Ejercicios de trigonometria - Amolasmates

Ejercicio nº 1.-
a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70
b) Pasa a grados los ángulos:
Ejercicio nº 2.-
Completa la siguiente tabla:
Ejercicio nº 3.-
7
rad
6
Medida de ángulos
y 3, 5
rad
a) Expresaengrados
los siguientes ángulos dados enradianes:
b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100
Ejercicio nº 4.-
Completa la tabla:
Ejercicio nº 5.-
a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125
2
b) Pasa a grados los ángulos:
rad y 2, 5 rad
5
Ejercicio nº 6.-
5
y
6
Razones trigonométricas
Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
sen40
0, 64; cos 40 0, 77; tg 40 0,84
Ejercicio nº 7.-
Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la
calculadora:
a) cos130
b) tg 310 c) cos230
d) sen310
3

Ejercicio nº 8.-
Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la
calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205.
Ejercicio nº 9.-
Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :
180 α
b) cos 180 α
a) sen
Ejercicio nº 10.-
1
Si tg α y α esun
ángulo que está enelprimer
cuadrante, calcula(sin
hallar α)
:
3
180 α
b) tg 180 α
c) tg 360 α
d) tg 360 α
a) tg
Ejercicio nº 11.-
Demuestra que:
senx
1
cosx
4 4cosx
1 cosx
senx
2senx
sen2x
Ejercicio nº 12.-
Demuestra la igualdad:
2senx
sen x
cosx
tg2
x cosx
Ejercicio nº 13.-
Demuestra que:
cosx
2
2sen
Ejercicio nº 14.-
2
x
1
2
Demuestra la siguiente igualdad:
senx cosx
Ejercicio nº 15.-
Expresiones trigonométricas
cos2
x
1
sen2x
cosx
senx
Demuestra la siguiente igualdad:
senx
cosx
1
tg 2x
2 2
cos x
sen x 2

Ejercicio nº 16.-
Resuelve la siguiente ecuación:
senx sen2x
2sen
x 0
Ejercicio nº 17.-
Resuelve la ecuación:
2 1
cos 2x
sen x 0
2
Ejercicio nº 18.-
Resuelve:
3
cos x 3cosx
3cosx
senx
Ejercicio nº 19.-
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
sen2x
cos2x
1
cos x 2sen
Ejercicio nº 20.-
Resuelve la ecuación:
4cos2x
1
3cosx
Ecuaciones trigonométricas
2
2
x

Medida de ángulos
Ejercicio nº 1.-
a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 210 y 70
b) Pasa a grados los ángulos:
Solución:
7
a) 210 210
rad rad
180 6
7
70 70
rad rad
180 18
7
7
180
b) rad 210
6 6
180
3,
5 rad 3,
5
Ejercicio nº 2.-
200 32'7"
Completa la siguiente tabla:
Solución:
7
rad
6
y 3, 5
35
7
35 rad rad
180 36
2 2
180
rad 120
3 3
2
120 rad
3
2 rad
Por tanto:
180
2
Ejercicio nº 3.-
114 35'30"
Soluciones
rad
a) Expresaengrados
los siguientes ángulos dados enradianes:
b Expresa en radianes los ángulos: 225 y 100
5
y
6
3

Solución:
5
5
180
a) rad 150
6 6
180
3 rad 3 171 53'14"
5
b) 225 225
rad rad
180 4
5
100 100
rad rad
180 9
Ejercicio nº 4.-
Completa la tabla:
Solución:
13
130 130
rad rad
180 18
4
4
180
rad 240
3 3
11
330 330
rad rad
180 6
180
1,
5 rad 1,
5
85 56'37"
Por tanto:
Ejercicio nº 5.-
a Pasa a radianes los siguientes ángulos: 60 y 125
2
b) Pasa a grados los ángulos:
rad y 2, 5 rad
5
Solución:
60
a) 60 rad rad
180 3
125
25
125 rad rad
180 36
2
2
180
b) rad 72
5 5

180
2,
5 rad 2,
5
143 14'22"
Razones trigonométricas
Ejercicio nº 6.-
Calcula las razones trigonométricas de 140 y de 220, sabiendo que:
Solución:
sen40
0, 64; cos 40 0, 77; tg 40 0,84
Como 140 180 40 y 220 180 40 , entonces:
sen140
sen 40 0,
64
cos140
cos
40 0,
77
tg140
tg
40 0,
84
sen220
sen
40 0,
64
cos 220 cos
40 0,
77
tg 220 tg 40 0,
84
Ejercicio nº 7.-
Sabiendo que sen 50 0,77, cos 50 0,64 y tg 50 1,19, calcula sin utilizar las teclas trigonométricas de la
calculadora:
a) cos130
b) tg 310 c) cos230
d) sen310
Solución:
a) cos130
cos
b) tg310
tg
c) cos230
cos
d) sen310
sen
Ejercicio nº 8.-
180 150
cos50
360 50 tg50
1,
19
180 50
cos50
0,
64
0,
64
360 50 sen50
0,
77
Sabiendo que sen 25 0,42, cos 25 0,91 y tag 25 0,47, halla sin utilizar las teclas trigonométricas de la
calculadora las razones trigonométricas de 155 y de 205.
Solución:
Como 155
180 25
y 205 180 25 , entonces:

sen155
sen25
0,
42
cos155
cos
25 0,
91
tg155
tg
25 0,
47
sen205
sen
25 0,
42
cos 205 cos
25 0,
91
tg 205 tg 25 0,
47
Ejercicio nº 9.-
Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :
180 α
b) cos 180 α
a) sen
Solución:
180 sen
0 35
180
cos
a) sen ,
b) cos
Necesitamos saber cuánto vale cos :
2
2
2 2
sen cos 1 0,
35 cos 1
2
0,
1225
cos 1 cos 0,
8775
cos
0,
94 (es positivo, pues 0 90 )
180
cos
0 94
Por tanto:
cos ,
Ejercicio nº 10.-
2
1
Si tg α y α esun
ángulo que está enelprimer
cuadrante, calcula(sin
hallar α)
:
3
180 α
b) tg 180 α
c) tg 360 α
d) tg 360 α
a) tg
Solución:
180
180
360
360
a) tg
1
tg
3
b) tg
1
tg
3
c) tg
1
tg
3
d) tg
1
tg
3

