Cap´ıtulo 2 - McGraw-Hill

CONJUNTOS DE CONSUMO Y PREFERENCIAS - 25
consumidor pueda saciarse con respecto a algún bien concreto en R ℓ +; lo que no permite
es que pueda saciarse con respecto a todos los bienes simultáneamente.
Como se prueba en la siguiente proposición, cuando las preferencias son estrictamente
convexas, la no-saciabilidad implica que las preferencias sean no-saciables localmente:
Proposición 2.1: Sea i una relación de preferencias definida sobre R ℓ + . Si i verifica
los requisitos de convexidad estricta y no-saciabilidad entonces cumple el axioma de nosaciabilidad
local.
Demostración
Sea xi un punto arbitrario de R ℓ +. Queremos probar que para todo α > 0 existe algún
x ′ i ∈ B(xi,α) ∩ R ℓ + tal que x ′ i ≻i xi.
La no-saciabilidad nos permite asegurar que existirá un cierto xi ∈ R ℓ + tal que xi ≻i xi.
De la convexidad estricta de las preferencias se deduce que todos los puntos del segmento
que une xi con xi, excepto el xi, son mejores que xi. Es decir, λxi + (1 − λ)xi ≻i
xi, para todo λ ∈ (0,1). La convexidad de R ℓ + asegura que este segmento intersecta
necesariamente a todo conjunto de la forma B(xi,α) ∩ R ℓ +, con α > 0, lo que prueba el
resultado.
El siguiente resultado establece que si las preferencias son continuas y monótonas,
entonces todas las mercancías son “bienes”, en el sentido de que aumentar el consumo
de cualquiera de ellas sin disminuir las demás nunca empeora la situación. Formalmente:
Proposición 2.2: Sea i una relación de preferencias transitiva, completa, continua
y monótona, definida sobre R ℓ +. Entonces: xi > x ′ i =⇒ xi i x ′ i .
Demostración
Sea xi ∈ Rℓ + tal que xi >> xi. La monotonía de las preferencias implica que xi ≻i x ′ i
puesto que xi > x ′ i . Sea {xν i } una sucesión monótona decreciente que nos lleva de xi a
xi, con x ν i >> xi para todo ν. Por monotonía se cumple que x ν i ≻i x ′ i . En el límite, xi,
el axioma de continuidad implica que xi x ′ i .
Una consecuencia importante de este resultado es que, bajo los supuestos de continuidad
y monotonía, los precios que determinan la restricción presupuestaria podemos
tomarlos siempre como no-negativos (recordemos que los precios negativos correspondían
al coste unitario de eliminación de mercancías indeseables). Puesto que no hay
mercancías indeseables los precios negativos carecen de sentido.
Un concepto muy directamente relacionado con la idea de monotonía es el de
bien deseable. Para presentarlo comencemos definiendo e k ∈ R ℓ como aquel vector
cuyos componentes son todos cero excepto el k-ésimo que es igual a la unidad. Es decir,
e 1 = (1,0,...,0), e 2 = (0,1,0,...,0), ..., e ℓ = (0,...,0,1).
Se dice que el bien k es deseable para el i-ésimo consumidor si, para todo xi ∈ R ℓ + y
para todo número γ > 0, xi + γe k ≻i xi.
En otros términos: un bien es deseable cuando el consumidor mejora al aumentar
la cantidad consumida del mismo, sin disminuir las cantidades consumidas de los
demás bienes. Es obvio que si todos los bienes son deseables entonces la relación de preferencias
es monótona. Aunque el recíproco no es cierto en general, sí que lo es cuando
combinamos la propiedad de monotonía con la convexidad estricta. Formalmente: