Cuerpos geométricos.
Cuerpos geométricos.
Cuerpos geométricos.
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8<br />
Objetivos<br />
En esta quincena aprenderás a:<br />
• Identificar que es un poliedro.<br />
• Determinar los elementos de un<br />
poliedro: Caras, aristas y<br />
vértices.<br />
• Clasificar los poliedros.<br />
• Especificar cuándo un poliedro<br />
es un prisma o una pirámide.<br />
• Distinguir los poliedros regulares<br />
convexos también denominados<br />
sólidos platónicos.<br />
• Construir los poliedros a partir<br />
de su desarrollo plano.<br />
• Diferenciar y catalogar algunos<br />
sólidos de revolución: Cilindro,<br />
Cono y esfera.<br />
• Resolver problemas <strong>geométricos</strong><br />
aplicando el Teorema de<br />
Pitágoras.<br />
Antes de empezar<br />
1. Poliedros......……………………………...pág. 138<br />
Definición<br />
Elementos de un poliedro<br />
2.Tipos de poliedros..……………………..pág. 140<br />
Prismas<br />
Prismas regulares<br />
Desarrollo de un prisma recto<br />
Paralelepípedos<br />
Pirámides<br />
Pirámides regulares<br />
Desarrollo de una pirámide recta<br />
Poliedros regulares<br />
Desarrollo de poliedros regulares<br />
Relación de Euler<br />
3. <strong>Cuerpos</strong> redondos...............…....pág. 147<br />
Cilindro<br />
Desarrollo de un cilindro recto<br />
Cono<br />
Desarrollo de un cono recto<br />
Esfera<br />
Ejercicios para practicar<br />
Para saber más<br />
Resumen<br />
Autoevaluación<br />
Soluciones<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 135
136 MATEMÁTICAS 2º ESO
Antes de empezar<br />
Un balón de fútbol se puede construir con polígonos regulares: 12 pentágonos y 20<br />
hexágonos. Aquí puedes observar como se obtienen estos intersecando un icosaedro y un<br />
dodecaedro.<br />
Recuerda<br />
Una línea poligonal es un conjunto de segmentos concatenados y pueden ser:<br />
abiertas o cerradas<br />
Línea poligonal<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
La superficie contenida por una línea poligonal cerrada se llama polígono. Los<br />
polígonos pueden ser cóncavos o convexos<br />
Este polígono es convexo ya que sus ángulos interiores son menores que 180º<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 137
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
1. Poliedros<br />
Definición<br />
138 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Un poliedro es un cuerpo<br />
geométrico tridimensional cuyas<br />
caras son polígonos. Cada uno<br />
de ellos es una cara.<br />
El significado de poli es mucho<br />
y de edro es cara, por tanto<br />
poliedro significa muchas caras.<br />
En la imagen de la izquierda<br />
tenemos un poliedro con seis<br />
caras que son rectángulos.<br />
Por el contrario si al menos<br />
una de las superficie que<br />
delimitan a un sólido no es<br />
un polígono entonces no es<br />
un poliedro.<br />
Eso es lo que ocurre en la<br />
imagen de la derecha donde<br />
la base es un círculo, lo que<br />
basta para afirmar ya que no es un poliedro, pero<br />
aquí adicionalmente la cara lateral no es plana.<br />
(Recuerda que un polígono es plano)<br />
Un ángulo diedro es la región del espacio<br />
delimitada por dos semiplanos.<br />
Un ángulo diedro es convexo si es menor que<br />
un llano y en caso contrario se dice que es<br />
cóncavo<br />
Ejercicio resuelto: El poliedro de la figura de la<br />
derecha es el tetraedro y…<br />
a) todos los tetraedros son convexos<br />
b) tiene cuatro caras y es cóncavo<br />
c) es un cuerpo redondo<br />
Solución: a) Por ser todos los ángulos diedros<br />
convexos.<br />
Los poliedros pueden ser convexos o<br />
cóncavos. Es convexo si todos los<br />
ángulos diedros son convexos. Basta con<br />
que uno de ellos sea mayor que un llano<br />
para que el poliedro sea cóncavo.<br />
Poliedro convexo<br />
Poliedro cóncavo
Además podemos citar los ángulos<br />
diedros delimitados por dos caras que se<br />
cortan. Hay tantos como número de<br />
aristas.<br />
En la figura se muestra un ángulo diedro.<br />
Y los ángulos poliedros determinados<br />
por las caras que inciden en un mismo<br />
vértice. Hay tantos como número de<br />
vértices.<br />
Arriba se muestra un ángulo poliedro.<br />
En esta figura (ortoedro) encontramos 12<br />
ángulos diedros y 8 ángulos poliedros.<br />
1. Poliedros<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Elementos de un poliedro.<br />
En un poliedro podemos distinguir los siguientes<br />
elementos:<br />
• Caras: son los polígonos que forman el<br />
poliedro.<br />
• Aristas: son los segmentos en los que se<br />
intersecan (cortan) las caras.<br />
• Vértices: son los puntos donde se intersecan<br />
las aristas.<br />
Vértices de un poliedro<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 139
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de poliedros<br />
Prismas<br />
Un prisma es un poliedro determinado por:<br />
