Medida e Integración - Departamento de Matemática - Universidad ...

Universidad Nacional de La Plata- Facultad de Ciencias Exactas - Departamento de Matemática
1. Sea
Primer Cuatrimestre de 2012
Medida e Integración
Trabajo Práctico Nro. 5
f(x) =
1
x
x ≥ 1
0 x < 1.
Probar que f /∈ L 1 (R) pero f ∈ L p (R) si 1 < p ≤ ∞, siendo L p (R) = L p (R, F ∗ , λ) con la
σ-álgebra de Lebesgue y la medida de Lebesgue.
2. Sea X = N y µ la medida sobre X = P(N) que le asigna medida 1/n2 al conjunto {n} con
n ≥ 1, es decir
µ(E) = 1
,
n2 E ⊆ N.
Luego µ(N) < ∞.
a.) Sea f definida sobre X por f(n) = √ n. Probar que f ∈ L p sii 1 ≤ p < 2.
n∈E
b.) Hallar g definida sobre X tal que g ∈ L p si y sólo si 1 ≤ p ≤ 2.
3. Sea f(x) = log(1/x), x > 0. Probar que f ∈ L p ((0, 1)) (Lebesgue) si 1 ≤ p < ∞ pero
f /∈ L ∞ ((0, 1)).
4. Sea f(x) =
1
√ x (1 + | log(x)|) , x > 0. Probar que f ∈ L p ((0, ∞)) sii p = 2.
5. Sea (X, X, µ) un espacio de medida finita y supongamos que 1 ≤ r < p ≤ ∞ Probar que
L p ⊆ L r y que si f ∈ L p entonces
fr = fp µ(X) s
Luego, si µ(X) = 1 entonces fr ≤ fp.
con s = 1 1
−
r p
(= 1
r
si p = ∞).
6. Dado 1 ≤ p ≤ ∞, sea ℓp = Lp (X, X, µ) donde X = N, X = P(N) y µ es la medida de
conteo. Probar que si 1 ≤ p ≤ q ≤ ∞ entonces ℓp ⊆ ℓq, y que si u ∈ ℓp entonces uq ≤ up.
(Sugerencia: Para la segunda parte, probar que si a1, . . . , an son números no negativos y α ≥ 1
entonces n i=1 aαi ≤ n i=1 ai
α) 7. Sea (X, X, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p1 < p < p2 ≤ ∞. Probar:
a.) L p1 (X, X, µ) ∩ L p2 (X, X, µ) ⊆ L p (X, X, µ);
b.) Si f ∈ L p1 (X, X, µ) ∩ L ∞ (X, X, µ), entonces lím
p→∞ fp = f∞. (Sugerencia: para acotar
fp por abajo, considerar los conjuntos {|f| > f∞ − ε})
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Medida e Integración 2012 Trabajo Práctico Nro. 5
8. Sean p y q tales que 1 < p < ∞ y 1 1
p + q = 1. Dada f ∈ Lp , por la desigualdad de Hölder se
sabe que para toda g ∈ Lq tal que g = 1
f · g dµ
≤ fp.
Si f = 0, probar que que la función g0 = f 1−p
p sgn (f)|f| p−1 pertenece a Lq , que g0q = 1
y que
f · g0 dµ
= fp.
9. Sea (X, X, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞.
a.) Probar que si f ∈ L p y ε > 0 entonces existe una función simple medible ϕ tal que
µ {x ∈ X : ϕ(x) = 0} < ∞ de modo que f − ϕp ≤ ε. Notar que la condición sobre
los valores donde no se anula la función simple ϕ implican que ϕ ∈ L p .
b.) Probar que la clase de las funciones simples medibles es densa en L ∞ .
c.) Mostrar que en L ∞ (R) la clase definida en (a) no es densa.
10. Sea f ∈ L p (R) con 1 ≤ p < ∞. Para cada r ∈ R definimos la función fh : R → R como
fr(x) = f(x − r). Probar que
lím
h→0 fr − fp = 0
¿Qué pasa si p = ∞?. (Sugerencia: Primero probarlo para funciones continuas con soporte
compacto. También convendría verificar que
R g dλ = R gr dλ para toda función medible
no negativa g)
11. Sean f y g funciones de Rn en R medibles Borel. Para cada x ∈ Rn , se define f ∗ g(x) como
f ∗ g(x) = f(x − y)g(y)dy,
R
siempre que
|f(x − y)g(y)|dy < ∞. (1)
R
Probar:
a.) Si (1) vale para un x, entonces f ∗ g(x) = g ∗ f(x).
b.) Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ exponentes conjungados y f ∈ L p (R n ) y g ∈ L q (R n ). Entonces f ∗ g
está definida para todo x ∈ R n , es continua y acotada.
c.) Sean f y g funciones continuas con soporte compacto. Entonces f ∗ g posee soporte
compacto.
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