Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

Problema 2.1.4 (3 puntos) Se considera la función
f(x) =
1
4 − x 2
a) (1 punto) Indicar el dominio de definición de la función f y hallar sus
asíntotas.
b) (1 punto) Hallar los extremos relativos de la función f y sus intervalos
de concavidad y convexidad.
c) (1 punto) Dibujar la gráfica de f y hallar su máximo y su mínimo
absolutos en el intervalo [−1, 1].
Solución:
a) Dom(f) = R − {−2, 2}. Sus asíntotas:
b)
Verticales:
En x = 2:
En x = −2:
Horizontales:
En y = 0:
lím
x−→ 2 −
lím
x−→ 2 +
lím
x−→ −2 −
lím
x−→ −2 +
1 1
=
4 − x2 0 +
1
=
4 − x2 1
0 −
1 1
=
4 − x2 0− 1
=
4 − x2 1
0 +
1
lím = 0
x−→∞ 4 − x2 Oblicuas: No hay al haber horizontales.
f ′ (x) =
= +∞
= −∞
= −∞
= +∞
2x
(4 − x2 ) 2 , f ′′ (x) = 2(3x2 + 4)
(4 − x2 ) 3
La segunda derivada no se anula nunca y, por tanto, no hay puntos
de inflexión, y además 2(3x 2 + 4) > 0 siempre. Por otro lado, por el
denominador:
(−∞, −2) (−2, 2) (2, ∞)
f ′′ (x) − + −
f(x) Convexa Cóncava Convexa
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