Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

Problema 2.4.4 (3 puntos) Sean las rectas
r : x − 2 =
y − 1
k
= z + 1
−2
⎧
⎪⎨ x = 1 + λ
s : y = 2 − λ
⎪⎩ z = 2λ
a) (1 punto) Hallar k para que r y s sean coplanarias.
b) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación del plano que
contiene a ambas rectas.
c) (1 punto) Para el valor anterior de k, hallar la ecuación de la recta
perpendicular común a las rectas dadas.
Solución:
a)
b)
r :
−→ur = (1, k, −2)
Pr(2, 1, −1)
s :
1 k −2
1 −1 2
−1 1 1
−→us = (1, −1, 2)
Ps(1, 2, 0)
Si k = −1 las dos rectas son coplanarias.
r :
−→ur = (1, −1, −2)
Pr(2, 1, −1)
π :
s :
1 1 x − 1
−1 −1 y − 2
−2 2 z
c) Calculamos el punto de corte
⎧
⎪⎨ x = 2 + λ
r : y = 1 − λ
⎪⎩ z = −1 − 2λ
El punto es P
5
4
, 7
4
1
, .
2
= 0 =⇒ k = −1
−→us = (1, −1, 2)
Ps(1, 2, 0)
= 0 =⇒ x + y − 3 = 0
⎧
⎪⎨ x = 1 + µ
s : y = 2 − µ
⎪⎩ z = 2µ
−−→
PrPs = (−1, 1, 1)
−−→
PrPs = (−1, 1, 1)
=⇒ λ = − 3 1
, µ =
4 4
El vector director de la recta es
−→ ut = −→ ur × −→
us =
i
1
1
j
−1
−1
k
−2 = −4(1, 1, 0)
2
45