Ejercicios de vectores.pdf - Amolasmates

1
Vectores
.
v
u
y
v
u
,
v
u
v
u
→
→
→
→
→
→
→
→
+
−
+
−
−
2
1
2
dibuja
vectores,
siguientes
los
son
y
Si
a)
Ejercicio nº 1.-
( ) :
de
s
coordenada
las
Obtén
2
,
2
1
y
3
2,
son
vectores
dos
de
s
coordenada
Las
b)
.
⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
→
→
b
a
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
+
−
→
→
→
→
→
→
b
a
b
a
b
a
3
1
;
2
1
;
2
3
:
figura
la
muestra
que
los
y
siendo
,
3
2
y
2
1
vectores
los
Dibuja
a)
→
→
→
→
→
→
→
→
+
+
−
− v
u
v
u
v
u
,
v
u
Ejercicio nº 2.-
( ) :
de
s
coordenada
las
obtén
,
2
3,
y
1
,
3
2
vectores
los
Dados
b) −
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
→
→
b
a
→
→
→
→
→
→
−
−
+
− b
a
;
b
a
;
b
a
3
1
2
2
3

2
:
→
→
→
→
→
→
→
→
−
−
+
+
− v
u
v
u
,
v
u
v
u
3
1
y
3
2
2
dibuja
figura,
la
muestra
que
vectores
los
son
y
Si
a)
Ejercicio nº 3.-
( )
→
→
→
→
→
→
→
→
−
+
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
b
a
;
b
a
;
b
a
b
a
2
1
2
5
1
5
:
vectores
los
de
s
coordenada
las
obtén
,
3
1,
y
3
,
5
2
son
y
de
s
coordenada
las
Si
b)
:
3
2
y
2
,
dibuja
ellos,
de
partir
A
figura.
la
muestra
que
los
son
y
vectores
Los
a)
→
→
→
→
→
→
→
→
+
+
−
−
− v
u
v
u
v
u
v
u
Ejercicio nº 4.-
( )
→
→
→
→
→
→
→
→
+
+
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
b
a
;
b
a
;
b
a
b
a
2
2
1
4
3
:
de
s
coordenada
las
obtén
,
4
1
1,
y
1
2,
son
y
vectores
los
de
s
coordenada
las
Si
b)

Ejercicio nº 5.-
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
→ → → 1 → → →
− u+ 2v
; u+
v;
u−
2v
2
→ ⎛ − 3
b) Dados los vectores a ⎜ ,
⎝ 4
→ ⎞
2⎟
y b
⎠
−
→ 1 →
a− b;
2
→ →
− 2 a+
b;
→ →
− 4 a+
b
Ejercicio nº 6.-
a) Escribe los vectores
→
x,
→
y ,
→
z
( 2, 2)
, obtén las coordenadas
de:
como combinación
lineal de
→
→
u y v:
→
⎛ 1 ⎞
b) Escribe el vector a
−
⎝ 5 ⎠
Ejercicio nº 7.-
a) Expresa los vectores
→
→
( 0, 17)
com combinación
lineal de b ⎜ , 3⎟
y c ( 1, 2).
→
→
→
a, b y c como combinación
lineal de los vectores u y v:
→
⎛ 1
b) Expresa el vector x
z
⎝ 2
→
→
( 5, − 2)
como combinación
lineal de y ( 1, − 2)
y ⎜ , 2 .
→
→
⎞
⎟
⎠
3

Ejercicio nº 8.-
a) Escribe los vectores
b) Halla las coordenadas
del vector w
→ ⎛ 1 ⎞
u ⎜−
, 1⎟
⎝ 2 ⎠
y
→
v ( − 3, 2)
Ejercicio nº 9.-
→
→
→
a, b y c como combinación
lineal de x e y:
→
( 1, 0)
( − 2, 3)
a) Halla las coordenadas
del vector u −
con respecto a la base formada por
→
→
con respecto a la base formada por los vectores
⎛ 1 ⎞
v ⎜ 2, − ⎟ y w ( 1, − 1)
⎝ 3 ⎠
b) Expresa los vectores x,
y,
z como combinación
lineal de los vectores a y b :
Ejercicio nº 10.-
⎛ 1 ⎞
a) Expresa el vector x
⎟
⎝ 2 ⎠
( 4, 1)
como combinación
lineal de los vectores y ( 2, − 3 ) y z ⎜ , 1 .
4

