Taller 3 – Matemáticas Discretas - Universidad Nacional de Colombia

Univ. Nacional de Colombia, Medellín – Escuela de Matemáticas – Febrero 22, 2010
Taller 3 – Matemáticas Discretas
1. Pruebe usando contradicción que: √ 2 + √ 6 < √ 15. (Sin usar calculadora,
sólo operaciones con enteros.)
2. Pruebe que: Para todo entero n, si n 2 es impar, entonces n es impar.
3. Pruebe lo siguiente:
Para cualquier número entero, si 3n + 2 es impar entonces n es
impar.
4. La propiedad de un número entero de ser par o impar se denomina paridad.
Dos enteros tienen la misma paridad si ambos son pares o ambos son impares,
y tienen paridad opuesta si uno es par y el otro impar. Pruebe lo siguiente:
Dos números enteros consecutivos cualesquiera tienen paridad opuesta.
5. Pruebe lo siguiente
Para m y n enteros, si m y n tienen la misma paridad entonces
m + n es par.
6. Considere la siguiente proposición:
Para todo par de enteros m, n, si 7m + 5n = 147, entonces m es
impar ó n es impar.
(a) Escriba el converso de esta proposición.
(b) Escriba el contrapositivo/contrarecíproco de esta proposición.
(c) Para cada uno de los anteriores, pruébelo ó de un contraejemplo.
7. Para dos enteros m y n se dice que son iguales módulo k, y se denota
m = n(modk) ó m ≡ n(modk), si existe un entero ℓ tal que
n − m = kℓ.
Pruebe que si m = x(modk) y n = y(modk) entonces
m 2 + mn = x 2 + xy (modk).
1

8. Si a yb son números reales, se define max{a, b} como el máximo de a y b ó
el valor común si son iguales. Esto se puede escribir como
a si a ≥ b
max{a, b} =
b si b > a
Probar que: Para todo los números reales x1, x2, m, y, se tiene que
si m = max{x1, x2} y y ≥ m, entonces y ≥ x1 y y ≥ x2
9. Use prueba por casos para demostrar que
max{x, y} =
x + y + |x − y|
.
2
10. Se define el signo de un número real x, escrito sgn(x), como
⎧
⎨ 1 si x > 0
sgn(x) = 0
⎩
−1
si x = 0
si x < 0
Use prueba por casos para verificar que sgn(xy) = sgn(x)sgn(y) para todos
los números reales x, y.
11. Pruebe lo siguiente
Para todos los números reales x, y,
12. Pruebe lo siguiente
si x + y > 100 entonces x > 50 ó y > 50.
Para todos los números reales positivos x, y,
13. Pruebe lo siguiente
si xy > 100 entonces x > 10 ó y > 10.
Para todos los números reales positivos x, y y z,
14. Sean s and t números reales y sea
si xy > z entonces x > √ z ó y > √ z.
A =
s + t
2
(el promedio). Entonces al menos uno de los números s y t es mayor o igual
que A.
2

(a) Reescriba el enunciado en palabras haciendo explícitos los cuantificadores
involucrados.
(b) Escriba un prueba (detallada) de la validez del enunciado.
(c) Pruebe que además si uno de los números es estrictamente mayor que
A entonces el otro es estrictamente menor que A.
15. Sean a y b números racionales con a = 0. Pruebe lo siguiente:
Para cualquier número real x, x es racional si y sólo si ax + b es
racional.
Por qué se necesita la condición a = 0.
16. Para cada una de las siguientes afirmaciones identifique si es verdadera o
falsa. En el primer caso dé una prueba (detallada) y en el segundo caso dé un
contraejemplo (un ejemplo que muestra la falsedad de la afirmación). Note
que en las afirmaciones implícitamente se está cuantificando universalmente.
(a) El producto y división (con divisor no nulo) de números racionales es
racional.
(b) El producto de un número racional diferente de cero y de un número
irracional es irracional. Sugerencia: Considere contradicción y parte
(a).
(c) El producto de dos números irracionales es irracional.
17. Pruebe las siguientes afirmaciones.
(a) Para todo los enteros m, n, ℓ, si ℓ | m y ℓ | n entonces ℓ | (m + n) y
ℓ | (m − n). (Recuerde que x | y significa que x divide y.)
(b) Para todo los enteros m, n, ℓ, si ℓ | m y ℓ | n entonces ℓ | (m+n). (x |y
significa que x no divide y.) Sugerencia: Use prueba por contradicción
y (a).
3