Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

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d) Sea A una matriz cualquiera y B = I A = 1 2 −1 3 , B = 1 0 0 1 A · B = A =⇒ T raza(A · B) = T raza(A) = 4, T raza(B) = 2 T raza(A) · T raza(B) = 4 · 2 = 8 Luego T raza(A · B) = T raza(A) · T raza(B) Problema 1.3.4 (3 puntos) Sea f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d un polinomio que cumple f(1) = 0, f ′ (0) = 2, y tiene dos extremos relativos para x = 1 y x = 2. a) (2 puntos) Determinar a, b, c y d. b) (1 punto) ¿Son máximos o mínimos los extremos relativos? Solución: a) f(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d, f ′ (x) = 3ax 2 + 2bx + c ⎧ f(1) = 0 =⇒ a + b + c + d = 0 ⎪⎨ f ⎪⎩ ′ (1) = 0 =⇒ 3a + 2b + c = 0 f ′ (2) = 0 =⇒ 12a + 4b + c = 0 f ′ (0) = 2 =⇒ c = 2 ⎧ a = 1/3 ⎪⎨ b = −3/2 =⇒ c = 2 ⎪⎩ d = −5/6 La función será: b) Calculamos la segunda derivada f ′′ (x) = 2x − 3 =⇒ f(x) = 1 3 x3 − 3 2 x2 + 2x − 5 6 1.4. Junio 2000 - Opción B Problema 1.4.1 (2 puntos) Sean las funciones: f ′′ (1) = −3 < 0 =⇒ Máximo f ′′ (2) = 1 > 0 =⇒ Mínimo f(x) = x 2 y g(x) = x 3 Determinar el área encerrada por las gráficas de ambas funciones y la recta x = 2. Solución: 18
Buscamos los puntos de corte de ambas funciones x 2 = x 3 =⇒ x 3 − x 2 = 0 =⇒ x 2 (x − 1) = 0 =⇒ x = 0, x = 1 Los intervalos de integración serán [0, 1] y [1, 2]. Calculamos la primitiva de f(x) − g(x): F (x) = (f(x) − g(x)) dx = 1 (x 2 − x 3 ) dx = x3 3 (f(x) − g(x)) dx = F (1) − F (0) = 1 3 0 2 (f(x) − g(x)) dx = F (1) − F (0) = 1 8 16 − 3 4 S = 1 12 + −17 18 3 12 = = 12 2 u2 Problema 1.4.2 (2 puntos) − x4 4 1 1 − = 4 12 1 1 − + = −17 3 4 12 a) (1 punto) Si es posible, dibujar de forma clara la gráfica de una función continua en el intervalo [0, 4] que tenga al menos un máximo relativo en el punto (2, 3) y un mínimo relativo en el punto (3, 4). b) (1 punto) Si la función fuera polinómica, ¿cuál ha de ser como mínimo su grado? Solución: a) El dibujo sería el siguiente: 19
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Page 11 and 12: a) (1 punto) Discutir la compatibil
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Page 15 and 16: Solución: a) |A| = (λ − 1)(3λ
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Page 25 and 26: ) t : −→ut = (0, 1, 0) Pt(3, 3
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Page 29: ) Ahora tenemos |A| = ⎛
Page 32 and 33: ) Resolver el sistema A · Solució
Page 34 and 35: c) f ′ (x) = 2x (4 − x2 = 0 =
Page 36 and 37: ) (1,5 puntos) Si el rango de la ma
Page 38 and 39: a) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 2 2 −1 3
Page 40 and 41: El punto de corte será Q 1, 1 2 1
Page 42 and 43: a) (0,5 puntos) Razonar si la funci
Page 44 and 45: a) (1 punto) Discutirlo según los
Page 46 and 47: t : −→ut = (1, 1, 0) Pr(5/4, 7
Page 48 and 49: c) El área buscada sería: 2 S =
Page 50 and 51: ) x = 0 =⇒ A = −1 x = 1 =⇒ B
Page 52 and 53: Con el eje OY : Hacemos x = 0 y ten
Page 55 and 56: Capítulo 3 Año 2002 3.1. Modelo 2
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Page 61 and 62: ) Para encontrar el punto hacemos x
Page 63 and 64: Curvatura: f ′′ (x) = 3e 3x (3x
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3.4. Junio 2002 - Opción B Problem
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0, y0 = 2 z0 = 2, el punto será D(
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Tenemos A = 1 −1 2 −1 1
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) Asíntotas verticales: Cuando x
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Problema 3.5.2 (2 puntos) Se consid
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Solución: a) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
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Capítulo 4 Año 2003 4.1. Modelo 2
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a 2 + b 2 2ab 2ab a 2 + b 2 a 2 + b
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Problema 4.2.2 (2 puntos) Para cada
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a) Monotonía: b) f ′ (x) = 1 3
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) (1 punto) Estudiar si f tiene alg
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Problema 4.3.4 (3 puntos) Dadas las
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c) (1 punto) Determinar (si existen
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4.5. Septiembre 2003 - Opción A Pr
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Rango(A) = 2 ya que 1 2 1 1 =
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f(x)dx = sin x 1 dx = dt = ln |t|
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z = precio de un billete con intern
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) Para dibujar el recinto estudiamo
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única. Si λ = 1: 6 4
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) La recta h que une estos puntos:
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Solución: a) 1 + sin 2 x = 0 siemp
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|A3| = |A1| = |A| = 0, |A2|
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) = 1 0 (2x − 1) 2 4x2 4x2 −
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Tenemos que |A| = 0 y como 2 3 1
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a) Sea la matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2
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d(A, P ) = 2d(B, P ) =⇒ a 1 + 4a
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) π ′ ⎧ ⎪⎨ −→uπ = (1,
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a) (1,5 puntos) Hallar el conjunto
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Horizontales: lím x−→+∞ 2x +
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) (1 punto) Resolver el sistema ant
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6.2. Modelo 2005 - Opción B Proble
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) A n = 2 n−1 A 2 2 ⎛ 1 ⎜ ⎝
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) Si m = 0 las dos rectas se cortan
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Luego en este caso Rango(A) =Rango(
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) Para que el sistema siga siendo c
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) Construimos la recta como interse
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a) t : −→ ut = i j k 1 1
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6.6. Septiembre 2005 - Opción B Pr
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Los vectores (m, m − 2, 3m + 3) y
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a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 −1 k 1
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) Tangente a f(x): f ′ (x) = −
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Asíntotas: a) Verticales: x = −1
