3.3 REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN Las siguientes reglas ...

3.3 REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN
Las siguientes reglas tienen por objeto el calcular la derivada de una función sin usar
directamente la definición, convirtiendo la derivación de funciones en un proceso
mecánico.
R.D.1. (Derivada de una constante)
dC
Se suele escribir: = 0
dx
'
f ( x)
= C,
siendo C una constante ⇒ f ( x)
= 0
'
f ( x + h ) − f ( x ) C − C
Prueba: f ( x ) = Lim
= Lim = Lim 0 = 0
h → 0 h
h → 0 h h → 0
R.D.2. (Derivada de la función identidad)
dx
Se suele escribir: = 1
dx
'
f ( x)
= x ⇒ f ( x)
= 1
'
f ( x + h ) − f ( x)
x + h − x
Prueba: f ( x)
= Lim
= Lim = Lim 1 = 1
h → 0 h
h → 0 h
h → 0
Si f(x) y g(x) son dos funciones derivables en un mismo punto x, entonces: (f +
g), (f – g), (f . g) y (f / g) son también derivables en x, y se generan las siguientes
reglas de derivación:
R.D.3. (Derivada de una suma de funciones)
'
'
'
t ( x ) = f ( x)
+ g(
x)
⇒ t ( x)
= f ( x)
+ g ( x)
R.D.4. (Derivada de una diferencia de funciones)

t ⇒
)
(
)
(
)
( x
g
x
f
x −
= )
(
)
(
)
(
'
'
'
x
g
x
f
x
t −
=
R.D.5. (Derivada de un producto de funciones)
t ⇒
)
(
)
(
)
( x
g
x
f
x ⋅
= )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
'
'
'
x
g
x
f
x
g
x
f
x
t ⋅
+
⋅
=
Prueba:
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
f
Lim
h
x
t
h
x
t
Lim
x
t
h
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
'
−
+
+
=
−
+
=
→
→
h
x
g
x
f
x
f
h
x
g
x
f
h
x
g
h
x
g
h
x
f
Lim
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
−
+
+
+
−
+
+
= →
[ ] [ ]
h
x
g
h
x
g
x
f
x
f
h
x
f
h
x
g
Lim
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
−
+
+
−
+
+
= →
h
x
g
h
x
g
Lim
x
f
Lim
h
x
f
h
x
f
Lim
h
x
g
Lim
h
h
h
h
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
0
0
−
+
⋅
+
−
+
⋅
+
=
→
→
→
→
=
)
(
)
(
)
(
)
(
'
'
x
g
x
f
x
f
x
g ⋅
+
⋅
R.D.6.
)
(
1
)
(
x
g
x =
t
[ ] 2
'
'
)
(
)
(
)
(
x
g
x
g
x
t
−
=
⇒
Prueba:
h
x
g
h
x
g
Lim
h
x
t
h
x
t
Lim
x
t
h
h
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
0
0
'
−
+
=
−
+
=
→
→
[ ] ⎥ ⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⋅
−
+
−
=
⋅
+
+
−
=
→
→ )
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0 x
g
h
x
g
h
x
g
h
x
g
Lim
x
g
h
x
g
h
h
x
g
x
g
Lim
h
h
⎥ ⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⋅
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡ −
+
−
=
→
→ )
(
)
(
1
)
(
)
(
0
0 x
g
h
x
g
Lim
h
x
g
h
x
g
Lim
h
h

=
−
1
g ( x )
'
g ( x ) ⋅ = − 2
'
g ( x)
[ ] 2
g ( x)
R.D.7. (Derivada de un cociente de funciones)
'
'
f ( x)
' f ( x)
⋅ g(
x)
− f ( x)
⋅ g ( x)
t ( x)
= , g(
x)
≠ 0 ⇒ t ( x)
=
g(
x)
[ ] 2
g(
x)
f ( x ) ⎛ 1 ⎞
Prueba: t ( x)
= = ⎜ f ( x ) ⋅ ⎟ . Asi que, usando R.D.5.
g ( x)
⎝ g ( x ) ⎠
Se tiene:
t
'
'
' ⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞
( ) ( ) ⎜ ⎟ ( ) ⎜ ⎟
x
=
=
=
f
x + f
⎝ g ( x ) ⎠
'
f ( x)
+
g ( x)
x
' ⎛ g ( x ) ⎞
f ( x)
⎜ − 2
( ) ⎟
⎝ g x ⎠
⋅
⎝ g ( x)
⎠
'
(R.D.6)
'
'
'
f ( x)
f ( x)
g ( x)
f ( x ) g ( x)
−
g ( x)
R.D.8. (Regla de la Cadena)
−
=
[ ] [ ] 2
2
g ( x )
g ( x)
'
f ( x)
g ( x)
Si y = g(u) y u = f(x), entonces se puede obtener la composición: y = (g o f) (x) = g
(f(x))
dy
Ahora, si se quiere calcular basta con derivar esta última relación.
dx
La siguiente regla, conocida como la regla de la cadena, proporciona otra manera de hallar
la derivada sin efectuar la composición.
REGLA DE LA CADENA.
Supóngase que f y g son dos funciones derivables tales que H = g(u) y u = f(x),
entonces:

