trenes de engranajes - Ingeniería Mecánica Aplicada y Computacional

Ingeniería Industrial.
Teoría Máquinas
TEMA 7
Trenes de Engranajes
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Objetivos: Introducir q el mundo de los trenes de engranajes, analizando los diversos
tipos que pueden encontrarse y facilitando los conocimientos básicos necesarios
para llevar a cabo el cálculo de las relaciones de transmisión y potencia, así como
de los pares transmitidos.
Problemas: Los problemas irán orientados a la determinación de relaciones de
transmisión y al cálculo de las potencias y pares transmitidos.
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©Patxi
García
qINTRODUCCION
TEORÍA DE MÁQUINAS

Indice
Ingeniería Industrial.
Teoría Máquinas
q Introducción.
q Clasificación.
q Trenes ordinarios simples y compuestos.
ðRelación de transmisión. Criterio de signos.
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
q
ðPotencias y pares transmitidos. Rendimiento.
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
q Trenes epicicloidales simples
ðRelación de velocidades.
ðRelación de pares. Rendimiento.
qINTRODUCCION
TEORÍA DE MÁQUINAS
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García

q
Introducción (I)
Tren de engranajes:
ð Mecanismo formado por varios pares de engrane acoplados de tal forma que el elemento conducido
de uno de ellos es el conductor del siguiente.
ð Cadena cinemática formada por varias ruedas que ruedan sin deslizar entre sí.
ð Sistema de ejes y ruedas dentadas que incluye más de dos ruedas.
Ingeniería Industrial.
Teoría Máquinas
q
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
q
Se recurre a ellos porque:
ð No es posible establecer una determinada µ entre 2 ejes mediante un solo par de ruedas dentadas.
ð Se desea un mecanismo con µ variable, lo que tampoco es posible con un solo par de ruedas.
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qINTRODUCCION
TEORÍA DE MÁQUINAS

Introducción (II)
Ingeniería Industrial.
Teoría Máquinas
q
q
q
q
La relación de transmisión m es muy distinta de la unidad:
ð Nº mínimo de dientes a tallar sin interferencia de tallado: 2/sen 2 ϕ (eng. corregidos) y
limitaciones constructivas que limitan el nº máximo de dientes (200, 100) ⇒ valor mínimo
para la relación de transmisión es de orden de: µ mín
= 15/100 ÷ 15/200 ≅ 1/6 ÷ 1/12
ð Además, no interesa que la rueda de menos dientes resulte excesivamente pequeña en
relación a la otra ⇒ el piñón se desgasta más que la rueda al entrar más veces en
contacto sus dientes y sufrir con ello un mayor desgaste y un mayor número de ciclos de
fatiga por unidad de tiempo (mejor material para el piñón).
La relación de transmisión m viene definida por una fracción irreductible:
ð µ = a/b dentro de los márgenes descritos en el punto anterior, pero a > z máx
y b > z máx
.
Por ejemplo, µ = 133/171.
La relación
qde Haga transmisión clic para modificar m viene el definida estilo de por subtítulo un número del patrón racional que no
puede establecerse con la suficiente aproximación mediante un único par de
ruedas de dimensiones Haga limitadas. clic para Por modificar ejemplo, el µ = estilo π = de 3.14159 subtítulo ... patrón
La relación de transmisión m ha de establecerse entre dos ejes excesivamente
alejados como para establecer la transmisión mediante sólo dos ruedas de
dimensiones normales:
ð Cuando sucede este tipo de problemática, la solución puede estar en buscar otro tipo de
transmisión: correas, cadenas, …
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Clasificación
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Teoría Máquinas
q
q
A partir de consideraciones de índole cinemática, una posible clasificación puede ser:
ð Trenes ordinarios. Las ruedas extremas del tren giran sobre los dos ejes entre los que
ha de establecerse la relación de transmisión deseada. Todos los ejes de las ruedas
(tanto extremas como intermedias) apoyan sobre un mismo soporte fijo.
ù Trenes ordinarios simples.
ù Trenes ordinarios compuestos: recurrentes o no recurrentes.
ð Trenes epicicloidales. Aquel tren de engranajes en el que alguna rueda gira en torno a
un eje que no es fijo, sino que gira en el espacio. También cabe hablar de trenes
recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de entrada y salida sean o no coaxiales.
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
ù Trenes q epicicloidales simples.
ù Diferenciales.
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
ù Trenes epicicloidales de balancín.
ð Trenes mixtos: coexisten los dos tipos de trenes de engranajes anteriores.
En los trenes epicicloidales existe algún eje que tiene movimiento relativo respecto
de los demás; mientras que en los trenes ordinarios el único movimiento que pueden
tener los ejes es el de giro sobre sí mismos.
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qINTRODUCCION
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q
q
Trenes ordinarios simples
Un tren ordinario es simple cuando cada eje contiene únicamente una rueda.
ð En este caso, se cumple: ω 1·z 1
= -ω 2·z 2
, ω 2·z 2
= -ω 3·z 3
, … = …,
ð Todas las ruedas deben tener el mismo módulom
dulo.