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7.4. Junio 2006 - Opción B Problem
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Si a = −1 ⎛ M = ⎜ ⎝ 2 1 1
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7.5. Septiembre 2006 - Opción A 2
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c) M = a c b = ad − cb,
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) −5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 =
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La integral xe 2x dx se resuelve p
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a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 k k 2 1 1 k
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Solución: Luego 3k = 2 =⇒ k = 2
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Problema 8.2.4 (3 puntos) Dada la m
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Problema 8.3.3 (3 puntos) Dados el
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F (x) = x2 − 12 x2 dx = + 4 1 1
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) Luego: B 1 = B 3 = A 10 = ⎛ ⎜
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−→ ur × −→ us = i j
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8.6. Septiembre 2007 - Opción B Pr
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) Elejimos un punto de la recta s p
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Problema 9.1.3 (3 puntos) Dado el s
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P (λ, −3 − λ, −2λ), π : 3
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a) f(x) = ax 2 + b si |x| < 2 1/x
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) Si a = 1 A = 1 −1 2 1 −1 2 E
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Solución: f ′ (x) = (ln(x)) 2 +
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) S ′ (c) = 3c2 √ − 5 5 = 0 =
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) Horizontales: lím f(x) = 0 x−
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) (1 punto) Hallar todos los puntos
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) x = e t − e −t =⇒ dx = (e t
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Solución: x: n o de billetes de 50
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Capítulo 10 Año 2009 10.1. Modelo
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t : −→ut = (3, −2, −1) P (
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) Estudiamos su representación gr
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10.2. Modelo 2009 - Opción B Probl
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Solución: a) |A 3 | = |A| · |A|
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Calculamos los puntos de corte de f
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Solución: ⎛ ⎜ A = ⎝ 4 λ 4λ
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10.4. Junio 2009 - Opción B Proble
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f(0) = 0 + C = 0 =⇒ C = 0 f(x) =
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a) (1,25 puntos) Determinar los val
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Problema 10.5.4 (2 puntos) Dado el
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Calculamos el punto simétrico P
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a) (1 punto) Determinar para qué v
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10.8. Septiembre 2009 - Opción B (
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Problema 10.8.3 (2 puntos) Sabiendo
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2 S = (e 0 x + a e −x ) dx = e x
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Si k = −2 Tenemos: A = ⎛ ⎜
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Si λ = 2 ⎛ A = ⎜ ⎝ 1 0 1 2 1
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La función tiene un máximo en el
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) −−→ PsPr = (0, 1, −4) |[
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a) Para que la función sea continu
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) −−→ PrPs = (3, 3, 1) =⇒ l
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2 4 6 1 2 3 = 2α 2β
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x = −5: lím x−→ −5− ln(x
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3 V = 2π (9−x −3 2 ) 2 3 dx =
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Solución: A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 a 1 0
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Solución: a) b) ⎧ ⎪⎨ x = λ
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c) (1 punto). Para a = 4 y b = −2
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) Se elige una ecuación linealment
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Problema 11.9.2 (3 puntos) El siste
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16 a) (0,5 puntos). (x − 15) 14 8
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Horizontales: No hay 3x lím x−
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Page 285 and 286:
• Oblicuas: No hay al haber horiz
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12.2. Modelo 2011 - Opción B Probl
Page 289 and 290:
a) b) lím x−→0 + xe1/x = [0 ·
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A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 −2 4 2 −1 2
Page 293 and 294:
) El dominio de la función viene d
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) Si a = 1: Asíntotas: Verticales:
Page 297 and 298:
) Si m = 0 Si m = 1 ⎧ ⎪⎨ ⎪
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c) x 2 + 9x + 14 ≥ 0 =⇒ Dom(f)
Page 301 and 302:
Solución: a) b) c) |M| = M
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Si k = 2: ⎛ ⎜ A = ⎝ 2 −8 4
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Page 307 and 308:
) Para m = 1: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
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a) (1,5 puntos). Discutir el sistem
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) Como las dos rectas son paralelas
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) 7 = 1 6 | a − 1 −1 1 0
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Solución: −→ ur1 = (3, −5,
Page 317 and 318:
) c) f ′′ (x) = −2 cos 2x = 0
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) 2x − y + λ = 0, 2 · 1 − 1
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) 2 Solución: a)
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13.7. Septiembre 2012 - Opción A P
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|3λ + 2| = 3 =⇒ |2(4 + 2λ) + (1
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a) x 2 = 0 en (π/2, π) y sin x =
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Problema 14.1.2 (3 puntos) Dado el
Page 333 and 334:
) ⎧ ⎪⎨ −→ ur = (−6, 1,
Page 335 and 336:
) c) F (x) = ln x dx = u = ln x =
Page 337:
) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ A + B = A − B
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