Análisis Funcional – 2012 - Departamento de Matemática ...

Análisis Funcional (2012) Operadores sobre espacios de Banach
4. Ma es un monomorfismo si y sólo si an = 0 para todo n ∈ N.
5. Ma es un isomorfismo (y hómeo) ⇐⇒ a es inversible en ℓ ∞ ⇐⇒ a −1 = ( 1
an )n∈N ∈ ℓ ∞ .
Ejercicio 5. Consideremos el espacio de Banach real E = L 1 (1, +∞). Sea T : E → E dado por
Probar que T es acotado pero no abierto.
T f(x) = 1
x f(x).
(Sugerencia: 0 ∈ T (B(0, 1)) no es punto interior).
Ejercicio 6. Sea E un espacio vectorial que resulta ser de Banach al dotarlo con cualquiera de las
normas · 1 y · 2. Supongamos que existe C > 0 tal que x1 ≤ Cx2 para todo x ∈ E. Probar
que existe una constante D > 0 tal que x2 ≤ Dx1 para todo x ∈ E.
Ejercicio 7. Sean E y F espacios normados y A ∈ Hom(E, F ). Probar que Gr(A) es cerrado si y
sólo si siempre que xn → 0 y A(xn) → y se tiene que y = 0.
Ejercicio 8. Sea C 1 [0, 1] = {f : [0, 1] → R : existe f ′ ∈ C[0, 1]}, dotado con la norma infinito. Sea
D : C 1 [0, 1] → (C[0, 1], ∞) dado por
D(f) = f ′ para cada f ∈ C 1 [0, 1].
Probar que el Gr(D) es cerrado pero que D no es un operador acotado. ¿Por qué esto no contradice
el Teorema del Gráfico Cerrado?.
Ejercicio 9. Consideremos el espacio vectorial real C 1 [0, 1] dotado con la norma
f = f∞ + f ′ ∞ = máx |f(x)| + máx
x∈[0,1] x∈[0,1] |f ′ (x)|.
Probar que (C 1 [0, 1], ) es un espacio de Banach. Ahora, si D : (C 1 [0, 1], ) → (C[0, 1], ∞)
está definido por D(f) = f ′ , probar que D es acotado y calcular su norma.
(Sugerencia: Para mostrar que es Banach, dada una sucesión de Cauchy {fn}n≥1, probar que las
derivadas f ′ n convergen uniformemente a una función g, luego considerar una primitiva adecuada
de g y verificar que fn tiende a ella. Para calcular la norma de D, considerar las funciones fn(x) =
sen(2nπx), n ≥ 1.)
1
n
Ejercicio 10. Sea (E, ) un espacio de Banach separable. Consideremos en el una base algebraica
E = {ei}i∈I, es decir, los ei son linealmente independientes y todo elemento de E puede escribirse (de
forma única) como combinación lineal finita de elementos de E. Supongamos además que ei = 1
para todo i ∈ I.
1. Usando el Teorema de Baire, probar que I es no numerable.
Ahora, definamos en E la norma · E del siguiente modo: dado x ∈ E si x =
Probar que:
xE =
|αi|.
i∈I
i∈I
αi ei entonces
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