Cap´ıtulo 2 - McGraw-Hill

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22 - Microeconomía Consideraremos ahora la condición de convexidad de las preferencias, que refleja la idea de “gusto por la variedad”: las combinaciones intermedias de planes de consumo alternativos resultan preferidas. Formalmente: 8 Convexidad estricta Para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ + , y para todo λ ∈ (0,1), xi i x ′ i =⇒ [λxi + (1 − λ)x ′ i] ≻i x ′ i La convexidad estricta indica que si el consumo xi es preferido o indiferente al x ′ i , entonces todo consumo intermedio (con ponderaciones positivas) resulta preferido a x ′ i . Un caso particular pero ilustrativo, tomando Rℓ + = R2 +, es el siguiente: sean xi = (0,xi2), x ′ i = (x′ i1 ,0) y supongamos que xi ∼i x ′ i . La convexidad estricta implica que el consumo promedio 1 2x′ 1 i1 , 2xi2 resulta preferido a cualquiera de los planes de consumo originales. Nótese que, como Rℓ + es un conjunto convexo, si xi,x ′ i son elementos de Rℓ + los planes consumos de la forma λxi + (1 − λ)x ′ i también están en Rℓ +. La convexidad estricta de las preferencias tiene tres implicaciones importantes: (i) Para todo x ′ i ∈ Rℓ + , los conjuntos Mi(x ′ i ) de opciones mejores que x′ i y MIi(x ′ i ) de opciones mejores o iguales que x′ i , son conjuntos convexos. (ii) Las curvas de indiferencia no pueden ser “gruesas” (dicho más formalmente, para todo x ′ i ∈ Rℓ + , intIi(x ′ i ) = ∅). (iii) Las curvas de indiferencia no pueden contener tramos lineales. Es decir, si xi,x ′′ i ∈ Ii(x ′ i ), entonces ningún elemento de la forma λxi + (1 − λ)x ′′ i , con λ ∈ (0,1), puede estar en Ii(x ′ i ). Ello implica que que una curva de indiferencia sólo puede ser tangente en un punto a la restricción presupuestaria. El gráfico 2.5 ilustra unas preferencias en las que se cumplen las propiedades (i) y (ii) pero no la (iii). 2.2.3. La propiedad de monotonía El último requisito que introducimos se refiere a una idea intuitiva importante: en todo problema económico los bienes de los que efectivamente va a disponer el consumidor resultan escasos en relación a sus deseos y aspiraciones. Consecuentemente, el consumidor preferirá siempre elegir en un conjunto de oportunidades lo más grande posible. Esta idea puede precisarse de varias formas alternativas, con diversos grados de generalidad. Nosotros adopataremos aquí la versión más sencilla, que corresponde al concepto de “monotonía” dejando para una sección posterior y los problemas una discusión más fina sobre ideas similares. La noción de monotonía de las preferencias se refiere a un principio sencillo que puede resumirse como “cuanto más, mejor”. Formalmente: Monotonía Para todo xi,x ′ i ∈ Rℓ +, xi >> x ′ i implica xi ≻i xi. 8 Adoptamos aquí la versión más exigente de convexidad. Dejamos para la sección de problemas la discusión de las implicaciones de versiones más generales de esta idea.
CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 23 Gráfico 2.5: Preferencias no estrictamente convexas La monotonía nos dice que el consumidor mejora si aumentamos las cantidades consumidas de todas las mercancías. Ello no excluye la posibilidad de que el consumidor sea indiferente con respecto al consumo de alguna mercancía concreta. 9 Desde un punto de vista geométrico la monotonía implica que las curvas de indiferencia no pueden “cerrarse sobre sí mismas”. O, dicho de otro modo, la curva de indiferencia que contiene a un cierto plan de consumo xi siempre estará por debajo del ángulo recto que genera dicho punto por encima del mismo. Por tanto, las curvas de indiferencia tendrán siempre pendiente negativa, serán “más abiertas que un ángulo recto y estarán orientadas hacia el exterior (es decir, cuanto más nos alejemos del origen en cualquier dirección prefijada encontraremos mejores clases de indiferencia). 2.2.4. Preferencias “regulares” y relación de sustitución En lo que sigue supondremos sistemáticamente que las preferencias cumplen estas cinco propiedades que hemos descrito hasta ahora: completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monotonía. Diremos que las preferencias que cumplen estas cinco propiedades son “preferencias regulares”. Formalmente: Definición 2.1: Decimos que las preferencias i del i-ésimo consumidor son preferencias regulares si verifican las propiedades de completitud, transitividad, continuidad, convexidad estricta y monotonía. Las preferencias regulares describen un consumidor capaz de comparar sistemáticamente todos los planes de consumo, que muestra un gusto por la variedad y 9 Discutimos en la sección de problemas otras definiciones alternativas de monotonía de las preferencias.
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