• las bases: dos caras paralelas que son<br />
polígonos iguales.<br />
• tantas caras laterales, que son paralelogramos,<br />
como lados tienen las bases.<br />
A los prismas se les clasifica según el número de<br />
lados de sus bases: triangular (3 lados), cuadrangular<br />
(4 lados), pentagonal (5 lados), exagonal (6 lados),<br />
etc.<br />
La altura del prisma es la distancia entre las bases.<br />
Si la altura coincide con las aristas laterales el prisma<br />
es recto, en caso contrario es oblicuo.<br />
Las caras laterales de los prismas rectos son<br />
rectángulos.<br />
Un prisma es convexo o cóncavo si respectivamente<br />
sus bases son polígonos convexos o cóncavos.<br />
Prismas regulares.<br />
Un prisma recto es regular si sus bases son<br />
polígonos regulares.<br />
Recuerda:<br />
- un polígono es regular si tiene todos sus<br />
lados y ángulos iguales.<br />
- todo polígono regular se puede inscribir<br />
en una circunferencia<br />
Al ser regulares las bases podemos referenciar el<br />
radio de la circunferencia circunscrita y la apotema<br />
de la base.<br />
Por ejemplo, en un prisma pentagonal regular<br />
La base es un pentágono regular. Se muestra la apotema y<br />
el radio de la circunferencia circunscrita<br />
140 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
.<br />
Prisma cuya base tiene 4 lados
Prisma recto pentagonal y su<br />
desarrollo<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de Poliedros<br />
Desarrollo de un prisma.<br />
Todos los prismas son desarrollables, es decir, sus<br />
caras pueden ubicarse en un plano y mediante<br />
pliegues se puede construir el prisma.<br />
El desarrollo de un prisma recto está compuesto por<br />
sus dos bases y por un rectángulo que tiene tantas<br />
divisiones como número de caras laterales.<br />
En la figura de la izquierda se puede observar un<br />
prisma recto pentagonal y su desarrollo<br />
¿Como sería el desarrollo de un prisma oblicuo?<br />
Paralelepípedos.<br />
Los paralelepípedos son prismas en los que<br />
todas sus caras son paralelogramos.<br />
Son prismas cuadrangulares.<br />
Es recto si la altura coincide con las aristas,<br />
en caso contrario son oblicuos.<br />
Entre ellos destacamos cuatro en particular:<br />
Ortoedro: las caras son rectángulos.<br />
(Orto=perpendicular; edro=cara)<br />
<br />
<br />
Ortoedro: sus caras son rectángulos.<br />
Cubo: sus caras son cuadrados.<br />
Cubo: las caras son cuadrados.<br />
(Es un caso particular del ortoedro)<br />
Romboedro: las caras son rombos<br />
(Sus 6 caras son iguales)<br />
Romboedro: Todas sus caras son rombos.<br />
Romboiedro: Todas sus caras son romboides.<br />
En la figura se muestra éste último y un detalle de la<br />
base.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 141
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
142 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Preguntas tipo test sobre PRISMAS resueltas<br />
1. En los prismas inclinados:<br />
a. Todas las caras son rectangulares.<br />
b. Alguna cara puede ser un rectángulo.<br />
c. Ninguna cara puede ser rectangular.<br />
2. Un ortoedro tiene:<br />
a. Todas sus caras pentagonales.<br />
b. Todas sus caras iguales.<br />
c. Todas sus caras perpendiculares entre sí.<br />
3. Un cubo es:<br />
a. Un pentaedro.<br />
b. Un tetraedro.<br />
c. Un exaedro.<br />
b) Las caras de los prismas deben ser paralelogramos y en<br />
particular puede tener alguna cara rectangular.<br />
c) Todas las caras del ortoedro son rectángulos, y por tanto son<br />
perpendiculares.<br />
c) Tiene 6 caras. (Recuerda: “edro” significa cara y “exa” seis)<br />
4. Todos los prismas tienen:<br />
a. El doble de vértices que lados tiene una base<br />
b. El mismo número de vértices que lados tiene una base<br />
c. Tantos vértices como números de lados de una base más dos.<br />
5. Si las caras laterales de un prisma son rectángulos:<br />
a. Es recto.<br />
b. Es oblicuo.<br />
c. Es un ortoedro<br />
a) Los vértices del prisma están en las bases y hay 2 bases.<br />
6. Los paralelepípedos:<br />
a. Pueden ser prismas triangulares.<br />
b. Han de ser prismas cuadrangulares.<br />
c. No tienen por qué ser prismas cuadrangulares.<br />
7. Si las bases un prisma son rectángulos:<br />
a. Puede ser un romboedro.<br />
b. Es recto.<br />
c. Puede ser oblicuo.<br />
8. Un prisma pentagonal tiene:<br />
a. Quince caras, diez aristas y siete vértices.<br />
b. Diez caras, siete aristas y quince vértices<br />
c. Siete caras, quince aristas y diez vértices.<br />
a) La única posibilidad para que todas las caras laterales sean<br />
rectángulos es que el prisma sea recto.<br />
b) Para que pueda haber paralelismo dos a dos caras ha de ser<br />
cuadrangular<br />
c) La base puede ser rectangular y la altura NO coincidir con la<br />
arista.<br />
c) El número de caras laterales coincide con los lados de las<br />
bases. Si le añadimos las 2 bases el total es 7 caras.
