Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

More documents

Recommendations

Info

) x = 0 =⇒ A = −1 x = 1 =⇒ B = 1 1 −1 1 = + x(x − 1) x x − 1 g(x) lím x−→0 x = 0 0 Podemos aplicar la Regla de L’Hôpital para la resolución del límite. Para derivar g(x) aplicamos el Teorema Fundamental del Cálculo y nos queda: g(x) lím x−→0 x = 0 x − ln(1 + e = lím 0 x−→0 x ) = x 0 = lím 0 x−→0 1 = 1 1 + ex Problema 2.6.2 (2 puntos) Sea P (x) un polinomio de grado 4 tal que: Se pide: P (x) es una función par. Dos de sus raices son x = 1 y x = √ 5. P (0) = 5. a) (1 punto) Hallar sus puntos de inflexión. b) (1 punto) Dibujar su gráfica. Solución: P (x) = ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e P (x) es una función par P (−x) = P (x): a(−x) 4 +b(−x) 3 +c(−x) 2 +d(−x)+e = ax 4 +bx 3 +cx 2 +dx+e =⇒ bx 3 +dx = 0 Luego P (x) = ax 4 + cx 2 + e Dos de sus raices son x = 1 y x = √ 5: x = 1 =⇒ P (1) = 0 =⇒ a + c + 5 = 0 x = √ 5 =⇒ P ( √ 5) = 0 =⇒ 5a + c + 1 = 0 =⇒ P (0) = 5 =⇒ e = 5 El polinomio es P (x) = x 4 − 6x 2 + 5 50 a = 1 c = −6
a) Tenemos: P ′ (x) = 4x 3 − 12x, P ′′ (x) = 12x 2 − 12 y P ′′′ (x) = 24x. Para obtener los puntos de inflexión igualamos la segunda derivada a cero: P ′′ (x) = 12x 2 − 12 = 0 =⇒ x = ±1 Sustituimos en la tercera derivada: P ′′′ (1) = 24 = 0 P ′′′ (−1) = −24 = 0 Luego esta función tiene dos puntos de inflexión en los puntos (1, 0) y (−1, 0). b) La gráfica será la siguiente: Calculamos sus máximos y mínimos: P ′ (x) = 4x 3 − 12x = 0 =⇒ x = ± √ 3, x = 0 Por la segunda derivada ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ P ′′ (0) = −12 < 0 P ′′ (− √ 3) = 24 > 0 P ′′ ( √ 3) = 24 > 0 La función tiene un Máximo en el punto (0, 5) y dos Mínimos en los puntos (− √ 3, −4) y ( √ 3, −4). Ahora calculamos puntos de corte: 51
Page 1: Problemas de Selectividad de Matem
Page 4 and 5: 5. Año 2004 107 5.1. Modelo 2004 -
Page 7 and 8: Capítulo 1 Año 2000 1.1. Modelo 2
Page 9 and 10: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ d(P, A) = | −
Page 11 and 12: a) (1 punto) Discutir la compatibil
Page 13 and 14: (x0, y0) = ( √ a, a) y la posici
Page 15 and 16: Solución: a) |A| = (λ − 1)(3λ
Page 17 and 18: ) (1 punto) Comprobar que T raza(A
Page 19 and 20: Buscamos los puntos de corte de amb
Page 21 and 22: Para cualquier valor de a el sistem
Page 23 and 24: función es siempre creciente y no
Page 25 and 26: ) t : −→ut = (0, 1, 0) Pt(3, 3
Page 27 and 28: ∞, 1 − √ √ 10 10 2 1
Page 29: ) Ahora tenemos |A| = ⎛
Page 32 and 33: ) Resolver el sistema A · Solució
Page 34 and 35: c) f ′ (x) = 2x (4 − x2 = 0 =
Page 36 and 37: ) (1,5 puntos) Si el rango de la ma
Page 38 and 39: a) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 1 2 2 2 −1 3
Page 40 and 41: El punto de corte será Q 1, 1 2 1
Page 42 and 43: a) (0,5 puntos) Razonar si la funci
Page 44 and 45: a) (1 punto) Discutirlo según los
Page 46 and 47: t : −→ut = (1, 1, 0) Pr(5/4, 7
Page 48 and 49: c) El área buscada sería: 2 S =
Page 52 and 53: Con el eje OY : Hacemos x = 0 y ten
Page 57 and 58: Problema 3.1.3 (3 puntos) Sea A una
Page 59 and 60: = x3 3 − x2 1 + x =
Page 61 and 62: ) Para encontrar el punto hacemos x
Page 63 and 64: Curvatura: f ′′ (x) = 3e 3x (3x
Page 65 and 66: A3 = ⎛ ⎜ ⎝ 2 a 2 −1 −1 3
Page 67 and 68: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ −4 = c 0 = 9a+
Page 69 and 70: 3.4. Junio 2002 - Opción B Problem
