado y calcular su norma.
(Sugerencia: Para mostrar que es Banach, dada una sucesión de Cauchy {fn}n≥1, probar que las
derivadas f ′ n convergen uniformemente a una función g, luego considerar una primitiva adecuada
de g y verificar que fn tiende a ella. Para calcular la norma de D, considerar las funciones fn(x) =
sen(2nπx), n ≥ 1.)
1
n
Ejercicio 10. Sea (E, ) un espacio de Banach separable. Consideremos en el una base algebraica
E = {ei}i∈I, es decir, los ei son linealmente independientes y todo elemento de E puede escribirse (de
forma única) como combinación lineal finita de elementos de E. Supongamos además que ei = 1
para todo i ∈ I.
1. Usando el Teorema de Baire, probar que I es no numerable.
Ahora, definamos en E la norma · E del siguiente modo: dado x ∈ E si x =
Probar que:
xE =
|αi|.
i∈I
i∈I
αi ei entonces
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2. · E es una norma.
3. I : (E, · E) → (E, · ) es una contracción.
4. Probar que la “inversa” I : (E, · ) → (E, · E) tiene rango cerrado pero no es acotado.
5. ¿Por qué el item anterior no contradice el Teorema del Gráfico Cerrado?
Ejercicio 11. Dados un espacio de Banach E y un P ∈ Hom(E) tal que P 2 = P , sean S = ker(P )
y T = R(P ). Probar que P ∈ L(E) si y sólo si S y T son cerrados.
Ejercicio 12. Sea E un espacio de Banach. Probar que S ⊑ E está complementado si y sólo si
existe una proyección P ∈ L(E) de rango S.
Ejercicio 13. Sea E un espacio normado y S ⊑ E un espacio de dimensión finita. Probar que
entonces existe Q ∈ L(E) tal que Q 2 = Q y R(Q) = S.
Ejercicio 14. Sean E y F dos espacios de Banach. Probar que para todo operador T ∈ L(E, F ),
su gráfico GrT ⊆ E × F además de ser cerrado es complementado en E × F .
Ejercicio 15. Un subconjunto B de un espacio de Banach se dice w−acotado si, para todo ϕ ∈ E ∗ ,
Por otra parte, se dice que es −acotado si
sup |ϕ(x)| < ∞.
x∈B
sup x < ∞.
x∈B
Probar que ambas nociones coinciden, es decir, que B es w−acotado si y sólo si es −acotado.
Definición. Sean E y F dos espacios de Banach. Fijemos una sucesión (Tn)n∈N y un T , todos
en L(E, F ). Decimos que Tn S.O.T.
−−−→
n→∞ T (se lee “ Tn converge fuertemente a T ”) si, para cualquier
x ∈ E, se tiene que Tn x
·
−−−→ T x (en la norma de F ).
n→∞
Ejercicio 16. Sean E y F dos espacios de Banach. Dados T, S y dos sucesiones (Tn)n∈N y (Sn)n∈N ,
todos en L(E, F ), probar que:
1. Si Tn S.O.T.
−−−→ T y xn
n→∞
2. Si Tn S.O.T.
−−−→
n→∞
S.O.T.
T y Sn −−−→
n→∞
·
−−−→
n→∞ x (todos en E y con su norma) entonces Tn xn
S.O.T.
S, entonces TnSn −−−→ T S.
n→∞
·
−−−→ T x.
n→∞
3. Supongamos que, para cada x ∈ E, la sucesión {Tn x}n∈N es de Cauchy. Entonces, existe un
operador A ∈ L(E, F ) tal que Tn S.O.T.
−−−→
n→∞ A.
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