H’(x) = (g o f)’(x) = g’(f(x)) . f’(x)
En la demostración se hace uso del siguiente lema, que se puede demostrar fácilmente:
LEMA: sea g una función tal que g’(u) existe y considere la siguiente función:
⎧ g(
u + h)
− g(
u)
⎪
− g'(
u),
G ( h)
= ⎨ h
⎪
⎩0,
Entonces:
si
si
h ≠ 0
h = 0
i. G es continua en h = 0 ( Lim G ( h)
= G ( 0)
= 0)
h → 0
ii. g ( u + h)
− g(
u)
= h[
g'
( u)
+ G(
h)
]
Prueba de la regla de la cadena:
Como H(x) = g(f(x)), entonces:
H(x + t) – H(x) = g(f(x + t)) – g(f(x))
Sea h = f(x + t) – f(x) (1)
= g(f(x + t)) – f(x) + f(x)) – g(f(x))
Asi que: H(x + t) – H(x) = g(h + u) – g(u) (2)
Como f es una función continua, se sigue de (1) que: t → 0 ⇔ h → 0 .
Ahora, aplicando el lema en su parte ii. en (2) se tiene:
H(x + t) – H(x) = h[g’(u) + G(h)]
Luego,
H ( x + t)
− H ( x)
=
t
h
[ g '(
u)
+ G ( h)
] ⋅
t
H ( x + t)
− H ( x)
f ( x + t)
− f ( x)
= [ g '(
u)
+ G ( h)
] ⋅
t
t
Al tomar límite en ambos lados de la última igualdad cuando t
→ 0 , se obtiene:

H ( x + t)
− H ( x)
Lim
= Lim
t →0
t
t →0
[ g '(
u)
+ G(
h)
] ⋅
Pero, Lim [ g '(
u)
+ G ( h)
] = Lim [ g '(
u)
+ G(
h)
]
t→
0
h→
0
= g '(
u)
+ Lim G(
h)
h→ 0
f ( x + t)
− f ( x)
t
(De (1))
= g '( u)
+ G(
0)
(por ser G continua)
= g '( u)
+ 0 = g '(
u)
f ( x + t)
− f ( x)
H ( x + t)
− H ( x)
Además, Lim
= f '(
x)
, y, Lim
= H '(
x)
t→
0 t
t→
0 t
Asi que de (3) se obtiene finalmente,
H ' ( x)
= g ' ( u ) ⋅ f ' ( x)
= g ' ( f ( x))
⋅ f ' ( x)
Observaciones:
i. Muchas veces, la regla de la cadena se recuerda mas fácilmente, usando la notación de
LEIBNITZ para la derivada. Esto es :
Si y = g (u) y u = f (x) entonces:
ii. Regla de la cadena compuesta.
dy
dx
Si y = g (u), u = f (x), t = h (x), entonces:
R.D.9.
dy
dx
=
dy
du
⋅
dy
dx
du
dx
=
dy
du
n
n −1
y = x ⇒ = nx
∀ n ∈ R
(Para n < 0, la función x n está definida solamente en R – {0})
Prueba:
Caso 1: n ∈ Z (n es un número entero)
⋅
du
dt
(3)
⋅
dt
dx

Cuando n ∈ Z + la prueba se hace por inducción sobre n.
Para n = 1, se sabe que
d
dx
( x
1
dx
) = = 1 = 1 ⋅ x
dx
Sea k ∈ Z + . Supóngase que
d
dx
x
k + 1
En efecto,
( k + 1)
−1
= ( k + 1)
x .
d
dx
x
k + 1
=
=
=
d
dx
k ( x.
x )
d
dx
1−1
k
dx k dx
= x ⋅ + x ⋅ (R.D.5.)
dx dx
x ⋅ kx
k
⋅
x
k
+
x
k − 1 k
+
x
k
=
⋅ 1
( k
Cundo n < 0, hacemos n = – m, con m > 0.
De esta manera:
dx
dx
n
+
x
k
(R.D.2.)
=
kx
k −1
y observe que
(Hipótesis de Inducción y R.D.2.)
1 )
( ) 2 m
x
x
k
=
( k
− m
m −1
dx d ⎛ 1 ⎞ − mx
= = ⎜ = m ⎟
(R.D.6.)
dx dx ⎝ x ⎠
Caso 2: n ∈ Q (n es un número racional)
Considere primero que ,
1
=
q
= − mx
n q ∈ Z + , x ≅ 0.
=
nx
− m −1
n −1
En este caso, la función y = f (x) = x n , puede escribirse en la forma:
De acuerdo a la definición de derivada, se tiene que:
dy
dx
=
f
' ( x)
=
Lim
h →
0
f ( x + h)
−
h
f ( x)
+
1 )
x
( k + 1 ) − 1
y = f ( x)
= x
1/
q