Ejercicio nº 11.-
→
Dados x
k
→
( 5, − 4)
, y ( 3, 2)
y z ( 1, ):
a) Halla el valor de
k
para que
→
x
y
b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que
Ejercicio nº 12.-
→
→
( 1, − 3)
y b ( , 2):
Si a
m
a) Halla el valor de
m
para que
b) Calcula el ángulo formado por
Ejercicio nº 13.-
→
→
→
z
→
formen un ángulo 90
a y b sean perpendiculares.
→
a
→
y c siendo
→
c ( 4, 2).
→
→
( − 1, 4)
, v ( 3, m)
y w ( 2, 3):
Dados los vectores u
−
a) Calcula
m
para que
b) Halla el ángulo que forman
Ejercicio nº 14.-
→
u
→
→
y v sean perpendiculares.
→
u
→
y w .
→
( a,
3)
e y ( 1, b)
.
Considera los vectores x
sean perpendiculares
y que x = 5.
Ejercicio nº 15.-
.
→
x .
− Halla los valores de a y b para que x e y
a) Halla el ángulo que forman los vectores
→ 3 4 →
⎛ − ⎞
a ⎜ , ⎟ y b ( 1, 1)
⎝ 5 5 ⎠
→
⎛ 3 − 4 ⎞
b) ¿Cuál sería el valor de x
para que el vector u
⎟
⎝ 5 5 ⎠
→
( 1,
x ) fuera perpendicular
a a ⎜ , ?
→
→
5

Ejercicio nº 1.-
a) Si
→
→
u y v
Soluciones ejercicios de Vectores
son los siguientes vectores, dibuja
b) Las coordenadas
de dos vectores son
Solución:
a)
→
→
− 3a+
2b;
→ 1 →
− a+
b;
2
→
a
1 → → ⎛ ⎞
⎜a−
b⎟
3 ⎝ ⎠
→ →
⎛ 1 ⎞
b) − 3a
+ 2b
= −3
−
−
⎝ 2 ⎠
→ 1 →
− a+
b = −
2
1 → → ⎛ ⎞ 1 ⎡
⎜a−
b⎟
= ⎢
3 ⎝ ⎠ 3 ⎣
Ejercicio nº 2.-
a) Dibuja los vectores
→ → → → → 1 →
2u−
v , − u+
v y − u+
v .
2
⎛ 1
−
⎝ 2
( 2,
− 3)
+ 2⎜
, 2⎟
= ( − 6,
9)
+ ( − 1,
4)
= ( 7,
13)
1 ⎛ 1
−
⎝
⎞
( 2,
− 3)
+ ⎜ , 2⎟
= ( − 2,
3)
+ ⎜ , 1⎟
= ⎜ , 4⎟
2 2
4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ 1
−
⎠
⎞⎤
1 ⎛ 5
⎞
⎟
⎠
→
( 2, − 3)
y b⎜
, 2 . Obtén las coordenadas
de:
⎛ 1
−
⎝
⎞
⎛ − 9
⎛ 5 − 5 ⎞
( 2,
− 3)
− ⎜ , 2⎟⎥
= ⎜ , − 5⎟
= ⎜ , ⎟
⎝ 2 ⎠ 3 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 6 3 ⎠
⎦
→ → → 1 → → →
→ →
u−
v , − u+
v y 2u+
3v
, siendo u y v
2
⎞
⎞
los que muestra la figura:
6

→ 2
→
⎛ ⎞
b) Dados los vectores a ⎜ , − 1⎟
y b
⎝ 3 ⎠
−
→ →
− 3a
+ 2b;
→ →
2a−
b;
→ 1 →
a−
b
3
Solución:
a)
( 3, 2)
, obtén las coordenadas
de:
→ → ⎛ 2 ⎞
b) − 3 a+
2 b = −3⎜
, −1⎟
+ 2
−
⎝ 3 ⎠
⎛ ⎞
− = ⎜ − ⎟ −
⎝ ⎠
→ → 2
2a b 2 , 1
3
1 ⎛ 2 ⎞ 1
b = ⎜ , −1⎟
−
3 ⎝ 3 ⎠ 3
− → →
a
Ejercicio nº 3.-
a) Si
→
→
u y v
( 3,
− 2)
= ( − 2,
3)
+ ( 6,
− 4)
= ( 4,
1)
⎛ 4
⎞
⎛ − 5
( 3,
− 2)
= ⎜ , − 2⎟
− ( 3,
− 2)
= ⎜ , 0⎟
⎝ 3 ⎠
⎝ 3 ⎠
⎛ 2
⎞
⎛ − 2 ⎞
( 3,
− 2)
= ⎜ , −1⎟
− ⎜1,
⎟ = ⎜ , ⎟
3 ⎝ 3 ⎠ 3 3 ⎠
⎝
⎠
⎞
⎛ −1
−1⎞
son los vectores que muestra la figura, dibuja
⎝
→ → 2 → → 1 →
− u+
2v
, u+
v y − u−
v
3 3
→
:
7