Expresiones trigonométricas
Ejercicio nº 11.-
Demuestra que:
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
2
2
4
4
1
1
Solución:
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
1
1
1
1
2
2
2
2
2
1
1
2
1
2
2
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
cos
x
sen
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
2
2
4
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Ejercicio nº 12.-
Demuestra la igualdad:
x
cos
x
cos
x
sen
x
2
tg
x
sen
2
2
Solución:
x
cos
x
sen
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
tg
x
sen
2
2
2
2
2
2
2
x
cos
x
sen
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
x
sen
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
2
2
2
2
2
2
2
Ejercicio nº 13.-
Demuestra que:
1
2
2
2
x
sen
x
cos
Solución:
2
2
2
1
2
2
2
x
cos
x
cos
x
sen
x
cos

Ejercicio nº 14.-
1 cos x
cos x 2 cos x 1
cos x 1
2
Demuestra la siguiente igualdad:
Solución:
senx cosx
cos2
x
1
sen2x
cosx
senx
x cos x
cos2x
sen x cos x
sen x cos x
cos x sen x
cos x sen xcos
x sen x
sen cos2x
2
2 2
sen x cos x
cos
2x
sen x cos x 2sen
x cos x
cos2x
cos
2
2
x sen
2
2
x
cos2x
sen x cos x 2sen
xcos
x 1
2sen
xcos
x 1
sen2x
Ejercicio nº 15.-
Demuestra la siguiente igualdad:
Solución:
senx
cosx
1
tg 2x
2 2
cos x sen x 2
1
2sen
x cos x
sen x cos x
sen x cos x
2
1 2
2 2
2 2
2 2
cos x sen x cos x sen x 2 cos x sen x
1 sen2x
1
tg 2x
2 cos 2x
2
Ecuaciones trigonométricas
Ejercicio nº 16.-
Resuelve la siguiente ecuación:
Solución:
senx sen2x
2sen
x 0
2
sen x sen 2x
2sen
x 0
2
sen x 2sen xcos
x 2sen
x 0
2sen
2
2
2sen
x
xcos
x
2
2
2sen
x 0
cos x 1
0

k
x
x
cos
x
cos
k
x
k
x
x
sen
x
sen
360
180
1
0
1
360
180
360
0
0
0
2
2
Por tanto, las soluciones son:
Z
k
k
x
k
x
siendo
360
180
360
Ejercicio nº 17.-
Resuelve la ecuación:
0
2
1
2
2
x
sen
x
cos
Solución:
0
2
1
0
2
1
2
2
2
2
2
x
sen
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
0
2
1
2
x
cos
2
1
2
x
cos
2
2
2
1
x
cos
k
x
k
x
x
cos
k
k
x
k
x
x
cos
360
225
360
135
2
2
siendo
360
315
360
45
2
2
Z
Ejercicio nº 18.-
Resuelve:
x
sen
x
cos
x
cos
x
cos 3
3
3
Solución:
x
sen
x
cos
x
cos
x
cos 3
3
3
0
3
3
3
x
sen
x
cos
x
cos
x
cos
0
3
3
2
x
sen
x
cos
x
cos
0
3
3
1
2
x
sen
x
sen
x
cos
0
2
3
2
x
sen
x
sen
x
cos
0
2
3
2
x
sen
x
sen
x
cos

0
2
3
360
270
360
90
0
2
x
sen
x
sen
k
x
k
x
x
cos
vale)
(no
2
1
2
1
3
2
1
3
2
8
9
3
x
sen
k
x
x
sen
360
270
1
Por tanto las soluciones son:
Z
siendo
360
270
360
90
k
k
x
k
x
Ejercicio nº 19.-
Resuelve la siguiente ecuación trigonométrica:
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
2
2
1
2
2
Solución:
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
2
2
1
2
2
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
2
2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
2
2
x
sen
x
cos
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
0
1
2
2
2
x
cos
x
sen
x
cos
x
cos
x
sen
0
1
1
2
x
cos
x
cos
x
sen
0
2
x
cos
x
cos
x
sen
0
1
2
x
sen
x
cos
k
x
k
x
x
x
k
k
x
k
x
x
360
150
360
30
2
1
sen
0
1
sen
2
siendo
360
270
360
90
0
cos
Z
Ejercicio nº 20.-
Resuelve la ecuación:
x
cos
x
cos 3
1
2
4
Solución:
x
cos
x
sen
x
cos
x
cos
x
cos
3
1
4
3
1
2
4
2
2
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
x
sen
x
cos
3
1
1
4
4
3
1
4
4
2
2
2
2
0
5
3
8
3
1
4
4
4
2
2
2
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
x
cos
1
8
5
16
13
3
16
169
3
16
160
9
3
x
cos

k
x
x
cos
k
k
x
k
x
x
cos
360
180
1
siendo
360
"
56
'
40
308
360
"
4
'
19
51
8
5
Z