Cap´ıtulo 2 - McGraw-Hill

20 - Microeconomía
La relación ≻i no es reflexiva ni simétrica. Es transitiva y verifica las propiedades
de asimetría (xi ≻i x ′ i implica que x′ i ⊁i xi) y de irreflexividad (xi ⊁i xi). Si aplicamos
la relación ≻i al conjunto cociente (R ℓ +/ ∼i) obtendremos una ordenación en sentido
estricto y completa de las clases de indiferencia. 7
2.2.2. Propiedades analíticas
Discutiremos a continuación las propiedades de continuidad y convexidad. Estas dos
propiedades juegan un papel fundamental en la formulación matemática del problema
de decisión del consumidor. Pero no se justifican únicamente por su utilidad formal;
también expresan dos ideas muy intuitivas acerca del modo en que los individuos valoran
sus opciones de consumo.
La propiedad de continuidad traduce la idea de que pequeños cambios en las
cantidades consumidas suponen pequeños cambios en nuestra satisfacción. Así, planes
de consumo muy parecidos serán valorados de forma similar.
La propiedad de convexidad está relacionada con un viejo principio de la psicología
experimental que establece que la repetición continuada de un estímulo disminuye
la intensidad de la respuesta. Por tanto la satisfacción de un individuo tiende a aumentar
con la variedad de los estímulos.
Veamos cómo se formalizan estas ideas.
Continuidad Para todo x o i ∈ Rℓ +, los conjuntos
son abiertos en R ℓ + .
Mi(x o i ) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xi ≻i x o i }
Pi(x o i ) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xo i ≻i xi}
El conjunto Mi(xo i ) describe las opciones de consumo que resultan mejores que
xo i ; análogamente, Pi(xo i ) es el conjunto de planes de consumo que son peores que xoi .
Por tanto, la idea intuitiva de continuidad de las preferencias puede expresarse como
sigue: Sean xi,x ′ i ∈ Rℓ + , tales que xi ≻i x ′ i ; entonces puntos que se encuentren “muy
. Más formalmente, la continuidad de las
cerca” de xi también resultarán preferidos a x ′ i
preferencias significa que dados dos planes de consumo xi,x ′ i ∈ Rℓ + tales que xi ≻i x ′ i ,
podemos encontrar una bola de centro xi y radio ε > 0, que denotamos por B(xi,ε), y
una bola de centro x ′ i y radio δ > 0, que denotamos por B(x′ i ,δ), tales que para todo
z en B(xi,ε) se verifica z ≻i x ′ i , y para todo s ∈ B(x′ i ,δ) se verifica xi ≻i s.
Podemos definir también los conjuntos
MIi(x o i) ≡ {xi ∈ R ℓ + / xi i x o i }
PIi(x o i) ≡ {xi ∈ R ℓ + / x o i i xi}
es decir, MIi(xo i ) es el conjunto de todas las opciones que resultan mejores o iguales
que xo i , y PIi(xo i ) es el conjunto de las opciones peores o iguales que xoi . Nótese que,
7 Recordemos que, dada una relación de equivalencia ∼ definida sobre un conjunto X, denominamos
conjunto cociente, y lo denotamos por (X/ ∼), al conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia
definidas en X por la relación ∼ .