8
( )
→
→
→
→
→
→
→
→
−
+
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
b
a
;
b
a
;
b
a
b
a
2
1
2
5
1
5
:
vectores
los
de
s
coordenada
las
obtén
,
3
1,
y
3
,
5
2
son
y
de
s
coordenada
las
Si
b)
Solución:
a)
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+
−
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
+ →
→
5
72
,
5
9
5
3
,
5
1
15
,
2
3
,
1
5
1
3
,
5
2
5
5
1
5
b) b
a
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
=
+
−
→
→
9
,
5
12
6
,
2
3
,
5
2
3
,
1
2
3
,
5
2
2 b
a
( ) ( ) ⎟ ⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
=
−
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
=
− →
→
2
9
,
5
6
3
,
1
2
3
,
5
1
3
,
1
3
,
5
2
2
1
2
1
b
a
:
3
2
y
2
,
dibuja
ellos,
de
partir
A
figura.
la
muestra
que
los
son
y
vectores
Los
a)
→
→
→
→
→
→
→
→
+
+
−
−
− v
u
v
u
v
u
v
u
Ejercicio nº 4.-
( )
→
→
→
→
→
→
→
→
+
+
−
+
−
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
−
−
b
a
;
b
a
;
b
a
b
a
2
2
1
4
3
:
de
s
coordenada
las
obtén
,
4
1
1,
y
1
2,
son
y
vectores
los
de
s
coordenada
las
Si
b)

Solución:
a)
→ →
⎛ − 1⎞
b) − 3a+
4b
= −3
−
⎝ 4 ⎠
→
→
− a+
b = −
1
2
→
a
1
2b
=
2
+ →
Ejercicio nº 5.-
( − 2,
1)
+ 4⎜1,
⎟ = ( 6,
− 3)
+ ( 4,
− 1)
= ( 10,
4)
⎛ − 1⎞
⎛ − 1⎞
⎛ − 5 ⎞
( − 2,
1)
+ ⎜1,
⎟ = ( 2,
− 1)
+ ⎜1,
⎟ = ⎜3,
⎟
⎝ 4 ⎠
⎝ 4 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎛ − 1⎞
⎝ 4 ⎠
⎛
−
⎝
1 ⎞
2 ⎠
⎛ − 1⎞
⎝ 2 ⎠
( − 2,
1)
+ 2⎜1,
⎟ = ⎜ 1,
⎟ + ⎜2,
⎟ = ( 1,
0)
a) A la vista de la siguiente figura, dibuja los vectores:
→ → → 1 → → →
− u+ 2v
; u+
v;
u−
2v
2
→ ⎛ − 3
b) Dados los vectores a ⎜ ,
⎝ 4
→ ⎞
2⎟
y b
⎠
−
→ 1
→
a− b;
2
→ →
− 2 a+
b;
→ →
− 4 a+
b
( 2, 2)
, obtén las coordenadas
de:
9

Solución:
a)
⎛ − ⎞
− = ⎜ ⎟ −
⎝ ⎠
→ → 1 3 1
b) a b , 2
2 4 2
⎛ − 3
⎞
⎛ − 7
( 2,
− 2)
= ⎜
⎝ 4
, 2⎟
− ( 1,
−1)
= ⎜
⎠ ⎝ 4
, 3⎟
⎠
⎛ 3 ⎞
⎛ 7 ⎞
+ ( 2,
− 2)
= ⎜ , − 4⎟
+ ( 2,
− 2)
= ⎜ , − 6⎟
⎝ 2 ⎠
⎝ 2 ⎠
⎞
⎟ + ( 2,
− 2)
= ( 3,
− 8)
+ ( 2,
− 2)
= ( 5,
10)
→ → ⎛ − 3 ⎞
− 2a + b = −2⎜
, 2⎟
⎝ 4 ⎠
→ → ⎛ − 3
− 4a + b = −4⎜
,
⎝ 4
2
⎠
−
Ejercicio nº 6.-
a) Escribe los vectores
→
x,
→
y ,
→
z
como combinación
lineal de
⎞
→
→
u y v:
→
⎛ 1 ⎞
b) Escribe el vector a
−
⎝ 5 ⎠
Solución:
a)
→
→
( 0, 17)
com combinación
lineal de b ⎜ , 3⎟
y c ( 1, 2).
b) Tenemos que encontrar dos números, m y n, tales que:
→
→
→
,
a
= m ⋅ b + n ⋅ c
es decir:
10