Page 71 and 72: 0, y0 = 2 z0 = 2, el punto será D(
Page 73 and 74: Tenemos A = 1 −1 2 −1 1
Page 75 and 76: ) Asíntotas verticales: Cuando x
Page 77 and 78: Problema 3.5.2 (2 puntos) Se consid
Page 79 and 80: Problema 3.5.4 (3 puntos) Se consid
Page 81 and 82: Solución: a) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
Page 85 and 86: a 2 + b 2 2ab 2ab a 2 + b 2 a 2 + b
Page 87 and 88: Problema 4.2.2 (2 puntos) Para cada
Page 89 and 90: a) Monotonía: b) f ′ (x) = 1 3
Page 91 and 92: ) (1 punto) Estudiar si f tiene alg
Page 93 and 94: Problema 4.3.4 (3 puntos) Dadas las
Page 95 and 96: c) (1 punto) Determinar (si existen
Page 97 and 98: 4.5. Septiembre 2003 - Opción A Pr
Page 99 and 100: Rango(A) = 2 ya que 1 2 1 1 =
Page 101 and 102:
f(x)dx = sin x 1 dx = dt = ln |t|
Page 103 and 104:
z = precio de un billete con intern
Page 105 and 106:
) Para dibujar el recinto estudiamo
Page 107 and 108:
Capítulo 5 Año 2004 5.1. Modelo 2
Page 109 and 110:
única. Si λ = 1: 6 4
Page 111 and 112:
) La recta h que une estos puntos:
Page 113 and 114:
Solución: a) 1 + sin 2 x = 0 siemp
Page 115 and 116:
|A3| = |A1| = |A| = 0, |A2|
Page 117 and 118:
) = 1 0 (2x − 1) 2 4x2 4x2 −
Page 119 and 120:
Tenemos que |A| = 0 y como 2 3 1
Page 121 and 122:
a) Sea la matriz A = ⎛ ⎜ ⎝ 2
Page 123 and 124:
d(A, P ) = 2d(B, P ) =⇒ a 1 + 4a
Page 125 and 126:
) π ′ ⎧ ⎪⎨ −→uπ = (1,
Page 127 and 128:
a) (1,5 puntos) Hallar el conjunto
Page 129 and 130:
Horizontales: lím x−→+∞ 2x +
Page 131 and 132:
Page 133 and 134:
) (1 punto) Resolver el sistema ant
Page 135 and 136:
6.2. Modelo 2005 - Opción B Proble
Page 137 and 138:
) A n = 2 n−1 A 2 2 ⎛ 1 ⎜ ⎝
Page 139 and 140:
) Si m = 0 las dos rectas se cortan
Page 141 and 142:
Luego en este caso Rango(A) =Rango(
Page 143 and 144:
) Para que el sistema siga siendo c
Page 145 and 146:
) Construimos la recta como interse
Page 147 and 148:
a) t : −→ ut = i j k 1 1
Page 149 and 150:
6.6. Septiembre 2005 - Opción B Pr
Page 151 and 152:
Los vectores (m, m − 2, 3m + 3) y
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 2 3 −1 k 1
Page 157 and 158:
) Tangente a f(x): f ′ (x) = −
Page 159 and 160:
Problema 7.2.4 (3 puntos) Se consid
Page 161 and 162:
Asíntotas: a) Verticales: x = −1
Page 163 and 164:
7.4. Junio 2006 - Opción B Problem
Page 165 and 166:
Si a = −1 ⎛ M = ⎜ ⎝ 2 1 1
Page 167 and 168:
7.5. Septiembre 2006 - Opción A 2
Page 169 and 170:
c) M = a c b = ad − cb,
Page 171 and 172:
) −5 + 8λ + 5 − 5λ + λ = 4 =
Page 173 and 174:
La integral xe 2x dx se resuelve p
Page 175 and 176:
Page 177 and 178:
a) b) A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 k k 2 1 1 k
Page 179 and 180:
Solución: Luego 3k = 2 =⇒ k = 2
Page 181 and 182:
Problema 8.2.4 (3 puntos) Dada la m
Page 183 and 184:
Problema 8.3.3 (3 puntos) Dados el
Page 185 and 186:
F (x) = x2 − 12 x2 dx = + 4 1 1
Page 187 and 188:
) Luego: B 1 = B 3 = A 10 = ⎛ ⎜
Page 189 and 190:
−→ ur × −→ us = i j
Page 191 and 192:
8.6. Septiembre 2007 - Opción B Pr
Page 193 and 194:
) Elejimos un punto de la recta s p
Page 195 and 196:
Page 197 and 198:
Problema 9.1.3 (3 puntos) Dado el s
Page 199 and 200:
P (λ, −3 − λ, −2λ), π : 3
Page 201 and 202:
a) f(x) = ax 2 + b si |x| < 2 1/x
Page 203 and 204:
) Si a = 1 A = 1 −1 2 1 −1 2 E
Page 205 and 206:
Solución: f ′ (x) = (ln(x)) 2 +
Page 207 and 208:
) S ′ (c) = 3c2 √ − 5 5 = 0 =
Page 209 and 210:
) Horizontales: lím f(x) = 0 x−
Page 211 and 212:
) (1 punto) Hallar todos los puntos
Page 213 and 214:
) x = e t − e −t =⇒ dx = (e t
Page 215 and 216:
Solución: x: n o de billetes de 50
Page 217 and 218:
Capítulo 10 Año 2009 10.1. Modelo
Page 219 and 220:
t : −→ut = (3, −2, −1) P (
Page 221 and 222:
) Estudiamos su representación gr
Page 223 and 224:
10.2. Modelo 2009 - Opción B Probl
Page 225 and 226:
Solución: a) |A 3 | = |A| · |A|
Page 227 and 228:
Calculamos los puntos de corte de f
Page 229 and 230:
Solución: ⎛ ⎜ A = ⎝ 4 λ 4λ
Page 231 and 232:
10.4. Junio 2009 - Opción B Proble
Page 233 and 234:
f(0) = 0 + C = 0 =⇒ C = 0 f(x) =
Page 235 and 236:
a) (1,25 puntos) Determinar los val
Page 237 and 238:
Problema 10.5.4 (2 puntos) Dado el
Page 239 and 240:
Calculamos el punto simétrico P
Page 241 and 242:
a) (1 punto) Determinar para qué v
Page 243 and 244:
10.8. Septiembre 2009 - Opción B (
Page 245 and 246:
Problema 10.8.3 (2 puntos) Sabiendo
Page 247 and 248:
Page 249 and 250:
2 S = (e 0 x + a e −x ) dx = e x
Page 251 and 252:
Si k = −2 Tenemos: A = ⎛ ⎜
Page 253 and 254:
Si λ = 2 ⎛ A = ⎜ ⎝ 1 0 1 2 1
Page 255 and 256:
La función tiene un máximo en el
Page 257 and 258:
) −−→ PsPr = (0, 1, −4) |[
Page 259 and 260:
a) Para que la función sea continu
Page 261 and 262:
) −−→ PrPs = (3, 3, 1) =⇒ l
Page 263 and 264:
2 4 6 1 2 3 = 2α 2β
Page 265 and 266:
x = −5: lím x−→ −5− ln(x
Page 267 and 268:
3 V = 2π (9−x −3 2 ) 2 3 dx =
Page 269 and 270:
Solución: A = ⎛ ⎜ ⎝ 1 a 1 0
Page 271 and 272:
Solución: a) b) ⎧ ⎪⎨ x = λ
Page 273 and 274:
c) (1 punto). Para a = 4 y b = −2
Page 275 and 276:
) Se elige una ecuación linealment
Page 277 and 278:
Problema 11.9.2 (3 puntos) El siste
Page 279 and 280:
16 a) (0,5 puntos). (x − 15) 14 8
Page 281 and 282:
Horizontales: No hay 3x lím x−
Page 283 and 284:
Page 285 and 286:
• Oblicuas: No hay al haber horiz
Page 287 and 288:
12.2. Modelo 2011 - Opción B Probl
Page 289 and 290:
a) b) lím x−→0 + xe1/x = [0 ·
Page 291 and 292:
A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 −2 4 2 −1 2
Page 293 and 294:
) El dominio de la función viene d
Page 295 and 296:
) Si a = 1: Asíntotas: Verticales:
Page 297 and 298:
) Si m = 0 Si m = 1 ⎧ ⎪⎨ ⎪
Page 299 and 300:
c) x 2 + 9x + 14 ≥ 0 =⇒ Dom(f)
Page 301 and 302:
Solución: a) b) c) |M| = M
Page 303 and 304:
Si k = 2: ⎛ ⎜ A = ⎝ 2 −8 4
Page 305 and 306:
Page 307 and 308:
) Para m = 1: ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ x+
Page 309 and 310:
a) (1,5 puntos). Discutir el sistem
Page 311 and 312:
) Como las dos rectas son paralelas
Page 313 and 314:
) 7 = 1 6 | a − 1 −1 1 0
Page 315 and 316:
Solución: −→ ur1 = (3, −5,
Page 317 and 318:
) c) f ′′ (x) = −2 cos 2x = 0
Page 319 and 320:
) 2x − y + λ = 0, 2 · 1 − 1
Page 321 and 322:
) 2 Solución: a)
Page 323 and 324:
13.7. Septiembre 2012 - Opción A P
Page 325 and 326:
|3λ + 2| = 3 =⇒ |2(4 + 2λ) + (1
Page 327 and 328:
a) x 2 = 0 en (π/2, π) y sin x =
Page 329 and 330:
Page 331 and 332:
Problema 14.1.2 (3 puntos) Dado el
Page 333 and 334:
) ⎧ ⎪⎨ −→ ur = (−6, 1,
Page 335 and 336:
) c) F (x) = ln x dx = u = ln x =
Page 337:
) ⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ A + B = A − B
show all

Problemas de Selectividad de Matemáticas II Comunidad de Madrid (Resueltos)

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?