Pirámide de base triangular<br />
Altura de una pirámide<br />
La apotema es la altura de los<br />
triángulos isósceles de las caras de la<br />
pirámide. NO se debe confundir con<br />
la altura de la pirámide.<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de Poliedros<br />
Pirámides.<br />
Una pirámide un poliedro determinado por:<br />
Una cara poligonal denominada base.<br />
Tantas caras triangulares como lados tiene la<br />
base.<br />
El punto donde convergen todos los triángulos se<br />
denomina vértice o cúspide.<br />
La altura de una pirámide es la distancia del vértice a<br />
la base.<br />
Una pirámide es convexa o cóncava si su base es un<br />
polígono convexo o cóncavo respectivamente.<br />
La definición de pirámide recta u oblicua es algo más<br />
compleja que en el caso de los prismas y es relativa<br />
al centro de gravedad o centroide del polígono base.<br />
Pirámides regulares.<br />
Una pirámide es regular si todas las caras laterales<br />
son iguales.<br />
Las caras laterales de una pirámide regular son<br />
triángulos isósceles.<br />
A la altura de estos triángulos se le denomina<br />
apotema de la pirámide.<br />
La base es un polígono regular y por tanto podemos<br />
referenciar el radio de la circunferencia circunscrita<br />
y la apotema de la base.<br />
Apotema y radio de la circunferencia circunscrita en una<br />
pirámide de base cuadrada<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 143
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de poliedros<br />
Desarrollo de una pirámide.<br />
Todas las pirámides son desarrollables, es decir,<br />
pueden sus caras ubicarse en un plano y mediante<br />
pliegues se puede construir dicha pirámide.<br />
En las figuras se puede observar como se puede<br />
obtener un desarrollo de una pirámide regular.<br />
Poliedros regulares.<br />
Un poliedro es regular si todas sus caras son iguales<br />
y sobre cada vértice inciden el mismo número de<br />
caras y aristas.<br />
Hay sólo cinco poliedros regulares convexos: el<br />
tetraedro, el cubo, el octaedro, el dodecaedro y el<br />
icosaedro.<br />
A los poliedros convexos regulares se le denominan<br />
también como sólidos platónicos pues en la Grecia<br />
clásica fueron objeto de estudio por Platón.<br />
Poliedro<br />
regular<br />
Caras Vértices Aristas<br />
Tetraedro 4 4 6<br />
Cubo 6 8 12<br />
Octaedro 8 6 12<br />
Dodecaedro 12 20 30<br />
Icosaedro 20 12 30<br />
144 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Desarrollo completo de una pirámide<br />
exagonal<br />
Cuestión: ¿Como sería el desarrollo de<br />
una pirámide recta no regular? Y el de<br />
una ¿oblicua?<br />
Tetraedro Cubo Octaedro<br />
Dodecaedro Icosaedro<br />
Sólidos platónicos
Desarrollo del tetraedro<br />
Desarrollo del cubo<br />
Desarrollo del dodecaedro<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de Poliedros<br />
Desarrollo Poliedros regulares.<br />
Todos los poliedros son desarrollables, es decir,<br />
pueden sus caras ubicarse en un plano y mediante<br />
pliegues se pueden construir.<br />
En las figuras podemos observar algunos desarrollos<br />
posibles de cada uno de los poliedros convexos<br />
regulares.<br />
Recuerda que a los poliedros convexos regulares se le<br />
denominan también como sólidos platónicos pues<br />
en la Grecia clásica fueron objeto de estudio por<br />
Platón.<br />
Desarrollo del octaedro<br />
Desarrollo del icosaedro<br />
Preguntas tipo test sobre prismas REGULARES resueltas<br />
1. En el octaedro inciden en cada vértice:<br />
a. Tres caras.<br />
b. Cuatro caras.<br />
c. Cinco caras.<br />
b) Inciden 4 caras<br />
2. Poliedros regulares con caras triangulares hay:<br />
a. Tres.<br />
b. Uno.<br />
c. Dos.<br />
a) El tetraedro, el octaedro y el icosaedro.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 145
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
2. Tipos de poliedros<br />
Relación de Euler.<br />
Euler demostró que en un poliedro se mantiene la<br />
relación:<br />
C + V = A + 2<br />
donde C : número de caras, V : número de vértices y<br />
A: número de aristas del prisma.<br />
3. <strong>Cuerpos</strong> redondos<br />
Cilindro.<br />
Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se<br />
obtiene al girar un rectángulo alrededor de uno de sus<br />
lados. La recta en la que se sitúa el lado sobre el que<br />
gira se denomina eje de rotación y el lado paralelo a<br />
él es la generatriz.<br />
En un cilindro distinguimos la superficie lateral y<br />
dos bases que son dos círculos iguales.<br />
La altura del cilindro es la distancia entre las dos<br />
bases. En un cilindro recto la altura y la generatriz<br />
miden lo mismo<br />
Desarrollo del cilindro.<br />
La superficie del cilindro es desarrollable en el plano.<br />
Este desarrollo se compone de:<br />
• dos círculos iguales cuyo radio es el radio del<br />
cilindro: r.<br />
• un rectángulo cuya base tiene por longitud el<br />
perímetro del círculo de las bases: 2πr, y de<br />
altura la del cilindro.<br />
146 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Vemos en el ejemplo cómo se cumple la<br />
relación de Euler:<br />
Prisma de base pentagonal:<br />
C = 7; V = 10; A = 15<br />
C + V = 17 = A + 2<br />
Generación del cilindro<br />
Desarrollo del cilindro
Generación del cono<br />
Elementos del cono<br />
Investiga<br />
¿Cómo sería el desarrollo de un cono<br />
inclinado?<br />
Puedes consultar en los contenidos del<br />
"Proyecto: El metro" en concreto mira el<br />
objeto 48: "Conos generalizados".<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
3. <strong>Cuerpos</strong> redondos<br />
Cono.<br />
Un cono recto es un cuerpo de revolución que se<br />
obtiene al girar un triángulo rectángulo alrededor de<br />
uno de los catetos. La recta en la que se sitúa el lado<br />
sobre el que gira se denomina eje de rotación y la<br />
hipotenusa es la generatriz.<br />
En un cono distinguimos la superficie lateral y la<br />
base que es un círculo. El punto donde convergen las<br />
generatrices es el vértice.<br />
La altura del cono recto es la distancia del vértice a la<br />
base.<br />
Desarrollo del cono.<br />
Un cono es un sólido de revolución que se puede<br />
desarrollar en el plano.<br />
El desarrollo de su cara lateral es un sector circular y<br />
la base es un círculo.<br />
El radio del sector circular es la generatriz del cono y<br />
la longitud de su arco es el perímetro de la base: 2πr,<br />
donde r es el radio de ésta.<br />
http://descartes.cnice.mec.es/web_HEDA/Elmetro/ Desarrollo del cono<br />
Generación de la esfera<br />
Esfera.<br />
La esfera es un cuerpo de revolución que se obtiene<br />
al girar un semicírculo (o un círculo) alrededor del<br />
diámetro. La recta en la que se sitúa éste es el eje de<br />
revolución y la semicircunferencia la generatriz.<br />
La superficie esférica no es desarrollable en el<br />
plano.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 147
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Preguntas tipo test sobre cuerpos redondos resueltas<br />
1. Un cono:<br />
a. No tiene base.<br />
b. Tiene dos bases.<br />
c. Tiene una base.<br />
2. Un cono:<br />
a. No tiene ningún vértice.<br />
b. Tiene varios vértices.<br />
c. Tiene un vértice.<br />
148 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
c) Un cono tiene una base que es un círculo.<br />
c) Es el punto donde convergen las generatrices.<br />
3. Un cilindro se obtiene al girar:<br />
a. Una circunferencia alrededor de un diámetro.<br />
b. Un triángulo rectángulo alrededor de un cateto.<br />
c. Un rectángulo alrededor de un lado.<br />
4. El desarrollo de la cara lateral del cilindro es:<br />
a. Dos círculos<br />
b. Un sector circular<br />
c. Un rectángulo<br />
5. La generatriz del cono:<br />
a. Es mayor que su altura.<br />
b. Es igual que su altura.<br />
c. Es menor que su altura<br />
6. Un cilindro:<br />
a. No tiene base.<br />
b. Tiene dos bases.<br />
c. Tiene una base.<br />
7. Un cilindro:<br />
a. No es un poliedro.<br />
b. Según se mire puede ser un poliedro.<br />
c. Si es un poliedro.<br />
c) Un cilindro recto es un cuerpo de revolución que se obtiene al<br />
girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados<br />
c) un rectángulo cuya base tiene por longitud el perímetro del<br />
círculo de las bases: 2πr, y de altura la del cilindro<br />
a) La altura es un cateto de un triángulo rectángulo, mientras que<br />
la generatriz es la hipotenusa, por tanto, mayor.<br />
b) Un cilindro tiene dos bases que son círculos<br />
a) En un poliedro las caras son polígonos. Las bases del cilindro<br />
son círculos, que no son polígonos.<br />
8. Al aumentar el radio de un cono:<br />
a. No varía el sector circular de su desarrollo lateral.<br />
b. Disminuye el sector circular de su desarrollo lateral<br />
c. Aumenta el sector circular de su desarrollo lateral.<br />
c) la longitud del arco es el perímetro de la base: 2πr, donde r es<br />
el radio de ésta
EJERCICIOS resueltos<br />
Prismas, pirámides, poliedros regulares, relación de Euler<br />
Sobre PRISMAS<br />
1.1 Dibuja un prisma recto de base rectangular<br />
Al ser un prisma recto las caras laterales son rectángulos y, puesto que las bases son<br />
también rectángulos el prisma pedido es el de la figura: un ortoedro<br />
1.2 El número de aristas de un prisma es 15 ¿Qué polígono son las bases?<br />
El número de aristas de un prisma es siempre el triple de las aristas de cada base. Si son<br />
15 entonces cada base tiene 5. El prisma es pentagonal.<br />
1.3 Un prisma tiene 10 vértices ¿Qué polígono tiene por bases?<br />
El número de vértices de un prisma es siempre el doble de los vértices de cada base. Si<br />
son 10 entonces cada base tiene 5. El prisma es pentagonal.<br />
Sobre PIRÁMIDES<br />
2.1 Dibuja una pirámide exagonal regular<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Una pirámide exagonal tiene por base un exágono cuyos lados son iguales. Las caras<br />
laterales serán triángulos isósceles. La pirámide pedida es la de la figura, si bien puede<br />
tener la altura que quieras, pues la regularidad es por la base.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 149
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
150 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
EJERCICIOS resueltos (continuación)<br />
2.2 Averigua el polígono de la base de una pirámide si tiene 5 vértices.<br />
Una pirámide tiene siempre un vértice más que los vértices de la base. Si en total tiene 5,<br />
la base tiene 4. Es una pirámide cuadrangular.<br />
2.3. Averigua el polígono de la base de una pirámide si tiene 12 aristas.<br />
Una pirámide tiene el doble de aristas que lados tiene la base. Si en total tiene 12 aristas<br />
la base es un exágono. Es una pirámide exagonal.<br />
Sobre POLIEDROS REGULARES<br />
3.1 Dibuja el desarrollo de un tetraedro de lado 3 cm.<br />
Un tetraedro tiene cuatro caras que son triángulos equiláteros. En la figura tienes su<br />
desarrollo plano.<br />
3.2. ¿Puede existir un poliedro regular con 6 triángulos equiláteros en cada<br />
vértice?<br />
Fíjate en la figura. Si en un vértice inciden 6 triángulos equiláteros no podríamos<br />
doblarlos para formar un poliedro. No tenemos margen para construir un ángulo poliedro.
EJERCICIOS resueltos (continuación)<br />
Sobre la RELACIÓN DE EULER<br />
4.1 Un poliedro euleriano, ¿puede tener el mismo número de caras y de aristas?<br />
No es posible. Si es un poliedro euleriano debe cumplir la relación de Euler:<br />
Caras + Vértices = Aristas + 2.<br />
Si el número de caras es igual que el de aristas, entonces el número de vértices sería 2.<br />
¿Un poliedro de 2 vértices?<br />
4.2. Comprueba que se cumple la relación de Euler en un prisma cuya base es un<br />
heptágono.<br />
En un prisma heptagonal la base tiene siete vértices, por tanto:<br />
a) Un prisma tiene el doble de vértices que su base, lo que hará 14 vértices.<br />
b) Un prisma tiene el triple de aristas que vértices tiene la base, tendrá por tanto 21<br />
aristas.<br />
c) Un prisma tiene dos caras más que vértices tiene su base, luego tendrá 9 caras.<br />
Así pues la relación de Euler<br />
Caras + Vértices = Aristas + 2, tendríamos que:<br />
9 + 14 = 23 + 2 = 23.<br />
Luego se cumple la relación de Euler.<br />
Sólidos de revolución, cilindro, cono, esfera<br />
Sobre SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
1.1 El cartón de un rollo de papel tiene un diámetro de 4,6 cm. y una altura de<br />
9,7 cm. ¿Qué dimensiones tiene el desarrollo plano del cartón?<br />
El desarrollo plano es un rectángulo. Sus dimensiones serán:<br />
Alto: la altura del rollo (cilindro): 9,7 cm.<br />
Largo: el perímetro de la circunferencia: diámetro·π = 4,6·π.<br />
Si aproximamos π por 3,14, tendríamos que el largo sería aproximadamente 14,44 cm.<br />
1.2 ¿Qué figura del espacio se genera al girar el rectángulo inferior alrededor de<br />
su lado derecho?<br />
Solución: Es un cilindro<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 151
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
152 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
EJERCICIOS resueltos (continuación)<br />
1.3. ¿Qué figura del espacio se genera al girar el triángulo dibujado abajo<br />
alrededor de su altura?<br />
Solución: Es un cono<br />
Sobre CILINDROS<br />
2.1. Dibuja el desarrollo de un cilindro de 2 cm. de radio y 7 cm. de altura<br />
Sobre CONOS<br />
El rectángulo tiene 7 cm. de altura y de base 2·π·radio cm.<br />
El círculo 4 cm. de diámetro<br />
3.3. Calcula la altura de un cono si la generatriz mide 5 cm y el radio de la base<br />
es de 3 cm.<br />
En la figura está calculada la altura. Nos basamos en el teorema de Pitágoras.<br />
Sobre ESFERAS<br />
4.1 Dibuja el desarrollo plano de la superficie esférica<br />
No es posible. La superficie esférica no es desarrollable. Si tomas un trozo<br />
suficientemente grande de la piel de una naranja y lo apoyas en la mesa verás que al<br />
aplastarla se rompe.
Ejercicios sobre prismas<br />
1.1 Dibuja un prisma oblicuo de base<br />
triangular<br />
1.2 El número de vértices de un prisma es<br />
20 ¿Cuántas caras tiene?<br />
1.3 Un prisma tiene 18 aristas. ¿Qué<br />
polígono tiene por bases?<br />
1.4 Un prisma tiene 9 caras. Por tanto es<br />
un prisma…<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Prismas, pirámides, poliedros regulares, Euler<br />
Ejercicios sobre poliedros regulares<br />
3.1 Dibuja el desarrollo de un octaedro de<br />
lado 2 cm.<br />
3.2. Dibuja el desarrollo plano de un cubo<br />
de lado 4 cm.<br />
3.3. ¿Puede existir un poliedro regular<br />
cuyas caras sean octógonos?<br />
3.4. ¿Cuántos lados como máximo puede<br />
tener como máximo las caras de un<br />
poliedro regular?<br />
1.5 Un prisma tiene 15 vértices, por lo<br />
tanto las bases son… 3.5. ¿Cuántas caras triangulares pueden<br />
incidir en un vértice de un polígono<br />
regular?<br />
Ejercicios sobre pirámides<br />
2.1 Dibuja una pirámide irregular de base<br />
triangular<br />
2.2. Averigua el polígono de la base de una<br />
pirámide si tiene 5 caras laterales.<br />
2.3. Averigua el polígono de la base de una<br />
pirámide si tiene 8 caras.<br />
2.4. Dibuja el desarrollo de una pirámide<br />
que tiene todas sus caras iguales.<br />
2.5.¿Cuál de las siguientes figuras es el<br />
desarrollo plano de una pirámide?<br />
3.6. ¿Cuántas caras cuadradas pueden<br />
incidir en un vértice de un polígono<br />
regular?<br />
Ejercicios sobre la relación de Euler<br />
4.1 Un poliedro euleriano, ¿puede tener el<br />
mismo número de vértices y de aristas?<br />
4.2. Comprueba que se cumple la relación<br />
de Euler en una pirámide cuya base es un<br />
octógono.<br />
4.3. Comprueba que se cumple la relación<br />
de Euler en el icosaedro.<br />
4.4. Comprueba que se cumple la relación<br />
de Euler en el dodecaedro.<br />
4.5. Un poliedro euleriano tiene 20 caras y<br />
36 vértices. ¿Cuántas aristas tiene?<br />
4.6. Un poliedro euleriano tiene 21 caras y<br />
40 aristas. ¿Cuántos vértices tiene?<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 153
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Sobre sólidos de revolución<br />
1.1 Dibuja el cuerpo de revolución que<br />
forma la figura de abajo al girar sobre el<br />
segmento lateral izquierdo.<br />
1.2. ¿Qué figura del espacio se genera al<br />
girar el trapecio dibujado abajo alrededor<br />
de su lado derecho?<br />
1.3. ¿Qué figura del espacio se genera al<br />
girar el trapecio dibujado abajo alrededor<br />
de su lado derecho?<br />
1.4 ¿Qué figura del espacio se genera al<br />
girar el trapecio dibujado abajo alrededor<br />
de su lado izquierdo?<br />
1.5. ¿Qué figura del espacio se genera al<br />
girar el trapecio dibujado abajo alrededor<br />
de su lado derecho?<br />
154 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Sólidos de revolución, cilindros, conos, esferas.<br />
Sobre cilindros<br />
2.1. ¿Puede ser posible el desarrollo de la<br />
figura inferior el correspondiente a un<br />
cilindro?<br />
2.2. Si cogemos un rectángulo ¿se obtiene<br />
el mismo cilindro doblándolo por la base o<br />
por la altura?<br />
2.3. Queremos construir un bote cilíndrico<br />
que tenga 9 cm de alto y el radio de la<br />
base mida 1,5 cm. Dibuja su desarrollo<br />
plano.<br />
Sobre conos<br />
3.1 Dibuja el desarrollo de un cono con<br />
radio de la base 5 cm. y de generatriz 10<br />
cm.<br />
3.2. Cogemos un triángulo de base 4 cm. y<br />
altura 8 cm. Al girarlo sobre la altura<br />
obtenemos un cono. ¿Cuánto mide su<br />
generatriz?<br />
3.3. El desarrollo plano de la cara lateral<br />
de un cono ¿Puede ser un círculo<br />
completo?<br />
Sobre esferas<br />
4.1 Al girar un cuarto de círculo por uno de<br />
los radios que lo limitan ¿Qué figura<br />
obtenemos?<br />
4.2 Al girar un círculo alrededor de un eje<br />
exterior a él ¿Qué figura obtenemos?<br />
4.3 ¿Qué forma tienen las gotas de agua?
Tronco de pirámide y tronco de cono<br />
Si una pirámide la intersecamos con un<br />
plano paralelo a la base, obtenemos otra<br />
pirámide y otro poliedro denominado:<br />
tronco de pirámide<br />
El tronco de pirámide tiene dos bases que<br />
son polígonos semejantes y las caras<br />
laterales son trapecios si la pirámide es<br />
recta o cuadriláteros si es oblicua<br />
Si un cono lo intersecamos con un plano<br />
paralelo a la base, obtenemos otro cono y<br />
otro sólido de revolución denominado:<br />
tronco de cono<br />
El tronco de cono tiene dos bases que son<br />
círculos y una cara lateral cuyo desarrollo<br />
es un sector de una corona circular<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Poliedros no Eulerianos<br />
Hay poliedros que no cumplen la Relación<br />
de Euler: Caras + Vértices = Aristas +2<br />
Se corresponden con poliedros que tienen<br />
"agujeros".<br />
Poliedros regulares cóncavos<br />
Un poliedro cóncavo se dice que es regular<br />
si todas sus caras son polígonos regulares<br />
y en cada vértice incide el mismo número<br />
de caras. Se les denomina sólidos de<br />
Kepler-Poinsot.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 155
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Un poliedro es un cuerpo geométrico<br />
tridimensional cuyas caras son polígonos.<br />
Elementos de un poliedro<br />
Poliedros regulares<br />
Un poliedro es regular si todas sus caras son<br />
iguales y sobre cada vértice inciden el<br />
mismo número de caras y aristas.<br />
Los poliedros regulares son cinco<br />
<strong>Cuerpos</strong> redondos<br />
156 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Tetraedro Cubo Octaedro<br />
Dodecaedro Icosaedro<br />
Cilindro, cono y esfera son cuerpos de<br />
revolución<br />
Tipos de poliedros.<br />
Relación de Euler<br />
Prismas<br />
Pirámides
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
1. Un prisma exagonal ¿cuántos vértices tiene?<br />
2. Una pirámide pentagonal ¿cuántos vértices tiene?<br />
3. Un prisma triangular ¿cuántas aristas tiene?<br />
4. Una pirámide heptagonal, ¿cuántas aristas tiene?<br />
5. Un poliedro convexo tiene 4 caras y 5 vértices,<br />
¿cuántas aristas tiene?<br />
6. Un poliedro convexo tiene 9 caras y 18 aristas,<br />
¿cuántos vértices tiene?<br />
7. Un poliedro regular de 6 vértices, ¿cuál es?<br />
8. El poliedro regular convexo de 12 caras, ¿cuál es?<br />
9. ¿Cómo se denomina el poliedro representado en esta<br />
figura?<br />
10. Indica si el sólido de la figura es desarrollable<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 157
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
PRISMAS<br />
1.1 Al ser un prisma las caras<br />
laterales son paralelogramos.<br />
Las bases son triángulos y al ser<br />
oblicuo están desplazadas.<br />
1.2. El número de vértices de<br />
un prisma es siempre el doble<br />
de los vértices de cada base. El<br />
prisma es decagonal, y por<br />
tanto tiene 12 caras.<br />
1.3 El número de aristas de un<br />
prisma es siempre el triple de<br />
las aristas de cada base. El<br />
prisma es hexagonal.<br />
1.4 El número de caras de un<br />
prisma es el número de lados de<br />
la base más dos. Es un prisma<br />
heptagonal.<br />
1.5 No hay ningún prisma que<br />
pueda tener un número impar<br />
de vértices.<br />
PIRÁMIDES<br />
2.1<br />
158 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
Soluciones de los ejercicios para practicar<br />
2.2 Una pirámide tiene tantas<br />
caras laterales como lados tiene<br />
la base. Es una pirámide<br />
pentagonal.<br />
2.3 Una pirámide tiene siempre<br />
una cara más que lados tiene la<br />
base. Es una pirámide<br />
heptagonal.<br />
2.4 La única pirámide triangular<br />
con todas las caras iguales es el<br />
tetraedro.<br />
2.5 Si la base es rectangular,<br />
tiene que tener cuatro caras que<br />
sean triángulos. La única opción<br />
es la a).<br />
POLIEDROS REGULARES<br />
3.1 Un tetraedro tiene ocho<br />
caras que son triángulos<br />
equiláteros.<br />
3.2<br />
3.3 Para formar un ángulo<br />
poliedro hacen falta al menos<br />
tres caras. Si queremos que<br />
haya tres caras que sean<br />
octógonos se solapan. No es<br />
posible.<br />
3.4 El máximo de lados es cinco<br />
ya que a partir del exágono no<br />
podemos construir un ángulo<br />
poliedro. Por eso poliedros<br />
regulares sólo hay con caras<br />
triangulares, cuadradas y<br />
pentagonales.<br />
3.5 El máximo de caras<br />
triangulares es cinco, el sexto<br />
triángulo ya no permite<br />
construir un ángulo poliedro.<br />
Con tres triángulos tenemos el<br />
tetraedro, con cuatro el<br />
octaedro y con cinco el<br />
icosaedro.<br />
3.6 El máximo de caras<br />
cuadradas es tres, el cuarto<br />
cuadrado no permite construir<br />
un ángulo poliedro. Con tres<br />
cuadrados tenemos el cubo.<br />
RELACIÓN DE EULER<br />
4.1 No es posible. Si es un<br />
poliedro euleriano debe cumplir<br />
la relación de Euler:<br />
Caras+ Vértices = Aristas + 2.<br />
Si el número de vértices es igual<br />
que el de aristas, entonces el<br />
número de caras sería 2. ¿Un<br />
poliedro de 2 caras?
4.2 Según la relación de Euler<br />
Caras + Vértices = Aristas + 2,<br />
tendríamos que:<br />
9 + 9 = 18 y 16 + 2 = 18.<br />
4.3 El icosaedro tiene 20 caras,<br />
12 vértices y 30 aristas.<br />
Así pues la relación de Euler<br />
Caras + Vértices = Aristas + 2,<br />
tendríamos que:<br />
20 + 12 = 32 y 30 + 2 = 32.<br />
4.4 El dodecaedro tiene 12<br />
caras, 20 vértices y 30 aristas.<br />
Así pues la relación de Euler<br />
Caras + Vértices = Aristas + 2,<br />
tendríamos que:<br />
12 + 20 = 32 y 30 + 2 = 32.<br />
4.5 C+ V = A+ 2, tendríamos<br />
que:<br />
20 + 36= Aristas + 2. Luego<br />
Aristas = 20 + 36 -2 = 54.<br />
Tiene 54 aristas.<br />
4.6 C+ V = A+ 2, tendríamos<br />
que:<br />
21 + Vértices = 40 + 2. Luego<br />
Vértices = 40 + 2 - 21 = 21.<br />
Tiene 21 vértices.<br />
SOBRE SÓLIDOS DE<br />
REVOLUCIÓN<br />
1.1<br />
1.2 Es un tronco de cono<br />
1.3 Un cilindro que tiene<br />
quitado un cono de la parte<br />
superior<br />
1.4 Un cilindro con un cono en<br />
la parte superior<br />
1.5 Un tronco de cono que por<br />
la orientación tiene la forma de<br />
un vaso<br />
SOBRE CILINDROS<br />
2.1 No es posible. La longitud<br />
de la base del rectángulo ha de<br />
coincidir con la longitud de la<br />
circunferencia de la base del<br />
cilindro y claramente en la<br />
figura es muy inferior<br />
2.2 No, el cilindro es diferente<br />
salvo que la altura y la base del<br />
rectángulo sea la misma, es<br />
decir, salvo que sea un<br />
cuadrado.<br />
2.3 La altura del rectángulo es<br />
9 cm. y su base es la longitud<br />
de la circunferencia de la base<br />
del cilindro: 2· π· radio, donde<br />
aquí el radio es 1,5. Tendrás<br />
que aproximar el valor de π.<br />
SOBRE CONOS<br />
3.1 Puesto que el radio de la<br />
base es 5, la longitud de la<br />
circunferencia es 2· π·5. La cara<br />
lateral del cono es un sector<br />
circular cuyo arco ha de medir la<br />
longitud anterior.<br />
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
La generatriz es el radio del<br />
sector a dibujar. Dado que el<br />
radio es 10, 2· π· 5 es justo la<br />
mitad, por tanto hay que dibujar<br />
medio círculo de radio 10.<br />
3.2 En la figura está calculada<br />
la altura. Nos basamos en el<br />
teorema de Pitágoras.<br />
3.3 No, no es posible.<br />
Necesitamos que falte al menos<br />
un trozo para poder construir la<br />
cara lateral plegándolo.<br />
SOBRE ESFERAS<br />
4.1 Una semiesfera<br />
4.2 Se obtiene lo que coloquialmente<br />
identificamos como<br />
un donut. Matemáticamente esa<br />
figura es un “toro”<br />
4.3 Son esféricas.<br />
MATEMÁTICAS 2º ESO 159
<strong>Cuerpos</strong> <strong>geométricos</strong>.<br />
Soluciones AUTOEVALUACIÓN<br />
1. Un prisma exagonal ¿cuántos vértices tiene? 12 vértices.<br />
2. Una pirámide pentagonal ¿cuántos vértices tiene? 6 vértices<br />
3. Un prisma triangular ¿cuántas aristas tiene? 9 aristas<br />
4. Una pirámide heptagonal, ¿cuántas aristas tiene? 14 aristas.<br />
5. Un poliedro convexo tiene 4 caras y 5 vértices, ¿cuántas aristas tiene? 7 aristas<br />
6. Un poliedro convexo tiene 9 caras y 18 aristas, ¿cuántos vértices tiene? 11 vértices<br />
7. Un poliedro regular de 6 vértices, ¿cuál es? Octaedro<br />
8. El poliedro regular convexo de 12 caras, ¿cuál es? Dodecaedro<br />
9. ¿Cómo se denomina el poliedro representado en esta figura? Icosaedro<br />
10. Indica si el sólido de la figura es desarrollable Sí<br />
160 MATEMÁTICAS 2º ESO<br />
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