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134 Estimación por intervalos de confianza Aplicando ahora la propiedad de la distribución F según la cual F 1−β;ν1,ν 2 =1/F β;ν2,ν 1 , se llega a: ( S 2 P 1 1 S2 2 F α/2;n1−1,n 2−1 < σ2 1 σ 2 2 ) < S2 1 S2 2 F α/2;n2−1,n 1−1 =1− α. (11.32) Por lo tanto, el intervalo de confianza (1 − α) para el cociente de varianzas de dos poblaciones normales independientes puede expresarse como [ S 2 I = 1 1 S2 2 F α/2;n1−1,n 2−1 ] , S2 1 S2 2 F α/2;n2−1,n 1−1 . (11.33) y el intervalo para la razón de desviaciones típicas se obtiene tomando raices cuadradas en la expresión anterior. Ejemplo III–15 Calcular el intervalo de confianza para la razón de varianzas de las dos poblaciones del ejemplo III–12. S 1 = 99.1 n 1 =8 S 2 1 = 9820.81 S 2 = 133.5 n 2 = 12 S 2 2 = 17822.25 y además ⇒ S2 1 S 2 2 =0.5510 F α/2;n1 −1,n 2 −1 = F 0.025;7,11 =3.7586 F α/2;n2 −1,n 1 −1 = F 0.025;11,7 = 4.7611 + 4.6658 2 Y el intervalo se calcula finalmente como [ ] S 2 I = 1 1 , S2 1 F S2 2 F α/2;n1 −1,n 2 −1 S2 2 α/2;n2 −1,n 1 −1 = =4.71345 [ 0.5510 3.7586 , 0.5510 × 4.7135 ] , por lo que el intervalo buscado es (0.15,2.60). Vemos que este intervalo es compatible con que las varianzas sean iguales. 11.5. Intervalos de confianza para datos apareados En los apartados anteriores siempre que se ha trabajado con dos poblaciones se ha supuesto que éstas eran independientes. Pero éste no es siempre el caso. Vamos a suponer ahora que se tienen dos poblaciones normales N(µ 1 ,σ1)yN(µ 2 2 ,σ2) 2 de las que se extraen dos muestras que no son independientes. Nos vamos a restringir al caso en el cual los tamaños n de ambas muestras son iguales entre si. Típicamente consideraremos la situación en la cual las muestras no se extraen de forma independiente de cada población, sino que cada muestra consiste en la medida de una característica en los mismos elementos de una población. Por ejemplo, supongamos que sobre los elementos de una muestra se mide cierta variable, después se aplica un determinado tratamiento a la muestra y, sobre los mismos elementos, se vuelve a medir la misma variable (ej. temperatura antes y después de aplicar un tratamiento). A este tipo de experimentos se le llama de observaciones pareadas. El objetivo en este caso es calcular un intervalo de confianza para la diferencia de medias µ 1 − µ 2 en dichas muestras. Para ello se consideran las diferencias d i = x 1i − x 2i (i =1, 2,...,n) entre los valores de las variables en cada uno de los elementos de la muestra. Para plantear el problema se asume que estas diferencias son los valores de una nueva variable aleatoria D. Si la muestra es suficientemente grande (en la práctica n>30) puede considerarse que dicha variable se distribuye normalmente con media µ D = µ 1 − µ 2 y Estadística Básica para Estudiantes de Ciencias Febrero 2009
11.6 Determinación del tamaño de la muestra 135 varianza σD 2 . Las estimaciones puntuales de estos parámetros serán respectivamente D y S2 D , que tomarán, para una muestra en particular, los valores concretos ∑ n i=1 d = d i n ∑ n i=1 = (x 1 i − x 2i ) , n ∑ n s 2 i=1 d = (d i − d) 2 . n − 1 El problema se reduce entonces a calcular un intervalo de confianza para la media µ D de una distribución normal. Por analogía con (11.7) y aproximando la varianza σ 2 D por S2 D escribirse entonces P por ser la muestra grande, puede ( D − z α/2 S D √ n 30 puede expresarse como I = [ ] S D D ± z α/2 √ . (11.35) n En el caso de que la muestra fuera pequeña (n
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