⎛ 1
⎝ 5
⎛ m
⎝ 5
⎛ m
( 0,
17)
= m ⋅ ⎜ , 3⎟
+ n ⋅ ( − 1,
2)
⎠
⎞
( 0,
17)
= ⎜ , 3m⎟
+ ( − n,
2n)
( 0,
17)
= ⎜ − n,
3m
+ 2n⎟
⎝ 5
⎠
17 3 2
5
m ⎫
0 = − n ⎪
⎬
= m + n⎪⎭
m = 5 n = 5
Por tanto:
→
→
→
a = 5 ⋅ b+
1⋅
c,
⎛ 1
⎝ 5
⎠
⎞
⎞
0 = m − 5n
⎫
17 = 3m
+ 2n
⎬
⎭
es decir:
( 0, 17)
= 5⎜
, 3⎟
+ ( − 1,
2)
Ejercicio nº 7.-
a) Expresa los vectores
⎞
⎠
→
→
→
5n
= m
17 = 15n
+ 2n
→
17 = 17n
→
n = 1
a, b y c como combinación
lineal de los vectores u y v:
→
⎛ 1
b) Expresa el vector x
z
⎝ 2
Solución:
a)
→
→
( 5, − 2)
como combinación
lineal de y ( 1, − 2)
y ⎜ , 2 .
b) Hemos de encontrar dos números, m y n, tales que:
→
→
→
,
x
= m ⋅ y+
n ⋅ z
es decir:
→
→
⎞
⎟
⎠
11

( 5,
− 2)
= m ( 1,
− 2)
( 5,
− 2)
= ( m,
− 2m)
⎛
⎛ 1 ⎞
+ n ⎜ , 2⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ n ⎞
+ ⎜ , 2n⎟
⎝ 2 ⎠
⎞
( 5,
− 2)
= ⎜m
+ , − 2m
+ 2n⎟
⎝ 2
⎠
n
n ⎫
5 = m + ⎪
2 ⎬
− 2 = −2m
+ 2n⎪⎭
10 = 2m
+ n ⎫
− 2 = −2m
+ 2n
⎬
⎭
n = 10 − 2m
⎫
− 1 = −m
+ n
⎬
⎭
n = 10 − 2m⎫
n = −1+
m
⎬
⎭
10 − 2m
= −1+
m
Por tanto:
→ − 2m
− m = −1−
10 → − 3m
= −11
11
→ m = ;
3
11
n = −1+
m = −1+
=
3
→ 11 → 8 →
x = y + z,
es decir:
3 3
5,
− 2
11
= 1,
− 2
3
8 ⎛ 1 ⎞
+ ⎜ , 2
3 ⎝ 2
( ) ( ) ⎟ ⎠
Ejercicio nº 8.-
a) Escribe los vectores
b) Halla las coordenadas
del vector w
→ ⎛ 1 ⎞
u ⎜−
, 1⎟
⎝ 2 ⎠
y
→
v ( − 3, 2)
Solución:
a)
→
→
→
a, b y c como combinación
lineal de x e y:
→
( 1, 0)
b) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
→
→
→
,
w
= m ⋅ u+
n ⋅ v
es decir:
con respecto a la base formada por
→
→
8
3
12

