libro_GCZ2009

Capítulo 17
Regresión lineal
17.1. Regresión lineal simple
“Afirmaciones extraordinarias requieren pruebas extraordinarias.”
David Hume (1711-1776)
Dentro del estudio de las variables estadísticas bidimensionales vamos a abordar el análisis de la existencia
de relaciones o dependencias entre las dos variables x e y que forman la variable bidimensional. Básicamente,
la relación entre las dos variables podrá ser de dos tipos: funcional, cuando exista una relación matemática
exacta que ligue ambas variables (ej. el radio y el área de un círculo), o aleatoria, cuando, aunque no exista
entre las variables una relación exacta, se puede observar (aunque no siempre es el caso) una cierta tendencia
entre los comportamientos de ambas (ej. el peso y la altura de un individuo).
El primer paso para el estudio de la relación entre las variables consiste en la construcción y observación
de un diagrama de dispersión (Figura 17.1). El problema de la regresión se concreta entonces en ajustar una
función a la nube de puntos representada en dicho diagrama. Esta función permitirá entonces obtener, al
menos de forma aproximada, una estimación del valor de una de las variables a partir del valor que tome
la otra. Cuando la función sea del tipo y = f(x), hablaremos de regresión de y sobre x (a partir de los
valores de x se pueden estimar los de y). Al contrario, la regresión de x sobre y se basará en una función
del tipo x = f(y).
Se conoce como línea de regresión a la representación gráfica de la función que se ajusta a la nube
de puntos del diagrama de dispersión. Un primer problema para el estudio de la regresión es la elección del
tipo de línea de regresión. Efectivamente, ésta podrá adoptar diferentes formas funcionales, y el tipo de línea
se elegirá a partir de la forma de la nube de puntos. Cuando dicha nube se distribuya aproximadamente a
lo largo de una línea recta ajustaremos una recta de regresión. Será el caso particular de la regresión
lineal. En este caso importante, la regresión de y sobre x vendrá dada entonces por
y = a + bx, (17.1)
donde a y b son dos parámetros que habremos de determinar. Gráficamente a será la ordenada de la recta
en el origen (es decir el valor de y para x =0)yb la pendiente de ésta.
Aunque aquí nos concentraremos, por simplicidad, en la regresión lineal, la línea de regresión puede
responder a otras formas funcionales como, por ejemplo, es el caso de la regresión parabólica (y = a+bx+cx 2 )
y exponencial (y = ab x ).
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