1/
q
( x + h)
− x
Lim
h 0 h
= →
1/
q
Para eliminar la indeterminación en este último límite, se multiplica numerador y
denominador por el factor racionalizante:
1/
q q−1
[ ( x + h)
] + ( x + h)
Esto es,
[ ] ( ) 1
1/
q q−2
1/
q
1/
q q−
⋅ x + ... + x
f '(
x)
= Lim
h→0
= Lim
h→0
h
{ [ ] ( ) }
[ ] ( ) 1
1/
q q−1
1/
q q−1
+ ... + x
1/
q q−
... + x
1/
q [ ( x + h)
1/
q
− x ] ⋅ ( x + h)
1/
q
h ( x + h)
q−1
+
{ }
1/
q q [ ( x + h)
] 1/
q q
− ( x )
1/
q ( x + h)
q−1
+ ... +
1/
x
{ [ ] ( ) } 1 q q−
n b
n −1
n −2
n −1
(Aquí se hizo uso de la identidad: a − b = ( a − b)(
a + a b + ... + b ) )
f '(
x)
= Lim
h→0
h
=
=
Lim
h→0
q−1
q
x + h − x
{ [ ( ) ] ( ) } 1
1/
q q−1
1/
q q−
x + h + ... + x
1
{ [ ( ) ] ( ) } 1
1/
q q−1
1/
q q−
x + h + ... + x
1
q−veces
q−1
q
1x
4 + 2...
4+ x4
3
Considere ahora que
=
=
qx
1
q−1
q
1 1
= ⋅
q
x
1
1−
q
1
1 −1
q n−1
x
q
= nx
p
n = , con p, q ∈ Z, q positivo.
q
n
En este caso, la función potencia y = f ( x)
= x puede escribirse en la forma:
y =
x
p / q
=
[ ] p 1/
q
x

y para derivarla, se aplica la regla de la cadena (R.D.8.).
q
Hacemos: u x .
/ 1
=
De esta forma:
Entonces:
dy
dx
/ q p p [ x ] u
y = =
=
=
=
=
=
Caso 3: n ∈ R
dy
du
⋅
1 q
du
dx
1
1
1 1 −
p−
q
⋅ x
1 /
, y, u = x .
pu (Casos 1 y 2)
q
p ⎛
⋅⎜
x
q ⎜
⎝
p
q
p
q
x
x
1
q
⎞
⎟
⎟
⎠
p−1
p 1 1
− + −1
q q q
p
−1
q
= nx
⋅ x
n−1
1
−1
q
(Leyes de los exponentes)
Este caso general, se presentará en la sección 3.4, como la derivada de una función
n n.
Lnx
exponencial, escribiendo: x = e , n ∈ R.
R.D.10. Sea f(x) una función derivable de x y sea n ∈ R. Entonces:
Prueba:
y =
dy
dx
n
n−1
[ f ( x)
] ⇒ = n[
f ( x)
] ⋅ f '(
x)
Haga u = f(x). Asi que y = u n , u = f(x) y aplique: R.D.8.

Algunas consecuencias importantes
C1. La derivada de la suma de un número finito de funciones, es la suma de las derivadas
de cada una de las funciones. Esto es, si = f x)
+ f ( x)
+ ... + f ( x)
dy '
'
'
entonces = f 1 ( x)
+ f 2 ( x)
+ ... + f n ( x)
.
dx
y 1 ( 2
n
C2. La derivada de una constante multiplicada por una función, es la constante
multiplicada por la derivada de la función. Esto es, si y = cf ( x)
, entonces,
dy '
= cf ( x)
.
dx
C3. Si = f x)
⋅ f ( x)
⋅ f ( x)...
f ( x)
, entonces,
dy
dx
=
f
'
1
y 1 ( 2 3
n
'
'
( x)
f 2 ( x)...
f n ( x)
+ f 2 ( x)
f 1 ( x)
f 3 ( x)...
f n ( x)
+ ... + f n ( x)
f 1 ( x)
f 2 ( x)...
f n −1
( x)
En los ejercicios resueltos , de la sección 3.5, se ilustra la manera de usar estas reglas
de derivación con diferentes funciones.