Medida e Integración - Departamento de Matemática - Universidad ...

Medida e Integración 2012 Trabajo Práctico Nro. 5
8. Sean p y q tales que 1 < p < ∞ y 1 1
p + q = 1. Dada f ∈ Lp , por la desigualdad de Hölder se
sabe que para toda g ∈ Lq tal que g = 1
f · g dµ
≤ fp.
Si f = 0, probar que que la función g0 = f 1−p
p sgn (f)|f| p−1 pertenece a Lq , que g0q = 1
y que
f · g0 dµ
= fp.
9. Sea (X, X, µ) un espacio de medida y 1 ≤ p < ∞.
a.) Probar que si f ∈ L p y ε > 0 entonces existe una función simple medible ϕ tal que
µ {x ∈ X : ϕ(x) = 0} < ∞ de modo que f − ϕp ≤ ε. Notar que la condición sobre
los valores donde no se anula la función simple ϕ implican que ϕ ∈ L p .
b.) Probar que la clase de las funciones simples medibles es densa en L ∞ .
c.) Mostrar que en L ∞ (R) la clase definida en (a) no es densa.
10. Sea f ∈ L p (R) con 1 ≤ p < ∞. Para cada r ∈ R definimos la función fh : R → R como
fr(x) = f(x − r). Probar que
lím
h→0 fr − fp = 0
¿Qué pasa si p = ∞?. (Sugerencia: Primero probarlo para funciones continuas con soporte
compacto. También convendría verificar que
R g dλ = R gr dλ para toda función medible
no negativa g)
11. Sean f y g funciones de Rn en R medibles Borel. Para cada x ∈ Rn , se define f ∗ g(x) como
f ∗ g(x) = f(x − y)g(y)dy,
R
siempre que
|f(x − y)g(y)|dy < ∞. (1)
R
Probar:
a.) Si (1) vale para un x, entonces f ∗ g(x) = g ∗ f(x).
b.) Sean 1 ≤ p, q ≤ ∞ exponentes conjungados y f ∈ L p (R n ) y g ∈ L q (R n ). Entonces f ∗ g
está definida para todo x ∈ R n , es continua y acotada.
c.) Sean f y g funciones continuas con soporte compacto. Entonces f ∗ g posee soporte
compacto.
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