ð La relación de transmisión es µ = ± ω n
/ω 1
.
n−1
∏
ω ⋅ z
=
n
∏
i i
i= 1 j=
2
− ω ⋅ z
j
Otra aplicación: q cuando Haga clic se para desea modificar tener más el estilo de subtítulo del patrón
de un eje de salida de movimiento, para una
sola entrada. Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
ω n-1·z n-1
= -ω n·z n
ð EL nº de dientes de las ruedas intermedias (ruedas parásitas) no influye en el valor
absoluto de la relación de transmisión (µ):
ù Invertir el sentido de giro final (el signo de la relación de transmisión.
ù Modificar la distancia entre los ejes de entrada y salida.
j
⇒
ω
1
⋅ z
1
= ±ω
n
⋅ z
n
ω
µ =
ω
n
1
= ±
z
z1
n−1
z1
n
=
( )
−1 ⋅
z
n
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Tren ordinario compuesto (I)
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q
Un tren ordinario es compuesto
cuando, al menos, uno de los ejes es común a varias ruedas.
ð ω 1·z 1
= ω 2·z 2
, ω 2
= ω 3
, ω 3·z 3
= ω 4·z 4
ð ω entrada
= ω 1
= ω 2·z 2
/z 1
, ω salida
= ω 4
= ω 3·z 3
/z 4
= ω 2·z 3
/z 4
ð Es decir:
ω
µ =
ω
salida
entrada
z
= ±
z
ð Esta relación hubiese sido la misma aun cuando entre
y ‚, o entre ƒ y „, existieran ruedas intermedias;
ya que cada grupo se comporta como un tren ordinario
simple ⇒ el módulo de µ depende de las ruedas extremas.
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
q
ù En A, el mov. “entra” por y “sale” por ‚ (conductora y conducida).
ù En B, el mov. “entra” por ƒ y “sale” por „.
ù Con más grupos, (C, D, …) ídem.
ù En tal caso, podemos deducir ⇒
ð Separando el tren en parejas de ruedas, habrá 2 grupos: A y B.
1
2
⋅ z
⋅ z
3
4
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
ω ∏z
µ =
salida
conductoras o motrices
= ±
ωentrada
∏zconducidas
z
= ±
∏z
ð El signo ⇒ observación directa de la figura que representa esquemáticamente el tren.
ð No es necesario que todas las ruedas tengan el mismo módulo:
ù R 3 < R 2 , ⇒ (Pot=M i·ω=T·R i·ω) ⇒ mayor T ⇒ T B > T A ⇒ los dientes de las ruedas del grupo B
están más solicitados que las del grupo A y deberían ser construidas con un módulo mayor.
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∏
M
C
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Potencias y pares (I)
q
Prescindiendo del rozamiento, todas las fuerzas que intervienen en un tren de
engranajes son las mismas si el tren está quieto, si el tren se mueve con
velocidades uniformes en un sentido o si se mueve en sentido contrario. Ello es
una consecuencia de que todas las fuerzas de inercia quedan equilibradas.
ð En la figura, los sentidos de giro son contrarios, pero las fuerzas son las mismas.
ð En el primer caso M 1
actúa en el mismo sentido que ω 1
(es un par motor que
introduce trabajo en el sistema) y M 2
es un par resistente que saca trabajo del
sistema.
ð En el segundo caso, M 1
es el resistente y M 2
el motor.
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q
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
q
Fuerzas activas: aquéllas que introducen o sacan trabajo en el sistema.
ð Esto excluye las reacciones en los apoyos y los empujes mutuos entre dientes.
ð Las únicas fuerzas activas que hay que considerar en un tren de engranajes son
los pares exteriores que actúan sobre las piezas giratorias en su plano de giro.
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Potencias y pares (II)
q
Para analizar los pares activos aplicamos el teorema de las potencias virtuales: en
un sistema en equilibrio, pero que puede moverse (o se mueve), en cualquier
movimiento posible la suma de las potencias que entran al sistema es nula.
ð Observando la figura, en la que los pares activos son M 1
y M 2
, ha de cumplirse:
ð En la figura se observa
que si ω 1
tiene realmente el sentido dibujado,
ω 2
debe tener el sentido contrario ⇒ µ será
negativo ⇒ M 1
y M 2
tendrán el mismo signo
(el dibujado o contrario).
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q
q
M1
ω2
Mq
1 ⋅ ω1
+ M2
⋅ω2
= 0
= − = −µ
M ω
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
2
En un tren de engranajes, Haga los clic pares para modificar activos sobre el estilo los ejes de subtítulo se transmiten patrón de un eje al
otro por medio de fuerzas tangenciales sobre los contornos de las ruedas (sobre las
circunferencias primitivas de funcionamiento).
La acción mutua entre dos ruedas es una fuerza (F) perpendicular a la superficie del
diente. Esta fuerza tendrá una componente tangencial (T), otra axial (A) paralela al
eje, y otra radial (R) perpendicular al eje. De todas ellas, la única que da momento
respecto al eje es la tangencial (T).