⎛ 1
−
⎝ 2
⎛ m
−
⎝ 2
⎛ m
( 1,
0)
= m ⎜ , 1⎟
+ n(
− 3,
2)
⎠
⎞
( 1,
0)
= ⎜ , m⎟
+ ( − 3n,
2n)
( 1,
0)
= ⎜−
− 3n,
m + 2n⎟
⎝ 2
⎠
m ⎫
1 = − − 3n⎪
2 ⎬
0 = m + 2n
⎪⎭
m = -2n = 1
⎠
⎞
⎞
2 = −m
− 6n⎫
− 2n
= m
⎬
⎭
Por tanto:
→ → 1 → ⎛ ⎞
w = 1⋅
u+
⎜−
⎟ ⋅ v,
es decir:
⎝ 2 ⎠
⎛ 1 ⎞ 1
( 1 , 0)
= ⎜−
, 1⎟
− ( − 3,
2)
⎝ 2 ⎠ 2
→
2 = 2n
− 6n
2 = −4n
→
n =
2
− 4
1
= −
2
Las coordenadas
de w respecto a la base formada por u y v
Ejercicio nº 9.-
( − 2, 3)
a) Halla las coordenadas
del vector u −
→
→
son:
⎛ 1 ⎞
⎜1,
− ⎟
⎝ 2 ⎠
con respecto a la base formada por los vectores
⎛ 1 ⎞
v ⎜ 2, − ⎟ y w ( 1, − 1)
⎝ 3 ⎠
b) Expresa los vectores x,
y,
z como combinación
lineal de los vectores a y b :
Solución:
a) Hemos de hallar dos números, m y n, tales que:
→
→
→
,
u = m ⋅ v + n ⋅ w
es decir:
( − 2,
− 3)
= m ⋅ ⎜2,
− ⎟ + n ⋅ ( 1,
− 1)
⎛
( − 2,
− 3)
= ⎜2m,
− ⎟ + ( n,
− n)
⎝
⎛
⎛
⎝
1 ⎞
3 ⎠
m ⎞
3 ⎠
m
( − 2,
− 3)
= ⎜2m
+ n,
− − n⎟
⎝ 3 ⎠
− 2 = 2m
+ n ⎫
⎪
− m
− 3 = − n
⎬
3 ⎪⎭
− 2 = 2m
+ n ⎫
− 9 = −m
− 3n
⎬
⎭
− 2 − 2m
= n
− 9 = −m
− 3
−9
= −m
+ 6 + 6m
→ − 9 − 6 = −m
+ 6m
→
n = −2
− 2m
= −2
+ 6 = 4
⎞
( ) ⎬
⎭ ⎫
− 2 − 2m
− 15 = 5m
→
m = −3
13

)
Por tanto:
→
→
→
u = −3v
+ 4w,
⎛
es decir:
1 ⎞
3 ⎠
( − 2, − 3)
= −3⎜2,
− ⎟ + 4(
1,
− 1)
⎝
→
( 3 4)
Las coordenadas
de u con respecto a la base formada por v y w son − ,
Ejercicio nº 10.-
⎛ 1 ⎞
a) Expresa el vector x
⎟
⎝ 2 ⎠
Solución:
( 4, 1)
como combinación
lineal de los vectores y ( 2, − 3 ) y z ⎜ , 1 .
a) Tenemos que hallar dos números, m y n, tales que:
→
→
→
,
x = m ⋅ y + n ⋅ z
( 4,
1)
= m(
2,
− 3)
( 4,
1)
= ( 2m,
− 3m)
⎛
es decir:
⎛ 1 ⎞
+ n⎜
, 1⎟
⎝ 2 ⎠
⎛ n ⎞
+ ⎜ , n⎟
⎝ 2 ⎠
n ⎞
( 4,
1)
= ⎜2m
+ , − 3m
+ n⎟
⎝ 2 ⎠
n ⎫
4
= 2m
+ ⎪
2 ⎬
1 = −3m
+ n⎪⎭
8 = 4m
+ n ⎫
1 = −3m
+ n
⎬
⎭
8 − 4m
= n⎫
1+
3m
= n
⎬
⎭
→
8 − 4m
= 1+
3m⎫
8 − 1 = 3m
+ 4m
⎬
⎭
→
.
14

)
7 = 7m
→
m = 1
n = 1+
3m
= 1+
3 = 4
Por tanto:
→
→
→
x = 1⋅
y+
4 ⋅ z;
es decir:
⎛ 1
( 4 , 1)
= ( 2,
−3)
+ 4⎜
, 1⎟
⎝ 2 ⎠
Ejercicio nº 11.-
→
Dados x
k
→
( 5, − 4)
, y ( 3, 2)
y z ( 1, ):
a) Halla el valor de
k
⎞
para que
→
x
y
b) Halla un vector unitario con la misma dirección y el mismo sentido que
Solución:
a) Para que x y z
ser igual a cero:
⋅ → →
x
→
formen un ángulo de 90
5
z = ( 5 , − 4)
⋅ ( 1,
k ) = 5 − 4k
= 0 → k =
4
→
b) Hallamos el módulo de x
→
x
=
5
2
+
2 ( − 4)
= 25 + 16 = 41
El vector unitario con la misma
Ejercicio nº 12.-
→
⎛ 5 − 4 ⎞
⎜ ,
⎟
⎝ 41 41 ⎠
→
( 1, − 3)
y b ( , 2):
Si a
m
a) Halla el valor de
m
para que
b) Calcula el ángulo formado por
z
dirección
→
→
formen un ángulo 90
.
→
x .
(sean perpendiculares),
su producto escalar ha de
y sentido que
→
x
será:
a y b sean perpendiculares.
→
a
→
y c siendo
→
c ( 4, 2).
15

