Números Enteros - Universidad de Buenos Aires

– Usando el Binomio de Newton :
a n = ((a − 1) + 1) n =
Por lo tanto
n
i=0
n
i
a n − 1 = (a − 1) n +
(a − 1) i = 1 + n(a − 1) +
n
(a − 1)
2
2 + · · · + (a − 1) n
n
(a − 1) + · · · + (a − 1)
2
n−1 = k (a − 1)
donde k ∈ Z es la sumatoria que está dentro del paréntesis.
– Por inducción en n . La proposición es p(n) : “a − 1 | a n − 1”
p(1) es Verdadera pues a − 1 | a − 1 .
p(k) Verdadera =⇒ p(k + 1) Verdadera :
HI : a − 1 | a k − 1 . Se quiere probar que a − 1 | a k+1 − 1 .
Pero a k+1 −1 = a(a k −1)+(a−1) , y por HI, a−1 | a k −1 , y por otro lado, a−1 | a−1 ,
por lo tanto a − 1 divide a la suma, como se quería probar.
(Las dos primeras tienen la ventaja sobre la última de dar también la expresión del cociente,
y la primera es la más sencilla.)
• Sean m, n ∈ N . Probar que si m | n , entonces para todo a = ±1 , a m − 1 | a n − 1 .
Se tiene n = k · m , luego a n = (a m ) k . Si ponemos A := a m , por el inciso anterior se tiene
que A − 1 | A k − 1 , es decir a m − 1 | a n − 1 .
3 Congruencia
Se introduce ahora una notación debida a Carl Friedrich Gauss (1777–1855), conocido como el
Príncipe de los matemáticos, y reconocido históricamente como uno de los dos o tres gigantes de la
Matemática universal. La notación facilita mucho la forma de escribir y trabajar con los números
enteros y la divisibilidad.
Definición 3.1 (Congruencia)
Sean a, b, d ∈ Z, d = 0 . Se dice que a es congruente a b módulo d sii d | a − b .
Se nota a ≡ b (mod d) o también a ≡ b (d) . O sea:
a ≡ b (mod d) ⇐⇒
def d | a − b.
En caso contrario se nota a ≡ b (mod d) o a ≡ b (d) .
Ejemplos
• 5 ≡ 3 (mod 2) , 5 ≡ −1 (mod 2) , 5 ≡ 1 (mod 2) , 5 ≡ 2 (mod 2) , 4 ≡ 0 (mod 2) ,
∀ k ∈ Z , 2k ≡ 0 (mod 2) y 2k + 1 ≡ 1 (mod 2) .
• 13 ≡ 8 (mod 5) y 13 ≡ 3 (mod 5) .
• Sean a, d ∈ Z , d = 0 , entonces a ≡ 0 (mod d) ⇐⇒ d | a .
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