Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

Observemos ahora que primos distintos son coprimos entre sí, y más aún, aplicando las consecuencias
de la Proposición 6.9, potencias de primos distintos son coprimas entre sí también. Luego,
aplicando recursivamente la Proposición 6.9 (1), se obtiene lo siguiente para p1, . . . , pn primos
distintos dos a dos , v1, . . . , vn ∈ N y a ∈ Z arbitrario:
p v1
1
| a y pv2 2
| a y . . . y pvn n | a ⇐⇒ p v1
1 pv2 2 · · · pvn n | a
Introducimos ahora una notación para simplificar la escritura en el Teorema Fundamental de la
Aritmética y poder enunciar claramente muchas propiedades que son consecuencia de ese teorema.
Notación Dado a ∈ Z , a = 0 , y p primo positivo, vamos a notar con vp(a) el exponente
exacto de p que aparece en la factorización de a como producto de primos. Por ejemplo v2(24) =
3 , v3(24) = 1 y vp(24) = 0 para todo p = 2, 3 pues 24 = 2 3 · 3 . Se observa que entonces
24 = 2 v2(24) · 3 v3(24) . No excluímos acá los casos a = ±1 , pues vp(±1) = 0 para todo primo p .
También vamos a utilizar la función signo, de Z \ {0} en {−1, +1} :
−1
sg(a) :=
+1
si
si
a < 0
a > 0
y finalmente notar por P el conjunto de los primos positivos, es decir,
P := { p ∈ Z : p primo positivo }.
Con estas convenciones podemos escribir para a ∈ Z , a = 0 :
a = sg(a)
p vp(a) ,
p∈P
donde este producto infinito está bien definido ya que hay sólo un número finito de factores a la
derecha que son distintos de 1 (pues un número a = 0 es divisible por sólo un número finito de
primos distintos).
Consecuencias Sean a, b, c ∈ Z , no nulos. Entonces
1. vp(a) ≥ 0 (y es entero) para todo p ∈ P .
2. vp(a b) = vp(a) + vp(b) y vp(a n ) = n vp(a) para todo p ∈ P y para todo n ∈ N .
3. p | a ⇐⇒ vp(a) ≥ 1 , y p v | a ⇐⇒ vp(a) ≥ v .
4. d | a ⇐⇒ vp(d) ≤ vp(a) para todo p ∈ P
5.
6.
Div(a) = {d ∈ Z : vp(d) ≤ vp(a) ∀ p ∈ P } y #Div+(a) =
(vp(a) + 1),
donde este producto infinito está bien definido pues vp(a) + 1 = 1 ⇔ p | a .
p∈P
(a : b) =
p min{vp(a),vp(b)}
. (1)
p∈P
Esto es por lo siguiente: llamemos c al número de la derecha de la igualdad (1). Vamos a
ver que c | (a : b) y (a : b) | c .
33