Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

• x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 5 (mod 8)
•
⇐⇒ x ≡ 5 (mod 8)
pues si se cumple la segunda ecuación, se cumple automaticamente la primera:
x ≡ 5 (mod 8) =⇒ x ≡ 5 (mod 4) =⇒ x ≡ 1 (mod 4).
⎧
⎨
⎩
x ≡ 3 (mod 22)
x ≡ 5 (mod 8)
x ≡ 17 (mod 20)
⎧
⎪⎨
⇐⇒
⎪⎩
x ≡ 1 (mod 2)
x ≡ 3 (mod 11)
x ≡ 5 (mod 8)
x ≡ 1 (mod 4)
x ≡ 2 (mod 5)
⎧
⎨ x ≡ 5 (mod 8)
⇐⇒ x
⎩
x
≡
≡
3
2
(mod 11)
(mod 5)
pues la ecuación x ≡ 5 (mod 8) implica que x ≡ 5 (mod 4) y x ≡ 5 (mod 2) , es decir x ≡ 1
(mod 2) y x ≡ 1 (mod 4) (si en el medio se cumple la tercera se cumplen automaticamente
la primera y la última).
En estos ejemplos se ve que cuando el sistema no es incompatible, se reduce a resolver un sistema
(3) pero con la condición de que los mi son coprimos dos a dos. En esa situación vale el
teorema siguiente:
Teorema 12.1 (Teorema Chino del Resto)
Sean a1, . . . , an ∈ Z y sean m1, . . . , mn ∈ N con mi ⊥ mj para i = j . Entonces existe a ∈ Z tal
que
Prueba.–
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x ≡ a1 (mod m1)
x ≡ a2 (mod m2)
..
x ≡ an (mod mn)
⇐⇒ x ≡ a (mod m1 · m2 · · · mn)
Se trata de encontrar una solución particular a ∈ Z del sistema, es decir un número a ∈ Z tal que
⎧
a
⎪⎨ a
⎪⎩
a
≡
≡
.
≡
a1
a2
an
(mod m1)
(mod m2)
(mod mn)
.
Pues en ese caso, por transitividad y aplicando la Propiedad (4), tendremos:
⎧
⎪⎨
⎪⎩
x
x
x
≡
≡
.
≡
a1
a2
an
(mod m1)
(mod m2)
(mod mn)
⎧
x
⎪⎨ x
⇐⇒
⎪⎩
x
≡
≡
.
≡
a
a
a
(mod m1)
(mod m2)
(mod mn)
⇐⇒ x ≡ a (mod m1 · m2 · · · mn).
Para hallar una solución particular a vamos a subdividir el sistema (3) en n sistemas más simples
y buscar una solución particular para cada uno de ellos. Estos sistemas S1 , S2 , . . . , Sn son:
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