1
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Potencias y pares (III)
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q
q
q
q
A y R quedan determinadas en función de T y la
forma del diente.
Las componentes tangenciales (T):
ð No dependen de la forma de los dientes. Quedan
determinadas por el equilibrio de cada eje.
ð Los momentos respecto al eje permiten determinar
T 1
, T 2
y M 2
en función de M 1
:
M 1 –T 1·R 1 =0
-T 1·R 2 +T 2·R 3 =0
T 2·R 4 –M 2 =0
ð Equilibrio del eje ⇒ reacciones en los apoyos de
sentido contrario q Haga a T. Tclic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Algunos trozos del eje quedan sometidos a flexión
y torsión:
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
ð Se trasladan las T i
al centro de las ruedas.
ð Se añaden unos pares T·R.
M 1
se transmite hasta M 2
a lo largo de sucesivos
trozos de eje que quedan sometidos a torsión.
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Caja Cambios
q
Ejemplo mas utilizado de trenes de engranajes
ð Sistema mas utilizado para cambiar de velocidades (no solo en automoción,
sino también en maquina herramientas)
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q
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
qAñadir Z3
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Caja Cambios
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q
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
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Trenes epicicloidales simples (I)
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q Tren epicicloidal es aquel tren de engranajes en el que
alguna rueda gira en torno a un eje que no es fijo, sino
que gira en el espacio.
ð Al brazo ƒ que gira se le llama portasatélites.
ð A la rueda „ que gira alrededor de dicho eje
se la denomina satélite.
ð El sistema,
q
de Haga esta clic manera, para modificar tiene dos el grados estilo de subtítulo del patrón
de libertad que se restringen a uno haciendo
girar al satélite alrededor Haga clic de una para rueda modificar fija el o estilo de subtítulo patrón
central ‚.
q En el caso de los trenes epicicloidales, también cabe hablar
de trenes recurrentes o no recurrentes, según que los ejes de
entrada y salida sean o no coaxiales.
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Trenes epicicloidales simples (I)
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q
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
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Trenes epicicloidales simples (II)
q
Relación de velocidades:
ð Tenemos un engranaje planetario como el
de la figura
ù Sol (2)
ù Brazo (3)
ù Planetarios (4) y (5)
ð O descrito de forma genérica
q
n
n
n
n
Haga clic para modificar el estilo n de subtítulo del patrón
l
− na
µ =
Haga clic para modificar nfel −estilo na
de subtítulo patrón
23
53
53
23
=
=
n
n
2
5
n
=
n
5
2
− n
− n
3
3
− n
− n
3
3
relación transmisio n µ =
n
n
53
23
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ù
ù
ù
N f = Velocidad primer engranaje (f:first)
N a = Velocidad brazo (a:arm)
N l = Velocidad ultimo engranaje (l:last)
ð Formula Willis
n ( z + z ) = n z +
satelites
corona
sol corona
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corona
n
sol
z
sol
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Trenes epicicloidales simples (II)
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n
n
f
l
= n
= n
2
6
= −250
rpm
= 0 rpm
⎛ 20 ⎞⎛16
⎞
µ = ⎜ ⎟⎜
⎟ = 0.3137
⎝ 30 ⎠⎝
34 ⎠
nl
− na
0 - na
µ = ; 0.3137 =
nf
− na
− 250 − n
q
a
⇒ n
a
= 114 rpm (sentido agujas reloj)
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo del patrón
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
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Trenes epicicloidales simples (II)
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ð Consideramos primero el tren formado por las ruedas 2, 4 y 7
n ( z + z ) = n z + n z
n
2
⋅(76
+ 20) = 0 ⋅ 20 + 2000 ⋅20
2000 ⋅20
n2
= = 416.667 rpm (na)
96
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
n
−
satelites
f
= n
5
19
2
corona
= 2000 rpm
0 − na
= q
2000 − n
Haga ⇒ nclic a = 416.66 para modificar rpm el estilo de subtítulo del patrón
ð Con la velocidad del brazo, ya conocida, analizamos el tren formado por 2, 4 ,5 y 6.
n
n
n
f
l
a
a
planetario
= n
= n
2
6
n
7
Haga clic para modificar el estilo de subtítulo patrón
= 2000 rpm
= 416.7 rpm
l
= n
corona
= 0
corona
planetario
⎛ 20 ⎞⎛
56
µ = -⎜
⎟⎜
⎝ 56 ⎠⎝
76
planetario
5
= −
19
⎛ 20 ⎞⎛
24 ⎞
µ = −⎜
⎟⎜
⎟ = −0.2448
⎝ 56 ⎠⎝
35 ⎠
nl
− na
nl
− 416.7
µ = ; - 0.2448 =
⇒ nl
= 28.91rpm
nf
− na
2000 − 416.7 qINTRODUCCION
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ð El sistema tiene una relación de 2000:28,91. El eje 6 gira en el mismo sentido que el de entrada
⎞
⎟
⎠
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