Solución:
a) Para que a y b
⋅ → →
a
b =
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎝ ⎠
∧
→ →
b) cos a,
c
sean perpendiculares,
su producto escalar debe ser cero :
( 1 , − 3)
⋅ ( m,
2)
= m − 6 = 0 → m = 6
=
Ejercicio nº 13.-
a ⋅ c
→
a
→
⋅
→
→
c
−0,
14
→
=
→
1
2
+
( 1,
3)
⋅ ( 4,
2)
2 ( − 3)
⋅ 4
2
+ 2
⎛ ⎞
⎜
,
⎟
⎜ ⎟
= 98 7'48''
⎝ ⎠
∧
→ →
a c
2
=
4 − 6
10 ⋅ 20
→
→
( − 1, 4)
, v ( 3, m)
y w ( 2, 3):
Dados los vectores u
−
a) Calcula
m
para que
b) Halla el ángulo que forman
Solución:
a) Para que
⋅ → →
→
u
u v =
⎛ ⎞
b)
⎜
,
⎟
⎜ ⎟
=
⎝ ⎠
∧
→ →
cos u w
Así,
Ejercicio nº 14.-
→
→
u
→
y v sean perpendiculares.
→
u
→
y w .
=
− 2
200
y v sean perpendiculares,
su producto escalar ha de ser cero, es decir:
1 , 4 ⋅ 3,
m = −3
+ 4m
= 0 →
3
m =
4
( − ) ( )
u ⋅w
→
→
→
→
u ⋅ w
=
⎛ ⎞
⎜
,
⎟
⎜ ⎟
= 160 20'46''.
⎝ ⎠
∧ → →
u w
− 2 −12
2 2 2
( −1)
+ 4 ⋅ 2 + ( − 3)
→
→
( a,
3)
e y ( 1, b)
.
Considera los vectores x
sean perpendiculares
y que x = 5.
Solución:
1.º )
2.º )
Para que
⋅ → →
→
x
e
→
y
( a,
3)
⋅ ( −1,
)
2
=
−14
−14
= = −0,
94
17 ⋅ 13 221
− Halla los valores de a y b para que x e y
sean perpendiculares,
su producto escalar ha de ser cero, es decir
b = −a
+ 3b
= 0 → b
a
3
x y =
=
Hallamos el módulo
de
→
x
e igualamos a 5:
2 2 2
x = a + 3 = a + 9 = 5 → a
2
+ 9 = 25
=
→
:
→
16

2
a = 25 − 9 = 16 → a = ±
⎧
⎪a
= 4
16 → ⎨
⎪a
= −4
⎪⎩
→
→
4
b =
3
4
b = −
3
Por tanto, hay dos posibilidades:
a
1
4
4
= 4, b1
= ; a2
= −4,
b2
= −
3
3
Ejercicio nº 15.-
a) Halla el ángulo que forman los vectores
→ 3 4 →
⎛ − ⎞
a ⎜ , ⎟ y b ( 1, 1)
⎝ 5 5 ⎠
→
⎛ 3 − 4 ⎞
b) ¿Cuál sería el valor de x para que el vector u
⎟
⎝ 5 5 ⎠
Solución:
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
=
⎝ ⎠
∧
→ →
a) cos a,
c
→
→ →
a⋅
b
→
a
⋅
→
b
=
⎛ ⎞
⎜
,
⎟
⎜ ⎟
= 98 7'48''
⎝ ⎠
∧
→ →
a c
→
→
9
25
3 4
−
5 5
16
+ ⋅
25
1
−
−
=
5 1
= = −0,
14
2 5 2
1+
1
→
( 1,
x ) fuera perpendicular
a a ⎜ , ?
b) Para que u y a sean perpendiculares,
su producto escalar debe ser cero:
⎛ 3 − 4 ⎞ 3 4
⋅ = ( 1 , ) ⋅ ⎜ , ⎟ = − = 0
⎝ 5 5 ⎠ 5 5
→ 3 − 4 = 0 →
3
=
4
→ →
x
u
a x
x x
→
17