Manipulador Paralelo de motores asíncronos - Ingeniería Mecánica ...

Jokin Aginaga García
Proyecto Ingeniería Industrial
Universidad Pública de Navarra
Nafarroako Unibertsitate Publikoa
INDICE
1. INTRODUCCION____________________________________________________ 4
1.1. Introducción ____________________________________________________________ 4
1.1.1. Antecedentes históricos ______________________________________________________ 5
1.1.2. Origen y desarrollo de la robótica ______________________________________________ 6
1.1.3. Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo ____________________________ 7
1.1.4. Manipuladores paralelos _____________________________________________________ 8
1.1.5. Manipuladores paralelos 6-RUS _______________________________________________ 9
1.2. Objetivos del proyecto ___________________________________________________ 10
1.3. Fases del proyecto ______________________________________________________ 10
1.3.1. Estudio del método empleado ________________________________________________ 10
1.3.2. Estudio completo de mecanismos sencillos ______________________________________ 11
1.3.3. Estudio cinemático del manipulador paralelo ____________________________________ 11
1.3.4. Estudio dinámico y estático del manipulador paralelo______________________________ 12
1.3.5. Estudio de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 12
1.3.6. Diseño del manipulador paralelo ______________________________________________ 13
2. ESTUDIO CINEMATICO ____________________________________________ 14
2.1. Introducción ___________________________________________________________ 14
2.2. Sistemas de coordenadas _________________________________________________ 14
2.2.1. Coordenadas relativas ______________________________________________________ 15
2.2.2. Coordenadas naturales ______________________________________________________ 15
2.2.3. Elección del sistema de coordenadas ___________________________________________ 15
2.3. El problema de posición _________________________________________________ 15
2.3.1. Método de Newton-Raphson _________________________________________________ 16
2.3.2. Aplicación al manipulador paralelo ____________________________________________ 17
2.4. El problema de velocidad ________________________________________________ 22
2.5. El problema de aceleración _______________________________________________ 24
2.6. Resultados_____________________________________________________________ 27
3. ESTUDIO DINAMICO ______________________________________________ 29
3.1. Introducción ___________________________________________________________ 29
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3.2. Matriz de masas ________________________________________________________ 29
3.2.1. Matriz de masa referida a 4 puntos ____________________________________________ 31
3.3. El problema dinámico ___________________________________________________ 33
3.3.1. Introducción ______________________________________________________________ 33
3.3.2. El problema dinámico directo ________________________________________________ 33
3.3.3. El problema dinámico inverso ________________________________________________ 36
3.3.4. El problema estático________________________________________________________ 37
3.4. Resultados_____________________________________________________________ 39
3.4.1. Problema dinámico directo __________________________________________________ 39
3.4.2. Problema dinámico inverso __________________________________________________ 41
3.4.3. Problema estático __________________________________________________________ 42
4. ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES ESTACIONARIAS _____________ 45
4.1. Introducción ___________________________________________________________ 45
4.2. Configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo _____________ 46
4.2.1. Cálculo de las configuraciones singulares estacionarias del manipulador paralelo ________ 47
4.2.2. Resultados _______________________________________________________________ 49
4.2.3. Utilidad de las configuraciones singulares estacionarias ____________________________ 52
4.2.4. Angulos máximos y mínimos en las cadenas biela-manivela ________________________ 53
4.2.4.1. Introducción ___________________________________________________________ 53
4.2.4.2. Resultados _____________________________________________________________ 53
4.3. Otros cálculos necesarios para el diseño ____________________________________ 54
5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD _______________________________________ 56
5.1. Introducción ___________________________________________________________ 56
5.2. Sensibilidad de posición__________________________________________________ 56
5.3. Sensibilidad de velocidad_________________________________________________ 58
5.4. Sensibilidad de aceleración _______________________________________________ 60
6. DISEÑO DEL MANIPULADOR PARALELO____________________________ 63
6.1. Introducción ___________________________________________________________ 63
6.2. Motores _______________________________________________________________ 63
6.3. Reductores ____________________________________________________________ 64
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6.4. Manivelas _____________________________________________________________ 65
6.5. Junta biela-manivela ____________________________________________________ 67
6.5.1. Rodamientos _____________________________________________________________ 68
6.5.2. Casquillo ________________________________________________________________ 71
6.6. Bielas _________________________________________________________________ 72
6.6.1. Barra ___________________________________________________________________ 73
6.6.2. Herradura ________________________________________________________________ 76
6.6.3. Acoplamiento barra-herradura ________________________________________________ 77
6.7. Junta esférica __________________________________________________________ 77
6.8. Plataforma móvil _______________________________________________________ 79
6.9. Plataforma fija _________________________________________________________ 80
6.10. Manipulador paralelo ___________________________________________________ 81
6.11. Tolerancias dimensionales de las piezas. ____________________________________ 82
6.12. Materiales a emplear ____________________________________________________ 83
6.12.1. Acero ___________________________________________________________________ 83
6.12.2. Clasificación de los aceros___________________________________________________ 84
6.12.2.1. F-11XX: Aceros al carbono _____________________________________________ 84
6.12.2.2. F-12XX y F-13XX: Aceros aleados de gran resistencia________________________ 85
6.12.2.3. F-15XX y F-16XX: Aceros para cementar__________________________________ 85
6.12.2.4. F-17XX: Aceros para nitrurar____________________________________________ 86
6.12.3. Aceros elegidos ___________________________________________________________ 86
6.12.3.1. Plataforma inferior ____________________________________________________ 86
6.12.3.2. Resto de piezas _______________________________________________________ 87
6.12.4. Material para la plataforma superior ___________________________________________ 87
7. BIBLIOGRAFIA ___________________________________________________ 88
Libros_____________________________________________________________________ 88
Catálogos y guías_______________________________________________________________ 89
ANEXO I Configuraciones Estacionarias_________________________________________ 90
ANEXO II Programas____________________________________________________ 103
ANEXO III Artículo para el C.N.I.M.__________________________________________ 144
ANEXO IV Catálogos ____________________________________________________ 150
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1. INTRODUCCION
1.1. Introducción
En este proyecto se realiza un estudio mecánico de un manipulador paralelo de tipo
6-RUS, así como su diseño. Un manipulador paralelo de tipo 6-RUS es un mecanismo de
cadena cerrada con 6 grados de libertad. Consiguientemente, el estudio será elaborado en
el campo de la síntesis de mecanismos.
En primer lugar habrá que saber de qué se habla cuando se habla de mecanismos.
Según Reuleaux un mecanismo se puede considerar como "una combinación de cuerpos
resistentes conectados por medio de articulaciones para formar una cadena
cinemática cerrada con un eslabón fijo y cuyo propósito es transformar el
movimiento".
En el diseño de una máquina pueden intervenir muchos campos de la ciencia como
por ejemplo la mecánica, la termodinámica, la mecánica de fluidos o la ciencia de
materiales, y se deben tener en cuenta aspectos como el económico, el estético, etc. No
obstante, de todos los estudios que se deben de realizar en el diseño de una máquina, el
estudio mecánico es de primordial importancia, ya que la mecánica es la ciencia que
relaciona la geometría, las fuerzas y los desplazamientos, factores que determinan el
funcionamiento de la máquina. En el diseño de los mecanismos, el estudio mecánico será
uno de los más importantes ya que, según la definición de mecanismo, el objetivo de éstos
es transformar el movimiento y el análisis del movimiento lo realiza la mecánica.
El diseño global de una máquina comienza por el diseño particular de los
mecanismos que la componen; ya que los movimientos necesarios en la máquina se
consiguen por medio de diferentes mecanismos y, por lo tanto, desde el punto de vista
mecánico, las máquinas se pueden considerar formadas por la combinación de varios
mecanismos.
En muchas máquinas, la energía se introduce por medio del movimiento giratorio
de un motor eléctrico o térmico y su objetivo es generar unos movimientos que no son
giratorios, o si lo son, son más rápidos o más lentos que el movimiento de entrada. Estos
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cambios entre el movimiento de entrada y el de salida se consiguen por medio de
mecanismos.
En el diseño de un mecanismo o máquina, el proceso habitual es el siguiente: En
primer lugar, se sintetiza el mecanismo o máquina, normalmente de forma aproximada.
Posteriormente, se realiza el análisis. Por regla general, el mecanismo o máquina
sintetizada no suele realizar perfectamente el movimiento prescrito, o está mal
dimensionado en cuanto a resistencia. Por ello, se hace necesario variar el diseño, y volver
a realizar el análisis, en un proceso iterativo hasta comprobar que el mecanismo o máquina
realiza el movimiento deseado, y sus piezas están dimensionadas de forma que serán
capaces de soportar los esfuerzos a que vayan a estar sometidas.
1.1.1. Antecedentes históricos
A lo largo de la historia el hombre se ha sentido fascinado por máquinas y
dispositivos capaces de imitar las funciones y los movimientos de los seres vivos. Los
griegos tenían una palabra específica para denominar a estas máquinas: automatos. De esta
palabra deriva la actual, autómata: máquina que imita la figura y movimientos de un ser
animado.
Aunque el primer autómata data del 85 d.c. el autómata más antiguo que se
conserva en la actualidad es el gallo de Estrasburgo (1352). Éste formaba parte del reloj de
la torre de la catedral de Estrasburgo y al dar las horas mueve las alas y el pico.
Otro autómata relevante fabricado a lo largo de la historia es el León mecánico
(1499) construido por Leonardo Da Vinci y como mecanismo cabe mencionar el Elevador
de agua (1534) construido por Juanelo Turriano, el cual se muestra a continuación:
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Figura 1.1.1.1: Elevador de agua de Turriano
Durante los siglos XVIII y XIX se crearon ingenios mecánicos que tenían alguna de
las características de los robots actuales. Uno de los más destacados fue el telar mecánico
de Jacquard(1801), el cual utilizaba una cinta de papel perforada como un programa para
las acciones de la máquina. Es a partir de ese momento cuando se empiezan a utilizar
dispositivos automáticos en la producción, dando paso a la automatización industrial.
1.1.2. Origen y desarrollo de la robótica
Tras los primeros autómatas descritos en el apartado anterior, los progenitores más
directos de los robots fueron los telemanipuladores. Éstos fueron creados con el objetivo de
manipular elementos radioactivos sin riesgo para el operador. El telemanipulador realizaba
los movimientos que ordenaba el operador desde su panel de mando.
Por su propia concepción, un telemanipulador precisa del mando continuo de un
operador. La sustitución del operador por un programa de ordenador que controlase los
movimientos del manipulador dio paso al concepto de robot.
Hacia 1960 empiezan a aparecer los primeros robots industriales, que poseían
generalmente 6 grados de libertad. En 1982, el profesor Makino desarrolla el concepto de
robot SCARA(Selective Compliance Assembly Robot Arm) que busca un robot con un
numero reducido de grados de libertad (3 ó 4) y una configuración orientada al ensamblado
de piezas.
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Lejos de estos robots antropomórficos (imitan a la forma de brazo humano),
aparece un nuevo concepto de manipulador: el manipulador paralelo.
1.1.3. Manipuladores tipo Serie y Manipuladores tipo Paralelo
Básicamente existen dos tipos de robots manipuladores: el tipo serie y el tipo
paralelo.
Un Robot Manipulador tipo Serie (RMS) es una cadena cinemática abierta cuyos
eslabones mecánicos están conectados en forma de serie. Un Robot Manipulador tipo
Paralelo (RMP) es una cadena cinemática cerrada cuyos eslabones mecánicos forman
estructuras geométricas cerradas.
Los manipuladores paralelos presentan una serie de ventajas con respecto a los
robots de brazo. Una de las ventajas consiste en el aumento de la relación carga útil-masa
que proporciona este tipo de estructura.
En efecto, cuando la estructura ocupa su posición central los accionadores soportan
aproximadamente la tercera parte de la carga útil además de importantes solicitaciones a
flexión. Estas solicitaciones a flexión son menores en los manipuladores paralelos gracias a
la adición de dos efectos: las articulaciones imponen únicamente las restricciones tracción
compresión y el reducido brazo de palanca.
Otra característica a destacar es la buena precisión de posicionamiento que poseen.
Esto es debido, a que como ya se ha mencionado, las deformaciones a flexión (no
medibles) son de pequeña magnitud.
Además las restricciones geométricas que presenta la realización de este tipo de
mecanismos no son muy severas.
Sin embargo, presentan una notoria desventaja, ya que su volumen de trabajo es
mucho más reducido. Se define volumen de trabajo como el espacio generado por el
extremo del manipulador (robots antropomórficos) o por la plataforma móvil(paralelos), al
moverse en todo su rango articular. El volumen articular depende de las dimensiones de los
eslabones y del rango articular.
Otra desventaja que poseen es que es necesario colocar el objeto a situar sobre su
plataforma, ya que no presenta la posibilidad de manipular él mismo el objeto. En la
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manipulación el órgano terminal debe poder agarrar el objeto y sustentarlo durante su
movimiento. Por tanto, obviamente su alcance es muy reducido.
1.1.4. Manipuladores paralelos
Los manipuladores paralelos están caracterizados por el hecho de ser mecanismos
de cadena cinemática cerrada y constituidos por un elemento móvil con varios grados de
libertad que está unido a la base fija del mecanismo por varias cadenas cinemáticas en
paralelo.
Uno de los primeros manipuladores fue patentado por Pollard (1942), el fin al que
estaba destinado este manipulador era el pintado de coches. Posteriormente, en 1965
Stewart propuso una estructura, conocida hoy en día como plataforma Stewart, que
constituyó el primer paso hacia las estructuras de los robots paralelos. En esta estructura el
elemento móvil es una plataforma triangular donde cada uno de sus vértices está conectada
por una rótula a un submecanismo constituido por dos tornillos, dispuestos también de
forma triangular, un extremo de cada uno de estos tornillos está unido por una articulación
giratoria a un segmento de eje vertical que puede girar alrededor de este eje. El otro
extremo de uno de los dos tornillos es solidario a la rótula del plato móvil, mientras que el
otro tornillo está unido por una articulación giratoria al cuerpo homólogo. El mecanismo es
por tanto una cadena cinemática cerrada de seis grados de libertad.
Figura 1.1.4.1: Esquema de la Plataforma de Stewart
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1.1.5. Manipuladores paralelos 6-RUS
Aparte de la Plataforma de Stewart, en la familia de manipuladores paralelos
existen infinidad de tipos diferentes. Por ejemplo, manipuladores paralelos planos,
espaciales y entre los espaciales de tres, cuatro, cinco y seis grados de libertad, con sus
características cinemáticas y dinámicas propias. Un tipo de estos mecanismos es el
"Manipulador Paralelo 6-RKS" propuesto por Hunt (1983), sobre el que se centrarán los
estudios realizados en este proyecto.
Estos mecanismos se caracterizan por estar constituidos por una plataforma móvil,
con seis grados de libertad, unida a una plataforma fija por medio de seis cadenas
cinemáticas formadas por actuador giratorio, manivela y biela.
Figura 1.1.5.1: Manipulador paralelo 6-RUS de Hunt
Los actuadores giratorios "R" están montados sobre la plataforma fija, las
manivelas están montadas sobre los ejes de los actuadores y las bielas están conectadas por
un extremo al extremo de la manivela por medio de una junta cardan o universal "U" y por
el otro extremo a la plataforma móvil por medio de una junta esférica "S".
Una característica cinemática de los manipuladores paralelos 6-RUS es poseer
configuraciones singulares estacionarias (CSE). En estas configuraciones, las velocidades
de los puntos de la plataforma móvil son nulas independientemente de las velocidades
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articulares de los actuadores, poseyendo además una serie de ventajas que se pondrán de
manifiesto más adelante.
El manipulador paralelo 6-RUS ideado por Hunt será el modelo utilizado para los
estudios que se realizan en este proyecto.
1.2. Objetivos del proyecto
El objetivo final del presente proyecto es la construcción de un manipulador
paralelo. Para ello, a través de la síntesis de mecanismos, se estudiará la cinemática y la
dinámica del mecanismo.
Entre las características cinemáticas del manipulador paralelo, se encuentran las
configuraciones estacionarias de la plataforma móvil. Estas posiciones serán de gran
utilidad, puesto que se definirán las características deseadas para el diseño en función de
las reacciones generadas en la trayectoria de una de ellas a otra, y de los pares necesarios
para realizar dicha trayectoria en un determinado tiempo. Con estas reacciones, se tendrán
datos necesarios para realizar el diseño.
1.3. Fases del proyecto
Desde antes de la propuesta hasta la presentación del proyecto, el trabajo se ha
estructurado en diferentes fases:
1.3.1. Estudio del método empleado
Por un lado están los planteamientos teóricos de posición, velocidad, aceleración,
fuerzas y momentos. El método que permite dar solución a todos estos cálculos aparece
explicado en el libro “Kinematic and Dynamic simulation of Multibody Sytems”, de Javier
García de Jalón y Eduardo Bayo.
Por otro lado está la resolución de los cálculos anteriormente citados. Para resolver
estos cálculos se utiliza el programa Matlab. Matlab (Mathematics Laboratory) es un
sistema general de software para matemáticas y otras aplicaciones. Su uso está extendido
entre investigadores, ingenieros y analistas. Las aplicaciones de Matlab, comprenden la
mayoría de las áreas donde se aplican métodos cuantitativos. Por lo tanto Matlab es un
potente entorno integrado de cálculo numérico y simbólico, con extensiones para la
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programación y otros campos específicos de la ingeniería, que ofrece gran cantidad de
funciones, gráficos en color de dos y tres dimensiones, y notación matemática estándar.
1.3.2. Estudio completo de mecanismos sencillos
Con el fin de familiarizarse y comprender los métodos analíticos a utilizar en el
proyecto, así como el programa informático de cálculo, se ha comenzado por el estudio de
mecanismos sencillos, como un péndulo simple o un cuadrilátero articulado.
Dada la sencillez de estos mecanismos, los cálculos y su resolución son
relativamente simples. También permite la comprobación de los resultados obtenidos
utilizando las ecuaciones de la mecánica clásica
Es necesario señalar, que estos resultados no tienen ninguna utilidad a la hora de
estudiar el manipulador. Su utilidad es simplemente de aprendizaje.
1.3.3. Estudio cinemático del manipulador paralelo
El cálculo cinemático es aquél que se centra en la resolución de posiciones,
velocidades y aceleraciones de los distintos puntos del mecanismo.
Para solucionar estas incógnitas, es necesario conocer las ecuaciones de limitación
o de restricción. Estas, son ecuaciones de distancia entre puntos, perpendicularidad,
paralelismo, etc. que definen la geometría del mecanismo. La solución de las ecuaciones de
limitación resuelve el problema de posición, sus primeras derivadas el de velocidad y sus
segundas derivadas el de la aceleración.
Dado que en las ecuaciones de limitación aparecen ecuaciones de segundo grado, se
debe utilizar algún método numérico para resolverlas. Así, se opta por la utilización del
método Newton-Raphson para la resolución de las ecuaciones de limitación.
También son necesarios ciertos datos que conviertan los problemas cinemáticos
planteados en resolubles. Para obtener la solución al problema de posición es necesario
conocer la posición de cada manivela. En este problema viene dada la posición de cada una
de las manivelas por medio del ángulo que forman con la plataforma fija. En el cálculo de
velocidad, es necesario un dato adicional, que es la velocidad angular de cada manivela.
Estas velocidades se calculan tomando como datos la velocidad angular de cada manivela.
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Para obtener las aceleraciones es preciso tener los datos de las aceleraciones angulares de
cada manivela, además de su velocidad angular y su ángulo.
1.3.4. Estudio dinámico y estático del manipulador paralelo
El cálculo dinámico da solución a las fuerzas y reacciones que se producen en el
mecanismo. Para este problema hay tres situaciones posibles: estática, dinámica directa y
dinámica inversa.
En el problema estático se determina la carga que contrarresta a unas acciones
dadas para que el mecanismo permanezca en equilibrio. Un ejemplo práctico de este caso
se da cuando el manipulador ha situado la pieza en una posición deseada, con el fin de que
un operario o una máquina realicen operaciones sobre ella (taladrar, soldar, perforar,...)
El problema dinámico directo calcula qué cinemática se le produce al mecanismo
bajo la acción de unas cargas dadas, y puede realizar una simulación del movimiento del
mecanismo.
El problema dinámico inverso determina la carga que es necesaria aplicar al
mecanismo para que se produzca en él una cinemática deseada. Un caso real de cálculo
dinámico inverso se produce al querer pasar de una posición a otra de la plataforma móvil
en un tiempo y con una aceleración determinadas. El tiempo, las aceleraciones y las
posiciones inicial y final proporcionan los datos cinemáticos. Con estos datos cinemáticos
se calculan los pares que deben ejercer los motores para que se dé el estado cinemático
planteado.
1.3.5. Estudio de las configuraciones singulares estacionarias
Las configuraciones estacionarias tienen la particularidad de que cuando se llega a
ellas el mecanismo sufre un cambio en el número de grados de libertad que posee.
Por tanto las configuraciones estacionarias constituyen las posiciones que limitan el
movimiento del manipulador. Como se puede deducir, es de vital importancia conocer cada
una de las configuraciones estacionarias o de volquete con el fin de trazar una ruta que
permita pasar de una posición a otra determinada del manipulador para permitir que el
manipulador se sitúe en cualquier posición que cumpla sus ecuaciones de restricción
cinemáticas. Es conveniente que cada uno de los seis motores que están acoplados a sus
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respectivas bielas tengan dos sentidos de giro, para poder pasar de una posición a otra por
el recorrido más corto, ya que en ocasiones el movimiento deseado será de unos pocos
grados.
Por otro lado, estas posiciones poseen la ventaja de tener un alto grado de precisión
en reposo, por lo que son usadas con relativa frecuencia en multitud de mecanismos.
Para el cálculo de las configuraciones estacionarias, es necesario establecer las
ecuaciones que cumplen. Estas ecuaciones son, además de las ecuaciones de limitación, las
ecuaciones que cumplen la condición de que el eje del actuador, la manivela y la biela
están contenidos en un mismo plano.
1.3.6. Diseño del manipulador paralelo
Tras realizar los distintos estudios de la mecánica del manipulador paralelo, se han
obtenido ciertos parámetros de diseño.
En esta fase, a través de la resistencia de materiales, se utilizarán dichos parámetros
para calcular secciones, desplazamientos, etc. Una vez obtenidos estos datos, se realizará el
diseño de un manipulador paralelo, cuya construcción se pretende realizar en los talleres de
la UPNA.
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2. ESTUDIO CINEMATICO
2.1. Introducción
En primer lugar, se deben determinar las características del mecanismo a estudiar
(número de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc.). Seguidamente, se
plantean las ecuaciones que lo definen (ecuaciones de distancia entre puntos,
perpendicularidad, paralelismo, etc.), a las que llamaremos ecuaciones de restricción o
limitación. En estas ecuaciones, algunas de las variables serán las incógnitas del problema.
Evidentemente, son necesarias tantas ecuaciones como incógnitas tiene el mecanismo. Una
vez planteadas estas ecuaciones, se puede realizar el estudio cinemático.
El cálculo cinemático da solución a los problemas de posición, velocidad, y
aceleración. El problema de posición se resuelve con las ecuaciones de limitación, el de
velocidad con la solución de las primeras derivadas de las mismas, y el de aceleración con
las segundas derivadas.
Antes de comenzar, se hará referencia a la manera en la que se plantean las
ecuaciones para la determinación de la posición del mecanismo.
2.2. Sistemas de coordenadas
Los diferentes sólidos que constituyen un mecanismo, pueden ser modelizados de
muchas y muy variadas maneras. Para determinar la posición de un sólido rígido en un
espacio tridimensional, deberemos de utilizar, al menos, 6 parámetros: uno por cada grado
de libertad del sólido. Además, los parámetros pueden referirse a una referencia absoluta,
(inercial), o a una referencia relativa como puede ser, por ejemplo, otro sólido del
mecanismo.
Las distintas maneras de resolver este problema se han clasificado para su análisis y
comparación, y aquí se van a presentar dos tipos de coordenadas que frecuentemente se
utilizan para determinar la posición de un sólido en el espacio, y para posteriormente
simular el movimiento de varios sólidos unidos entre sí mediante pares cinemáticos.
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2.2.1. Coordenadas relativas
Las coordenadas relativas, definen la posición de cada elemento de un mecanismo
con relación al elemento anterior de la cadena cinemática, utilizando parámetros o
coordenadas correspondientes a los grados de libertad de la unión entre los dos sólidos. Por
ejemplo, en un par de revolución de un mecanismo en 2D, se define la posición de un
sólido respecto del otro con el valor del ángulo del par de revolución. En el caso de
mecanismos de cadena abierta, si se utilizan coordenadas relativas, se tiene tantas
coordenadas como grados de libertad, y de esta manera no existen ecuaciones de
restricción.
2.2.2. Coordenadas naturales
Las coordenadas naturales, pueden definir la posición de todos los puntos de un
sólido rígido mediante la posición, en coordenadas cartesianas, de alguno de sus puntos, y
la orientación de algún vector que consideraremos solidario al cuerpo. Existen varias
formas en las que con puntos y vectores podemos determinar la posición de un sólido
rígido sin que nos sobren puntos o vectores. Las ecuaciones de restricción de los pares
cinemáticos también se expresan en función de puntos y vectores.
2.2.3. Elección del sistema de coordenadas
El sistema de coordenadas elegido es el de coordenadas naturales, ya que pese a
necesitar más coordenadas para un definir un mismo sistema, son más sencillas de definir y
llevan a sistemas de ecuaciones más sencillos que las coordenadas relativas.
2.3. El problema de posición
El problema de posición consiste en determinar la posición de todos los elementos
del mecanismo. Matemáticamente, se trata de determinar, a partir de un dato de entrada, la
solución del sistema de ecuaciones de limitación. El dato o datos de entrada, pueden ser
cualquiera de las distintas coordenadas utilizadas. Para el caso del manipulador paralelo,
harán falta seis datos de entrada, que serán los ángulos de cada una de las manivelas.
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En general, las ecuaciones de limitación no son lineales, por lo que hay que recurrir
a métodos numéricos para resolverlas. El método que se utilizará, será el de Newton-
Raphson.
2.3.1. Método de Newton-Raphson
Este método es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de otros métodos, el
método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un
proceso iterativo.
El método Newton-Raphson sustituye las ecuaciones por los dos primeros términos
de Taylor. De este modo, del sistema de ecuaciones de restricción se pasa a un sistema de
ecuaciones lineales. Para resolverlo, se parte de una aproximación inicial y se itera hasta
llegar a la solución definitiva.
Sea la aproximación x i a la raíz x r de f(x),
Figura 2.3.1.1: Intersección de la tangente de f con el eje x
Se traza la recta tangente a la curva en el punto (x i , f(x i )); ésta cruza al eje x en un
punto x i+1 que será la siguiente aproximación a la raíz x r .
Para calcular el punto x i+1 , se calcula primero la ecuación de la recta tangente. Se
sabe que tiene pendiente
m = f ‘(x i )
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
y – f(x i ) = f ‘(x i )·(x - x i )
Haciendo y = 0:
– f(x i ) = f ‘(x i )·(x - x i )
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Y despejando x:
x = x i -
f(x)
f' (x)
que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente
aproximación:
x i+1 = x i -
f(x)
f' (x)
si f ‘(x i ) 0.
Nótese que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde
asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no se tiene ninguna garantía de
aproximación a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge
a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde sí
converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos
preferidos por excelencia.
También se puede observar que en el caso de que f ‘(x i ) = 0, el método no se puede
aplicar. De hecho, se aprecia geométricamente que esto significa que la recta tangente es
horizontal y por lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con
éste, en cuyo caso x i mismo es una raíz de f(x).
Para dar solución a éste nuevo sistema, hay que partir de una solución aproximada,
y a partir de ella, el ordenador realiza iteraciones hasta que el resultado se aproxima a la
solución en menos de un valor prefijado.
El método de Newton-Raphson tiene convergencia cuadrática, y converge
rápidamente hacia la solución (4 o 5 iteraciones) si la solución inicial aproximada es
suficientemente buena. De cualquier forma, la solución aproximada puede estimarse a ojo
en la mayoría de los casos.
2.3.2. Aplicación al manipulador paralelo
Inicialmente, es necesario determinar las características del manipulador (número
de eslabones, tipos de enlaces, puntos que lo configuran, etc). El manipulador está
constituido por dos plataformas: una móvil y otra fija. La plataforma fija es el elemento
más pesado y consistente con el fin de aportar rigidez al manipulador.
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Los seis motores que posee el manipulador se encuentran fijados sobre la
plataforma fija, de tal forma que los ejes de los motores y su prolongación forman un
triángulo equilátero de un metro de lado y centrado sobre la plataforma fija. Se considera
que el centro de giro de la manivela coincide con el extremo del eje del motor. En cada uno
de los lados del triángulo de la plataforma fija se encuentran dos motores. En cada lado los
motores se encuentran enfrentados y situados de tal forma que distan cada uno 0.05 metros
del punto medio del lado del triángulo en el que se encuentran. Tanto para el estudio
cinemático como para el dinámico, se consideran las manivelas como barras de 0.1 metros
de longitud, perpendiculares al eje del motor.
La manivela está unida a la biela mediante una junta cardan. Dicha junta permite
dos giros relativos entre biela y manivela. La longitud de la biela es de 0.6 metros. El otro
extremo de la biela está unido a la plataforma móvil, mediante una junta esférica, la cual
permite el giro relativo entre biela y plataforma en los tres ejes. La plataforma móvil
consiste en una placa con forma de triángulo regular de 0.5 m de lado. Idealmente se
considera que en cada uno de los vértices del triángulo se hallan los extremos de dos
bielas. De este modo se simplifican las ecuaciones de restricción, ya que de no coincidir
los puntos se consideraría la plataforma como un hexágono, perdiendo así la condición de
indeformabilidad y complicando las ecuaciones de limitación
A continuación se muestra una figura del manipulador paralelo, en la que se
presenta la nomenclatura que se utilizará en adelante.
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Figura 2.3.2.1: Puntos característicos del Manipulador Paralelo 6-RUS
Una vez definidas las características geométricas del mecanismo se plantean las
ecuaciones de limitación, que serán las de longitud constante de las bielas y las de la
longitud constante de los lados de la plataforma móvil. Por lo que se tienen nueve
ecuaciones cuadráticas, seis de las cuales corresponden a la condición de longitud
constante de las bielas y tres a las de longitud constante de los lados de la plataforma
móvil.
Las ecuaciones de limitación se pueden representar en forma matricial del siguiente
modo:
(q(t),t) = 0
donde q(t) es el vector de las coordenadas dependientes del mecanismo. Aplicando
el método de Newton-Raphson, se reemplazará cada ecuación por los dos primeros
términos de su expresión de Taylor en el punto q i considerado como aproximación a la
solución. Una vez hecha la sustitución, el sistema queda:
(q(t),t) (q i ) + q (q i )·(q-q i ) = 0
donde la variable tiempo no ha sido tenida en cuenta, porque las condiciones de
restricción no dependen del tiempo. La matriz q es la matriz jacobiana de las ecuaciones
de limitación, es decir, la matriz de las derivadas parciales de estas ecuaciones con respecto
a las coordenadas dependientes.
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En la ecuación anterior se representa un sistema lineal que constituye una
aproximación al sistema no lineal. El vector q obtenido como solución, será una
aproximación de la solución real del sistema. Llamando a esta solución aproximada q i+1 , se
obtiene la siguiente fórmula recursiva:
(q i ) + q (q i )·(q i+1 -q i ) = 0
que será utilizada repetidamente hasta que la diferencia entre dos iteraciones
sucesivas sea menor que la tolerancia establecida.
Llevado esto al caso del manipulador paralelo, las ecuaciones de restricción que
componen el vector son las siguientes:
Ecuaciones de longitud constante de la biela:
(x 123 -x 12 ) 2 + (y 123 -y 12 ) 2 + (z 123 -z 12 ) 2 – l 2 2 =0 (2.3.1)
(x 123 -x 13 ) 2 + (y 123 -y 13 ) 2 + (z 123 -z 13 ) 2 – l 2 3 =0 (2.3.2)
(x 145 -x 14 ) 2 + (y 145 -y 14 ) 2 + (z 145 -z 14 ) 2 – l 2 4 =0 (2.3.3)
(x 145 -x 15 ) 2 + (y 145 -y 15 ) 2 + (z 145 -z 15 ) 2 – l 2 5 =0 (2.3.4)
(x 161 -x 16 ) 2 + (y 161 -y 16 ) 2 + (z 161 -z 16 ) 2 – l 2 6 =0 (2.3.5)
(x 161 -x 11 ) 2 + (y 161 -y 11 ) 2 + (z 161 -z 11 ) 2 – l 2 1 =0 (2.3.6)
Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma móvil:
(x 161 -x 123 ) 2 + (y 161 -y 123 ) 2 + (z 161 -z 123 ) 2 – a 2 12 =0 (2.3.7)
(x 145 -x 123 ) 2 + (y 145 -y 123 ) 2 + (z 145 -z 123 ) 2 – a 2 34 =0 (2.3.8)
(x 145 -x 161 ) 2 + (y 145 -y 161 ) 2 + (z 145 -z 161 ) 2 – a 2 56 =0 (2.3.9)
Se define también el vector de incógnitas:
q = {x 123 , y 123 , z 123 , x 145, y 145 , z 145 , x 161 , y 161 , z 161 } T
A la hora de utilizar el método de Newton-Raphson, se tomarán los ángulos que
forman las manivelas con el plano horizontal como datos de entrada, y las coordenadas de
los tres vértices de la plataforma superior como incógnitas (vector q). Antes de proceder a
la resolución del sistema, se deben calcular las posiciones del extremo libre de la manivela,
para lo que se recurre a las siguientes ecuaciones:
x
11
y02
y01
x01
r1·cos(z1)·
(2.3.10)
2
2
(x x ) (y y )
02
01
02
01
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y
11
x02
x01
y01
- r1·sin(z1)·
(2.3.11)
2
2
(x x ) (y y )
z11 01 1 1
02
01
z r ·cos(z )
(2.3.12)
02
01
y
x
12
12
y02
y01
x02
r2·cos(z2
)·
(2.3.13)
2
2
(x x ) (y y )
02
02
01
01
x02
x01
y02
- r2·cos(z2
)·
(2.3.14)
2
2
(x x ) (y y )
02
02
01
01
z12 02 2 2
z r ·sin(z )
(2.3.15)
x
y
13
13
y03
y04
x03
- r3·cos(z3
)·
(2.3.16)
2
2
(x x ) (y y )
04
04
03
x04
x03
y03
- r3·cos(z3
)·
(2.3.17)
2
2
(x x ) (y y )
03
04
04
03
03
z13 03 3 3
z r ·sin(z )
(2.3.18)
x
y
14
14
y 03 y 04
x 04 - r4·sin(z4
)·
(2.3.19)
2
2
(x x ) (y y )
04
04
03
x 04 x 03
y 04 - r4·cos(z4
)·
(2.3.20)
2
2
(x x ) (y y )
03
04
04
03
03
z14 04 4 4
z r ·sin(z )
(2.3.21)
x
y
15
15
y 05 y 06
x 05 - r5·cos(z5
)·
(2.3.22)
2
2
(x x ) (y y )
06
06
05
x 05 x 06
y 05 r5·cos(z5
)·
(2.3.23)
2
2
(x x ) (y y )
05
06
06
05
05
z15 05 5 5
z r ·sin(z )
(2.3.24)
x
16
y 05 y 06
x 06 - r6·cos(z6
)·
(2.3.25)
2
2
(x x ) (y y )
06
05
06
05
y
16
x 05 x 06
y 06 r6·cos(z6
)·
(2.3.26)
2
2
(x x ) (y y )
06
05
06
05
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z16 06 6 6
z r ·sin(z )
(2.3.27)
Una vez obtenidas las coordenadas de los extremos libres de las manivelas, ya se
puede aplicar el método de Newton-Raphson. Para ello, se realizará un algoritmo en
Matlab, el cual para distintos ángulos de entrada soluciona el problema de posición inicial.
Por último, se presenta la matriz Jacobiana necesaria para la aplicación del método:
(x
(x
q
(x
(x
123
123
123
123
x
x
0
0
0
0
x
x
0
12
13
161
145
)
)
)
)
(y
(y
(y
(y
123
123
123
123
y
y
0
0
0
0
y
y
0
12
13
161
145
)
)
)
)
(z
(z
(z
(z
123
123
123
123
z
z
0
0
0
0
z
z
0
12
13
161
145
)
)
)
)
(x
(x
(x
(x
145
145
145
145
0
0
x
x
0
0
0
x
x
14
15
123
161
)
)
)
)
(y
(y
(y
(y
145
145
145
145
0
0
y
y
0
0
0
y
y
14
15
123
161
)
)
)
)
(z
(z
(z
(z
145
145
145
145
0
0
z
z
0
0
0
z
z
14
15
123
161
)
)
)
)
(x
(x
(x
(x
161
161
161
161
0
0
0
0
x
x )
x
0
x
16
11
123
145
)
)
)
(y
(y
(y
(y
161
161
161
161
0
0
0
0
y
y )
y
0
y
16
11
123
145
)
)
)
(z
(z
(z
(z
161
161
161
161
0
0
0
0
z
z
z
0
z
16
11
123
145
)
)
)
)
2.4. El problema de velocidad
El problema de velocidad consiste en encontrar la solución del sistema de
ecuaciones formado por las primeras derivadas de las ecuaciones de limitación con
respecto del tiempo. Al hacer estas derivadas, todas las ecuaciones se linearizan y por tanto
no es necesario ningún proceso iterativo.
Como en el caso anterior, hace falta incluir una condición de velocidad para que el
sistema sea compatible y determinado. Para ello, se tomará como dato la velocidad angular
de las manivelas, y a partir de ahí se procederá a calcular las velocidades en los vértices de
la plataforma superior. Antes de resolver el sistema, se debe calcular la velocidad en el
extremo libre de las manivelas, para lo cual se deben derivar las ecuaciones (2.3.10) a
(2.3.27):
vx
vy
11
11
y02
y01
-w1·r1·sin(z1)·
(2.4.1)
2
2
(x x ) (y y )
02
02
01
x02
x01
w1·r1·sin(z1)·
(2.4.2)
2
2
(x x ) (y y )
01
02
02
01
01
vz11 w1·r1
·cos(z1)
(2.4.3)
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vx
vy
12
12
y 02 y 01
-w 2·r2·sin(z2
)·
(2.4.4)
2
2
(x x ) (y y )
02
x 02 x 01
w 2·r2·sin(z2
)·
(2.4.5)
2
2
(x x ) (y y )
02
01
01
02
02
01
01
vz12 w 2·r2·cos(z
2 )
(2.4.6)
vx
13
y 03 y 04
w 3·r3·sin(z3
)·
(2.4.7)
2
2
(x x ) (y y )
04
03
04
03
vy
13
x 04 x 03
w 3·r3·sin(z3
)·
(2.4.8)
2
2
(x x ) (y y )
04
03
04
03
vz w 3·r3·cos(z3
)
vx
vy
14
14
13 (2.4.9) y 03 y 04
w 4·r4·sin(z
4 )·
(2.4.10)
2
2
(x x ) (y y )
04
04
03
x 04 x 03
w 4·r4·sin(z
4 )·
(2.4.11)
2
2
(x x ) (y y )
03
04
04
03
03
vz14 w 4·r4·cos(z
4 ) (2.4.12)
vx
15
y 05 y 06
w 5·r5·sin(z5
)·
(2.4.13)
2
2
(x x ) (y y )
06
05
06
05
vy
15
x 05 x 06
w
5·r5·sin(z5
)·
(2.4.14)
2
2
(x x ) (y y )
06
05
06
05
vz w 5·r5·cos(z5
)
vx
vy
16
16
15 (2.4.15) y 05 y 06
w 6·r6·sin(z6
)·
(2.4.16)
2
2
(x x ) (y y )
06
06
05
x 05 x 06
w
6·r6·sin(z6
)·
(2.4.17)
2
2
(x x ) (y y )
05
06
06
05
05
vz16 w 6·r6·cos(z6
) (2.4.18)
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Una vez realizados estos cálculos, se procederá a la resolución del problema de
velocidad, para lo cual se derivarán las ecuaciones de limitación, obteniéndose el siguiente
sistema:
q· q + t = 0
donde q es el jacobiano de las ecuaciones de restricción, . q son las tres
componentes de las velocidades de los vértices de la plataforma superior (la derivada con
respecto del tiempo del vector de coordenadas), y t es la derivada parcial de las
ecuaciones de limitación respecto del tiempo, mostrada a continuación:
t
(x
(x
(x
(x
(x
(x
123
123
145
145
161
161
x
x
x
x
x
13
14
15
x
16
12
)·vx
)·vx
)·vx
)·vx
)·vx
)·vx
13
14
15
16
11
(y
(y
(y
(y
(y
(y
123
123
145
145
161
161
y
y
y
y
y
y
2.5. El problema de aceleración
12
12
0
0
0
12
13
14
15
16
11
)·vy
)·vy
)·vy
)·vy
)·vy
)·vy
15
16
11
(z
(z
(z
(z
(z
(z
Para encontrar el vector de aceleración dependiente q , simplemente se debe
diferenciar con respecto del tiempo la ecuación de velocidad, lo que conduce al siguiente
resultado:
q (q(t),t)· q = - - Si el vector de posición q y el vector de velocidad q son conocidos, entonces
resolviendo el sistema lineal se puede encontrar el vector de aceleración dependiente q .
Nótese que la matriz que encabeza los sistemas lineales de ecuaciones anteriores (posición
y velocidad) es exactamente la misma; esto significa que si ha sido formada y
triangularizada par resolver el problema de velocidad, el análisis de aceleración puede
hacerse simplemente formando el miembro derecho de la ecuación y realizando una
reducción hacia delante y una sustitución hacia atrás. Cuando no hay ecuaciones de
t
12
13
14
q
· q
123
123
145
145
161
161
z
z
z
z
z
z
12
13
14
15
16
11
)·vz
)·vz
)·vz
)·vz
)·vz
)·vz
12
13
14
15
16
11
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limitación dependientes del tiempo, el problema de velocidad es homogéneo, mientras que
el problema de aceleración es siempre no homogéneo siempre y cuando las velocidades no
sean iguales a cero.
Tal y como se ha procedido en los anteriores casos, lo primero que se debe obtener
es la aceleración en el extremo libre de la manivela. Para ello, se dispone de las siguientes
ecuaciones, derivadas respecto del tiempo de las ecuaciones (2.4.1) a (2.4.18):
ax
11
-
·r ·sin(z
1
1
1
)·
(x
02
x
y
02
2
01)
y
01
(y
02
y
2
01)
w
2
1
·r ·cos(z
1
1
)·
(x
02
x
y
02
2
01)
y
01
(y
02
y
2
01)
ay
11
·r ·sin(z
1
1
1
)·
(x
02
x
x
01
02
)
2
x
01
(y
02
y
01
)
2
w
2
1
·r ·cos(z
1
1
)·
(x
02
x
x
01
02
)
2
x
01
(y
02
y
01
)
2
az11 1·r1·sin(z1)
w1
·r1
·cos(z1)·
2
ax
12
-
2
·r
2
·sin(z
2
)·
(x
02
x
y
01
02
)
2
y
01
(y
02
y
01
)
2
w
2
2
·r
2
·cos(z
2
)·
(x
02
x
y
01
02
)
2
y
01
(y
02
y
01
)
2
ay
12
2
·r
2
·sin(z
2
)·
(x
02
x
x
01
02
)
2
x
01
(y
02
y
01
)
2
w
2
2
·r
2
·cos(z
2
)·
(x
02
x
x
01
02
)
2
x
01
(y
02
y
01
)
2
az12 2·r2·cos(z2
) w 2 ·r2
·sin(z 2 )
2
ax
13
3
·r
3
·sin(z
3
)·
(x
04
x
y
03
03
)
2
y
04
(y
04
y
03
)
2
w
2
3
·r
3
·cos(z
3
)·
(x
04
x
y
03
03
)
2
y
04
(y
04
y
03
)
2
ay
13
3
·r
3
·sin(z
3
)·
(x
04
x
x
03
04
)
2
x
03
(y
04
y
03
)
2
w
2
3
·r
3
·cos(z
3
)·
(x
04
x
x
03
04
)
2
x
03
(y
04
y
03
)
2
az13 3·r3·cos(z3
) w 3 ·r3
·sin(z 3 )
ax
ay
14
14
4
4
·r
·r
4
4
·sin(z
·sin(z
4
4
)·
(x
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(x
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y
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w
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(y
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x
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y
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·sin(z
·r
w
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6
2
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6
6
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16
Calculado esto, los términos de la ecuación q (q(t),t)· q
= -
t
-
q
· q toman la
siguiente forma:
161
161
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145
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ay
ax
az
ay
ax
az
ay
ax
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z
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y
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x
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y
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x
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0
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z
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y
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x
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y
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x
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y
(y
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x
(x
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z
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)·ay
y
(y
)·ax
x
(x
)·az
z
(z
)·ay
y
(y
)·ax
x
(x
)·az
z
(z
)·ay
y
(y
)·ax
x
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vx
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vx
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vy
vy
vy
vy
vy )·vy
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0
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(vz
(vz
(vz
(vz
(vz
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vz )·vz
vz
vz
vz
vz
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)·vz
)·vz
)·vz
)·vz
vz )·vz
Ecuación de sencilla resolución puesto que sólo tiene incógnitas en su parte
izquierda.
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16
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2.6. Resultados
Una vez planteadas todas las ecuaciones, se programan en Matlab los algoritmos
necesarios para su resolución. Así, se obtiene un programa que para distintos valores de
entrada (posición, velocidad angular y aceleración angular de la manivela), calcula la
posición, velocidad y aceleración de los tres vértices de la plataforma superior.
Los datos del manipulador paralelo son los siguientes:
Longitud de las bielas = 0.6 m
Longitud de las manivelas = 0.1 m
Longitud de los lados de la plataforma superior = 0.5 m
Se introducen los datos en la siguiente ventana:
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Figura 2.6.1: Ventana de datos de entrada del problema cinemático
Para los datos de entrada de la figura anterior, los resultados son los siguientes:
Posiciones (m) Velocidades (m/s) Aceleraciones (m/s 2 )
x 123 -0,1542 vx 123 0,0163 ax 123 0,1875
y 123 0,2671 vy 123 -0,0282 ay 123 -0,0468
z 123 0,568 vz 123 0,0537 az 123 0,033
x 145 0,2671 vx 145 0,0388 ax 145 0,0536
y 145 0 vy 145 0 ay 145 0
z 145 0,6022 vz 145 -0,0026 az 145 -0,0604
x 161 -0,1753 vx 161 0,0534 ax 161 0,0808
y 161 -0,2323 vy 161 -0,0305 ay 161 -0,0464
z 161 0,833 vz 161 0,0298 az 161 -0,01
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3. ESTUDIO DINAMICO
3.1. Introducción
Las ecuaciones de la dinámica de un sistema multicuerpo las podemos obtener a
través de varios procedimientos matemáticos como: el principio de los desplazamientos
virtuales, el principio de Hamilton, las ecuaciones de Lagrange, o el método de las
potencias virtuales. De esta manera, podremos llegar a distintas expresiones con las que
podremos modelar y simular sistemas dinámicos multicuerpo.
En el problema dinámico, entran en juego las fuerzas y reacciones que se producen
en el mecanismo. La ecuación que se utiliza es básicamente la de la 2º Ley de Newton:
F = m · a
Esta ecuación necesariamente debe modificarse para realizar los cálculos que aquí
competen, ya que no se supone que la masa de los eslabones está concentrada en su centro
de gravedad, sino que la masa se distribuye entre varios puntos del mismo, que serán
llamados puntos característicos del eslabón. Para ello, y para poder utilizar la ecuación
para sistemas multicuerpo, se utiliza la matriz de masas, la cual se describe en el siguiente
apartado.
3.2. Matriz de masas
En esta sección se va a explicar la forma en la que se construye la matriz de masas
de un sólido, para que multiplicándola por las aceleraciones, se obtenga el vector de las
fuerzas de inercia. La forma que tomará la matriz de masas, dependerá de las coordenadas
que se utilicen para representar el mecanismo.
Las fuerzas de inercia serán representadas por medio de fuerzas equivalentes que
sean congruentes con las coordenadas naturales del elemento. La matriz de masas se puede
escribir basándose en diversos factores, como por ejemplo:
- dos puntos y dos vectores no coplanares
- tres puntos y un vector no coplanar
- cuatro puntos
Memoria Manipulador Paralelo de motores asíncronos Pag 29

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- dos puntos y un vector no colineal
Para el presente caso, se calculará la matriz de masa para cuatro puntos, a partir de
la expresión de la energía cinética. Para ello, se dispone la siguiente figura,
z
w
r p
p
v
u
y
x
Figura 3.2.1: Referencias fija y móvil en un sólido rígido
En la figura, se observa que hay un sistema de referencia fijo [x,y,z], y un sistema
de referencia móvil [u,v,w]. De la figura se deduce:
r p = r 0 + x p·u + y p·v + z p·w
o lo que es lo mismo:
r p = [ I 3 x p·I 3 y p·I 3 z p·I 3 ]·
u
= A·V
v
w
siendo I 3 la matriz identidad de orden 3, A una matriz 3x12 y V un vector 12x1.
Derivando una vez con respecto del tiempo, y puesto que la matriz A no varía con el
tiempo, se tiene:
A·V
r p
Entonces, se puede ir a la expresión de la energía cinética:
1
W = r T
·r
p p·
dm = 1 V T
·A
T ·A·V· dm
2
2
= 1 ·V
T
· A
T ·A·dm V ·
2
Si se calcula A T·A, se tiene:
r 0
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I3
A T·A=
xp·I
yp·I
zp·I
3
3
3
x
x
x
x
p
p
p 3
2
p ·I 3
Integrando para toda la masa se llega a:
·y
·z
·I
p
p
·I
·I
3
3
x
p p 3
2
yp
·I 3
y
y
p
p
·y
·z
·I
p
3
·I
·I
3
zp·I
3
xp·zp·I
3
y
p·zp·I
3
2
zp
·I 3
A
T
m·I 3
m·x G·I
·A·dm
m·y
G·I
m·z G·I
3
3
3
m·x
I
I
I
x
xy
xz
G
·I
·I
·I
3
·I
3
3
3
m·y
I
I
I
xy
y
yz
G
·I
·I
·I
3
3
·I
3
3
m·z G·I
3
I
xz·I
3
Iyz·I
3
Iz·I
3
donde I ij son los productos de inercia, e I i son las siguientes combinaciones de los
momentos de inercia:
Iyy
Izz
Ixx
Ixx
Izz
Iyy
Ixx
Iyy
Izz
Ix
Iy
Iz
2
2
2
A continuación se particularizará el cálculo de la matriz de masa al caso objeto del
estudio.
3.2.1. Matriz de masa referida a 4 puntos
Para el estudio que se está desarrollando, se debe calcular la matriz de masa
referida a 4 puntos. Para ello, se considera que la referencia móvil está fijada a la
plataforma superior, y como cuarto punto además de los tres vértices, se toma el punto con
el que los tres anteriores formarían un tetraedro apoyado en la plataforma superior.
Se definen a continuación las coordenadas de estos cuatro puntos en la referencia
móvil:
r 161 = r 0 + x 161·u + y 161·v + z 161·w
r 123 = r 0 + x 123·u + y 123·v + z 123·w
r 145 = r 0 + x 145·u + y 145·v + z 145·w
r 200 = r 0 + x 200·u + y 200·v + z 200·w
Estas ecuaciones se pueden reescribir de la siguiente forma:
Memoria Manipulador Paralelo de motores asíncronos Pag 31

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r ijk =
r
r
r
r
123
145
161
200
I
=
I
I
I
3
3
3
3
Derivando con respecto del tiempo, y operando, se llega a:
x
x
x
x
123
145
161
200
·I
·I
·I
·I
3
3
3
3
y
y
y
y
123
145
161
200
·I
·I
·I
·I
3
3
3
3
z
z
z
z
123
145
161
200
·I 3 r 0
·I
3 ·
u
·I 3
v
·I 3 w
r ijk = B·V r
ijk = B· V V = B -1· r ijk
Anteriormente, se había llegado a:
T
V =
T
r
ijk · B 1T
Sustituyendo V y
1 T
W = ·V
T
· A ·A·dm V ·
2
T
V por las expresiones obtenidas, se tiene:
T
ijk
1
W = · r · 2
1T
B ·
A ·A· dm
T ·B -1· r ijk
Con lo que ya se ha obtenido una expresión para la matriz de masa:
M =
1T
B ·
·A· dm
A T ·B -1
Una vez calculada la expresión general de la matriz de masa referida a 4 puntos, ya
se puede obtener la matriz de masa del manipulador con el sólido a posicionar. El sólido
que se situará sobre la plataforma móvil es un cilindro recto y de densidad homogénea. La
altura del cilindro es de 1.2 metros. El diámetro de la base tiene un valor de
50 cm. La masa del cilindro es de 80 Kg y está situada de tal forma que el centro del
círculo que forma su base coincide con el baricentro de la plataforma móvil del
manipulador. Para el cálculo de la matriz de masa de la plataforma móvil y del cilindro se
desprecia la masa de la plataforma y se calcula dicha matriz respecto de 4 puntos que
forman un tetraedro (3 vértices de la plataforma móvil y un punto auxiliar). Nótese que
puesto que la matriz de masa sólo depende de la geometría del sistema, la cual
permanecerá invariable, la matriz de masa será constante en todo momento.
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3.3. El problema dinámico
3.3.1. Introducción
La dinámica estudia los efectos que las fuerzas producen sobre un mecanismo. El
efecto de estas fuerzas es producir aceleraciones, y generar fuerzas internas entre los
eslabones del sistema.
Debido a que el conjunto de coordenadas naturales no son independientes, se
introducen los multiplicadores de Lagrange en las ecuaciones que relacionan las masas con
las fuerzas y las aceleraciones. Las ecuaciones para el estudio dinámico son:
M· q + qT· = Q
Donde M representa la matriz de masas, T q la matriz jacobiana transpuesta, el
vector de los multiplicadores de Lagrange y Q el vector de las fuerzas exteriores.
Al mismo tiempo se deben cumplir las ecuaciones de la cinemática representadas
por:
q· q = - q · q - t
En el primer sistema de n ecuaciones, se tienen n+m incógnitas: los n elementos del
vector de aceleraciones más los m elementos del vector de los multiplicadores. Para poder
resolver este sistema, se toman en consideración también las m ecuaciones cinemáticas del
cálculo de las aceleraciones, formando así un sistema de n+m ecuaciones con n+m
incógnitas, que se puede expresar de forma matricial como:
M
q
T
q
0
q
Q
· =
q·
q
t
Sistema de ecuaciones que sirve tanto para resolver los problemas dinámicos
directos como los problemas dinámicos inversos y los estáticos.
3.3.2. El problema dinámico directo
El objetivo del problema dinámico directo es encontrar las aceleraciones que unas
determinadas fuerzas producen sobre el mecanismo y, posteriormente resolver las fuerzas
de reacción que se introducen en cada uno de los puntos.
Memoria Manipulador Paralelo de motores asíncronos Pag 33

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Para ello, en primer lugar se deben determinar las características del mecanismo, las
cuales son representadas por las ecuaciones de limitación vistas anteriormente. También es
preciso conocer la posición y velocidad del manipulador, cálculos realizados introduciendo
las condiciones de entrada para la posición y velocidad angular de la manivela y
resolviendo los problemas de posición y velocidad tal y como se ha realizado en el cálculo
cinemático.
Tras ello, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema, que pueden
ser de dos tipos: fuerzas o momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de acción y
puntos de aplicación.
En este momento, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema, que
pueden ser de dos tipos: fuerzas y momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de
acción y puntos de aplicación.
Con estos datos de entrada, se realiza un programa que calcula las aceleraciones
que se generan en el mecanismo. Para ello, se basa en el método de la potencia virtual
aplicado en cada uno de los puntos móviles del mecanismo, que se basa en la potencia
necesaria para producir un desplazamiento virtual muy pequeño en cada uno de los puntos.
Se genera así un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas son las aceleraciones de
estos puntos.
Sin embargo, estas ecuaciones están ligadas entre sí por medio de las ecuaciones de
limitación del mecanismo. Por esto, cada una de las ecuaciones de la potencia virtual se
debe corregir introduciendo un sumando que representa la potencia virtual correspondiente
a las limitaciones del sistema. Este sumando se toma como producto de cierto elemento de
la matriz jacobiana del mecanismo multiplicada por un factor conocido como multiplicador
de Lagrange, ya visto en la introducción de este apartado.
Así, se tiene un sistema en que todas las ecuaciones son lineales y cuya solución da
como resultado las deseadas aceleraciones de los puntos del mecanismo y el valor de los
multiplicadores de Lagrange.
Para el caso del manipulador paralelo, se trabajará con el sistema:
M
q
T
q
0
q
Q
· =
q·
q
t
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donde q = [x 123 ,y 123 ,z 123 , x 145 ,y 145 ,z 145 , x 161 ,y 161 ,z 161 , x 200 ,y 200 ,z 200 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] T ,
vector en el que se han añadido las coordenadas de punto x 200 , vértice de la pirámide
formada por ese mismo punto y los tres vértices de la plataforma superior. Se ha debido
añadir este punto porque la matriz de masas está referida a 4 puntos. De no añadirse, la
matriz de masa referida a 3 puntos no sería constante.
(x
(x
(x
(x
123
145
145
Por otra parte, el vector tendrá la siguiente forma:
- x
- x
- x
03
04
05
r3·cos(
3)·
(x
r4·cos(
4)·
(x
r5·cos(
5
)·
(x
04
04
06
(x123
- x
y y
03
x03)
(y
y y
03
2
x03)
(y
y y
05
2
2
04
04
06
x05)
(y
y y
04
04
06
02
-r ·cos( ))
y
y
y
2
2
)
2
03)
2
)
2
03)
2
)
2
05)
2
2
(y
(y
(y
123
145
145
(y
- y
- y
- y
123
03
04
05
- y
2
02)
(z
r3·cos(
3
)·
(x
r4·cos(
4)·
(x
r5·cos(
5)·
(x
- r2·sin(
2))
-L
x x
x03)
(y
x x
x03)
(y
x x
x05)
(y
x x
y
y
y
(z
(z
(z
-r ·sin( )) L
- r ·sin( )) L
- r ·sin( ))
05 06
2
05 06
2
2 2
161-
x06
r6·cos(
6)·
) (y161-
y06
r6·cos(
6)·
) (z161-
z06
- r6·sin(
6))
L6
x
2
2
2
2
123
(x06
x05)
(y06
y05)
(x06
x05)
(y06
y05)
2
2
2 2
(x161-
x01
r1·cos(
1))
(y161-
y01)
(z161- z01- r 1·sin(
1))
L1
2
2
2 2
(x161
x123)
(y161
y123)
(z161
z123)
a12
2
2
2 2
(x145
x123)
(y145
y123)
(z145
z123)
a34
2
2
2 2
(x145
x161)
(y145
y161)
(z145
z161)
a56
2
2
2 2
(x200
x123)
(y200
y123)
(z200
z123)
0.5
2
2
2 2
(x200
x145)
(y200
y145)
(z200
z145)
0.5
2
2
2 2
(x200
x161)
(y200
y161)
(z200
z161)
0.5
123
04
04
06
02
04
04
05
2
2
2
03
03
06
2
04
04
06
2
2
2
)
2
03)
2
)
2
03)
2
)
2
05)
por lo que q será un jacobiano de dimensiones 12x18. La matriz de masa M habrá
que completarla para introducir en ella las manivelas, ya que sus aceleraciones angulares
serán también variables del problema. Como su masa se puede considerar despreciable, la
matriz se completará con submatrices nulas hasta llegar a una matriz 18x18.
El vector Q será un vector cuyas primeras 12 componentes serán las tres
componentes de las fuerzas en los cuatro vértices del tetraedro, y las siguientes 6
componentes serán los momentos en las manivelas. En el programa realizado para la
resolución del problema, se pueden introducir fuerzas externas en los tres vértices de la
plataforma (en el vértice superior del tetraedro, puesto que es un punto ficticio no
perteneciente al sistema en sí, se considera que no se pueden introducir fuerzas externas), y
momentos en las manivelas.
El sistema se resuelve de manera sencilla, puesto que todas las incógnitas están en
el mismo vector.
- z
123
145
145
- z
- z
- z
03
04
05
3
4
5
3
4
5
2
2
2
L
2
3
2
4
2
5
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3.3.3. El problema dinámico inverso
El objetivo del problema dinámico inverso es encontrar el valor de la carga que
produce en el mecanismo un efecto dado. En segundo lugar, calcula las reacciones internas
que se producen en cada uno de sus puntos. Es el problema inverso al dinámico directo,
puesto que los datos de ahora son las incógnitas de antes y las incógnitas de ahora son los
datos iniciales del problema anterior.
El método empleado para resolverlo es el mismo que en el caso directo, basado en
la potencia virtual. Para resolver el problema, en primer lugar se deben determinar las
características del sistema, descritas en las ecuaciones de limitación, y a partir de ahí
calcular la posición, velocidad y aceleración que se desea que la carga incógnita genere en
el mecanismo. Para ello se introducen las condiciones de entrada para la posición,
velocidad angular y aceleración angular de la manivela y se resuelven los problemas de
posición, velocidad y aceleración.
Llegados a este punto, se plantea el conjunto de cargas que actúan sobre el sistema,
que pueden ser fuerzas y/o momentos. Se deben definir sus magnitudes, líneas de acción y
puntos de aplicación. Además, se deben definir las características de la carga que, unida al
conjunto que actúa inicialmente, induce en el sistema las aceleraciones anteriormente
definidas. Las características de esta carga deberán ser su tipo (fuerza o momento),
dirección de su línea de acción y punto y elemento donde se aplica.
Posteriormente se programa un algoritmo que resuelve en primer lugar la
cinemática completa del mecanismo y en segundo lugar calcula la magnitud de la carga
desconocida. En este caso, se genera un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas
son los multiplicadores de Lagrange y la carga que induce la citada aceleración. Tras
resolver el sistema, se resuelven las fuerzas internas que se producen en el mecanismo
utilizando los multiplicadores y las aceleraciones del mecanismo.
Para el caso del manipulador paralelo, se trabajará con el mismo sistema que para
resolver la dinámica directa, es decir:
M
q
T
q
0
q
Q
· =
q·
q
t
donde q = [x 123 ,y 123 ,z 123 , x 145 ,y 145 ,z 145 , x 161 ,y 161 ,z 161 , x 200 ,y 200 ,z 200 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 ] T .
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Como en el caso precedente, el vector Q será un vector cuyas primeras 12
componentes serán las tres componentes de las fuerzas en los cuatro vértices del tetraedro,
y las siguientes 6 componentes serán los momentos en las manivelas (M i ). Puesto que se
tienen 6 grados de libertad, y en la construcción del manipulador paralelo éstos serán
controlados a través de los motores, se supondrán nulas las fuerzas en la plataforma
superior (12 primeras componentes de Q), y las incógnitas serán los 6 pares en las
manivelas. Así pues, se tendrá un sistema con 18 ecuaciones y 18 incógnitas (6 momentos
en las manivelas y 12 multiplicadores de Lagrange).
Para resolver el sistema, hay que tener en cuenta que en la ecuación de la
cinemática se conocen todos los términos, por lo que no será necesaria. Realizando las
pertinentes operaciones algebraicas, el sistema a resolver será:
M ·q
+
T
q
0
= Q =
M i
·
T
q
0
I
·
6 i
M = M·
q
del cual se obtendrán los multiplicadores de Lagrange y los pares necesarios para
generar las aceleraciones deseadas.
3.3.4. El problema estático
La estática consiste en estudiar los sistemas sometidos a cargas externas tales que
su acción final sea nula, es decir, que se contrarresten entre ellas de manera que el sistema
permanezca inmóvil o con una cinemática igual a la que tendría si no actuase ninguna
carga sobre él. En estos casos se estudian todas las fuerzas que se crean en el sistema.
El problema estático, además, en el caso de que las cargas que actúan sobre el
sistema no se compensen entre sí, es capaz de encontrar el valor de la carga que las
contrarresta para equilibrar el mecanismo, y proceder después al estudio de las fuerzas que
se generan en el sistema.
En este problema, tal y como se hacía en los anteriores, en primer lugar se
determinan las características del mecanismo, representadas en las ecuaciones de
limitación, para después calcular la posición del mecanismo resolviendo el problema de
posición inicial.
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De este modo se conocerá la posición de todos los puntos del sistema. Además,
como se está planteando el problema estático, también se conocerán las velocidades y
aceleraciones de todos los puntos, que serán nulas.
Más tarde, se plantea el conjunto de cargas (fuerzas y momentos) que actúan sobre
el mecanismo. Para el caso en que este conjunto de cargas no equilibre el sistema, se debe
definir el tipo de carga que se quiere que estabilice el mecanismo, y el punto y el eslabón
en que se aplicará.
Así, se preparará un programa que calcule el valor de la carga equilibrante (si la
hay) y las fuerzas que se generan en el mecanismo. Dicho algoritmo se basa en el método
de la potencia virtual aplicado en cada uno de los puntos móviles del mecanismo. Se
genera así un conjunto de ecuaciones en el que las incógnitas son los multiplicadores de
Lagrange y el valor de la carga que estabiliza al sistema. Una vez resuelto el sistema, se
calculan todas las reacciones internas utilizando los multiplicadores de Lagrange.
Para el caso del manipulador paralelo, las cargas que lo equilibren serán los
momentos a aplicar en las manivelas. Se supondrá que las fuerzas y momentos que actúan
sobre el sistema, se pueden sustituir por una fuerza y un momento resultantes que actúan
sobre el centro de gravedad de la plataforma superior. Se podrá hacer una sencilla
simplificación de la ecuación principal, puesto que las velocidades son nulas:
M· q + qT· = Q qT· = Q
En esta ocasión, será un vector que contiene 27 ecuaciones de limitación ((2.3.1)
a (2.3.27)). Como variables se tomarán:
- las tres coordenadas de cada extremo libre de las seis manivelas (18 variables)
- la tres coordenadas de los tres vértices de la plataforma superior (9 variables)
- los seis ángulos que forman las manivelas con el plano horizontal, contado
desde dentro del triángulo que forman los ejes de los motores (6 variables)
Se tienen pues 33 variables, por lo que las dimensiones de q serán 27x33 (33x27
para la traspuesta q T ). El vector de multiplicadores de Lagrange será de dimensión
27x1, y Q será el vector de fuerzas externas de dimensión 33x1, que estará formado por:
- Las tres componentes de la fuerza exterior en el extremo libre de cada manivela
(18)
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- Las tres componentes de la fuerza exterior en cada vértice de la plataforma
superior (9)
- Los momentos equilibrantes que debe proporcionar cada motor (6)
Como simplificación se supone que sólo puede haber fuerzas exteriores aplicadas
en la plataforma superior, por lo que las 18 primeras componentes del vector Q serán
nulas. Además, la fuerza exterior aplicada en la plataforma se conocerá como una
resultante de fuerzas y momentos aplicada en el centro de gravedad de la misma, por lo
que el programa deberá reconvertir esta resultante en fuerzas aplicadas en los vértices.
El sistema está formado por 33 ecuaciones con 33 incógnitas, que son las 27
componentes del vector de multiplicadores de Lagrange, y los seis momentos equilibrantes
que deben proporcionar los motores. Como no se tienen todas las incógnitas en el mismo
vector se deben realizar ciertas manipulaciones algebraicas antes de proceder a la
resolución del sistema:
T
q
0
= Q =
F
M i
·
T
q
0
0
I
·
6 M =
F
i
0
donde F (9x1) es el vector de las fuerzas exteriores aplicadas en los vértices de la
plataforma superior, y M i (6x1) el vector de los momentos equilibrantes a realizar por los
motores.
3.4. Resultados
Una vez planteados los sistemas a resolver, se programan en Matlab los algoritmos
necesarios para su resolución.
3.4.1. Problema dinámico directo
Se ha programado un algoritmo que resuelve el problema para distintas posiciones,
velocidades y fuerzas y momentos externos aplicados al manipulador. Las posiciones y
velocidades se introducirán en la siguiente ventana:
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Figura 3.4.1.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinámico directo
Una vez resueltos los problemas de posición inicial y velocidad, se despliega la
siguiente ventana, en la que se podrán introducir las fuerzas y los momentos:
Figura 3.4.1.2: Ventana de fuerzas y momentos para el problema dinámico directo
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Pulsando el botón “Resolver dinámica”, se resolverá el problema dinámico directo.
Para el caso de los de partida de las figuras anteriores, se tiene los siguientes resultados:
aceleraciones angulares (rad/s 2 ) acleraciones del manipulador (m/s 2 )
1 3,0978 ax 123 -0,3193
2 5,9323 ay 123 0,2613
3 6,6483 az 123 0,5257
4 0,2212 ax 145 -0,5500
5 -0,4570 ay 145 -0,1382
6 7,0574 az 145 0,1355
ax 161 -0,7807
ay 161 0,2613
az 161 0,4638
3.4.2. Problema dinámico inverso
El algoritmo realizado permite resolver el problema para distintas posiciones,
velocidades y aceleraciones deseadas las cuales se deben introducir en las siguiente
ventana:
Figura 3.4.2.1: Ventana de datos de entrada para el problema dinámico inverso
Una vez resueltos los problemas de posición, velocidad y aceleración, se procede a
la resolución del problema dinámico inverso, en el que se pueden introducir las fuerzas que
se deseen en los vértices de la plataforma móvil, mediante la siguiente ventana:
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Figura 3.4.2.2: Ventana de fuerzas exteriores para el problema dinámico inverso
Resolviendo el sistema con los datos de las figuras anteriores, los resultados de
momentos necesarios y fuerzas en las bielas son los siguientes:
Momentos necesarios (N·m)
Reacciones en las bielas (N)
M 1 110,82 Fb 1 -1.450,2
M 2 91,35 Fb 2 -1.195,5
M 3 0,09 Fb 3 -1,2
M 4 31,51 Fb 4 -412,4
M 5 -133,37 Fb 5 1.745,4
M 6 -145,32 Fb 6 1.901,8
3.4.3. Problema estático
El algoritmo programado resuelve el problema estático para distintas posiciones, las
cuales se pueden introducir en la siguiente ventana:
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Figura 3.4.3.1: Ventana de datos de entrada para el problema estático
Antes de resolver la dinámica, se pueden introducir diferentes valores de la carga
aplicada en el centro de gravedad de la plataforma superior, mediante la siguiente ventana:
Figura 3.4.3.2: Ventana de fuerzas y momentos exteriores
en el centro de gravedad de la plataforma superior
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Resolviendo el problema estático con los datos introducidos en las figuras
anteriores los momentos necesarios:
M 1 -1,8372
M 2 -1,4534
M 3 -0,1033
M 4 1,7831
M 5 -1,1139
M 6 1,9099
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4. ESTUDIO DE LAS CONFIGURACIONES
ESTACIONARIAS
4.1. Introducción
Las configuraciones singulares estacionarias o de volquete son posiciones del
manipulador que tienen la particularidad de que cuando se llega a ellas el mecanismo sufre
un cambio en el número de grados de libertad que posee. Estas configuraciones
estacionarias aparecen tanto en mecanismos tridimensionales como en mecanismos planos.
Se considerará primero el caso de las posiciones singulares de un cuadrilátero
articulado
2
1
3
Figura 4.1.1: Cuadrilátero articulado
Las configuraciones estacionarias se darán cuando la manivela (1) y el eslabón
acoplador (2) estén alineados. Existen pues dos posiciones de volquete en el cuadrilátero
articulado, las cuales se muestran a continuación:
2 3
1
Figura 4.1.2: Cuadrilátero articulado en posición singular de superposición
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1
2
3
Figura 4.1.3: Cuadrilátero articulado en posición singular de prolongación
Estas posiciones son configuraciones de gran precisión de posición para el eslabón
seguidor (3). En ellas, pequeños errores en la posición de las manivelas de entrada apenas
influyen en la posición del seguidor, de ahí su calificativo de posiciones estacionarias.
En las posiciones de volquete, el par de entrada en la manivela será nulo e
independiente de las fuerzas o momentos que aplicados al eslabón de salida. Esto es debido
a que la reacción que aparece en la articulación de unión de la manivela y el eslabón
acoplador tiene la dirección de la manivela.
En los mecanismos planos, pueden existir configuraciones singulares de
incertidumbre de posición, que suelen resultar perjudiciales o negativas, en las que el
eslabón de salida puede realizar pequeños desplazamientos aunque el eslabón de entrada
permanezca inmóvil, de ahí la incertidumbre de posición. También, el eslabón de salida
puede tener una cierta velocidad, siendo nula la velocidad del eslabón de entrada. Un
ejemplo de este tipo de posiciones se puede dar en el cuadrilátero articulado si se introduce
el movimiento por el eslabón seguidor y se toma la manivela como eslabón de salida. En
este caso, si no se toma ningún tipo de precaución, el mecanismo puede quedar fuera de
control en esas configuraciones, al surgir un nuevo grado de libertad para el eslabón de
salida.
4.2. Configuraciones singulares estacionarias del
manipulador paralelo
El manipulador paralelo está formado por dos plataformas triangulares, una fija y
otra móvil, unidas por seis cadenas actuador-biela-manivela. Puesto que dichas cadenas
cinemáticas poseen posiciones de volquete, el manipulador paralelo también las tendrá.
Estas configuraciones se darán cuando la posición de alguna cadena sea tal que el eje del
actuador, la manivela y la biela se encuentren en el mismo plano.
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Analizando las posibles posiciones del eje del actuador, la manivela y la biela, se
observa que cada cadena tendrá dos posiciones de insensitividad: una cuando la manivela y
biela estén casi en prolongación y otra cuando estén casi superpuestas.
Hallándose una de las cadenas cinemáticas del manipulador paralelo en posición de
volquete, éste perderá un grado de libertad. Cuando esto sucede, a la posición alcanzada
por el manipulador se le denomina configuración estacionaria parcial, puesto que la
plataforma permanecerá fija si se introduce movimiento por el actuador cuya cadena
cinemática correspondiente se encuentre en configuración estacionaria. Así, se pueden
alcanzar infinidad de configuraciones estacionarias parciales, combinando las distintas
posiciones de volquete de las cadenas cinemáticas. Si se alcanzan posiciones de volquete
en las seis cadenas cinemáticas del manipulador, se habrá llegado a una configuración
estacionaria total, también llamada configuración estacionaria. En estas posiciones, la
plataforma móvil permanecerá fija aunque se introduzca movimiento por todos los
actuadores. Puesto que el manipulador paralelo tiene seis cadenas cinemáticas, y cada una
de ellas tiene cuatro posiciones de volquete, se tendrá un total de 2 6 = 64 configuraciones
estacionarias.
4.2.1. Cálculo de las configuraciones singulares estacionarias del
manipulador paralelo
Para el cálculo de las 64 configuraciones estacionarias o de insensitividad que
presenta el manipulador, se deben plantear las ecuaciones que cumplen dichas posiciones.
Se pueden distinguir dos tipos de ecuaciones: las que cumplen todas las posiciones del
manipulador, las cuales se cumplían en el cálculo cinemático y las propias de las
posiciones de volquete. Estas últimas ecuaciones son obtenidas de la condición de que el
eje del motor, la manivela y la biela están contenidos en un mismo plano.
Por tanto, las ecuaciones que debe cumplir el manipulador en las configuraciones
estacionarias son:
Ecuaciones de longitud constante de la biela:
(x 123 -x 12 ) 2 + (y 123 -y 12 ) 2 + (z 123 -z 12 ) 2 – l 2 2 =0
(x 123 -x 13 ) 2 + (y 123 -y 13 ) 2 + (z 123 -z 13 ) 2 – l 2 3 =0
(x 145 -x 14 ) 2 + (y 145 -y 14 ) 2 + (z 145 -z 14 ) 2 – l 2 4 =0
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(x 145 -x 15 ) 2 + (y 145 -y 15 ) 2 + (z 145 -z 15 ) 2 – l 2 5 =0
(x 161 -x 16 ) 2 + (y 161 -y 16 ) 2 + (z 161 -z 16 ) 2 – l 2 6 =0
(x 161 -x 11 ) 2 + (y 161 -y 11 ) 2 + (z 161 -z 11 ) 2 – l 2 1 =0
Ecuaciones de longitud constante de cada lado de la plataforma móvil:
(x 161 -x 123 ) 2 + (y 161 -y 123 ) 2 + (z 161 -z 123 ) 2 – a 2 12 =0
(x 145 -x 123 ) 2 + (y 145 -y 123 ) 2 + (z 145 -z 123 ) 2 – a 2 34 =0
(x 145 -x 161 ) 2 + (y 145 -y 161 ) 2 + (z 145 -z 161 ) 2 – a 2 56 =0
Ecuaciones de longitud constante de las manivelas:
(x 11 -x 01 ) 2 + (y 11 -y 01 ) 2 + (z 11 -z 01 ) 2 – r 2 1 =0
(x 12 -x 02 ) 2 + (y 12 -y 02 ) 2 + (z 12 -z 02 ) 2 – r 2 2 =0
(x 13 -x 03 ) 2 + (y 13 -y 03 ) 2 + (z 13 -z 03 ) 2 – r 2 3 =0
(x 14 -x 04 ) 2 + (y 14 -y 04 ) 2 + (z 14 -z 04 ) 2 – r 2 4 =0
(x 15 -x 05 ) 2 + (y 15 -y 05 ) 2 + (z 15 -z 05 ) 2 – r 2 5 =0
(x 16 -x 06 ) 2 + (y 16 -y 06 ) 2 + (z 16 -z 06 ) 2 – r 2 6 =0
Condición de perpendicularidad entre el eje del motor y la manivela:
(x 11 -x 01 )(x 02 -x 01 ) + (y 11 -y 01 )(y 02 -y 01 ) + (z 11 -z 01 )(z 02 -z 01 ) = 0
(x 12 -x 02 )(x 02 -x 01 ) + (y 12 -y 02 )(y 02 -y 01 ) + (z 12 -z 02 )(z 02 -z 01 ) = 0
(x 13 -x 03 )(x 04 -x 03 ) + (y 13 -y 03 )(y 04 -y 03 ) + (z 13 -z 03 )(z 04 -z 03 ) = 0
(x 14 -x 04 )(x 04 -x 03 ) + (y 14 -y 04 )(y 04 -y 03 ) + (z 14 -z 04 )(z 04 -z 03 ) = 0
(x 15 -x 05 )(x 05 -x 06 ) + (y 15 -y 05 )(y 05 -y 06 ) + (z 15 -z 05 )(z 05 -z 06 ) = 0
(x 16 -x 06 )(x 05 -x 06 ) + (y 16 -y 06 )(y 05 -y 06 ) + (z 16 -z 06 )(z 05 -z 06 ) = 0
Para la condición de que el eje del motor, la biela y la manivela estén en el mismo
plano, se utilizará el producto mixto de tres vectores, que es nulo si los tres vectores se
hallan en un mismo plano:
(x 02 -x 01 )(y 11 -y 01 )(z 161 -z 11 )-(x 02 -x 01 )(z 11 -z 01 )(y 161 -y 11 )+(y 02 -y 01 )(z 11 -z 01 )(x 161 -x 11 )-
(y 02 - 01 )(x 11 -x 01 )(z 161 -z 11 )+(z 02 -z 01 )(x 11 -x 01 )(y 161 -y 11 )-(z 02 -z 01 )(y 11 -y 01 )(x 161 -x 11 )=0
(x 01 -x 02 )(y 12 -y 02 )(z 123 -z 12 )-(x 01 -x 02 )(z 12 -z 02 )(y 123 -y 12 )+(y 01 -y 02 )(z 12 -z 02 )(x 123 -x 12 )-
(y 01 -y 02 )(x 12 -x 02 )(z 123 -z 12 )+(z 01 -z 02 )(x 12 -x 02 )(y 123 -y 12 )-(z 01 -z 02 )(y 12 -y 02 )(x 123 -x 12 )=0
(x 04 -x 03 )(y 13 -y 03 )(z 123 -z 13 )-(x 04 -x 03 )(z 13 -z 03 )(y 123 -y 13 )+(x 04 -x 03 )(z 13 -z 03 )(x 123 -x 13 )-
(y 04 -y 03 )(x 13 -x 03 )(z 123 -z 13 )+(z 04 -z 03 )(x 13 -x 03 )(y 123 -y 13 )-(z 04 -z 03 )(y 13 -y 03 )(x 123 -x 13 )=0
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(x 03 -x 04 )(y 14 -y 04 )(z 145 -z 14 )-(x 03 -x 04 )(z 14 -z 04 )(y 145 -y 14 )+(y 03 -y 04 )(z 14 -z 04 )(x 145 -x 14 )-
(y 03 -y 04 )(x 14 -x 04 )(z 145 -z 14 )+(z 03 -z 04 )(x 14 -x 04 )(y 145 -y 14 )-(z 03 -z 04 )(y 14 -y 04 )(x 145 -x 14 )=0
(x 06 -x 05 )(y 15 -y 05 )(z 145 -z 15 )-(x 06 -x 05 )(z 15 -z 05 )(y 145 -y 15 )+(y 06 -y 05 )(z 15 -z02)(x 145 -x 15 )-
(y 06 -y 05 )(x 15 -x 05 )(z 145 -z 15 )-(z 06 -z 05 )(y 15 -y 05 )(x 145 -x 15 )+(z 06 -z 05 )(x 15 -x 05 )(y 145 -y 15 )=0
(x 05 -x 06 )(y 16 -y 06 )(z 161 -z 16 )-(x 05 -x 06 )(z 16 -z 06 )(y 161 -y 16 )+(y 05 -y 06 )(z 16 -z 06 )(x 161 -x 16 )-
(y 05 -y 06 )(x 16 -x 06 )(z 161 -z 16 )+(z 05 -z 06 )(x 16 -x 06 )(y 161 -y 16 )-(z 05 -z 06 )(y 16 -y 06 )(x 161 -x 16 )=0
Tal y como se ha hecho hasta ahora, se agruparán todas las ecuaciones en el vector
, de modo que se tendrá:
(q(t),t) = 0
donde el vector q, estará formado por 27 variables, que serán:
q = {x 11 , y 11 , z 11 , x 12 , y 12 , z 12 , x 13 , y 13 , z 13 , x 14 , y 14 , z 14 , x 15 , y 15 , z 15 , x 16 , y 16 , z 16 , x 123 ,
y 123 , z 123 , x 145, y 145 , z 145 , x 161 , y 161 , z 161 } T
Dado que las ecuaciones que constituyen este sistema no son lineales, también aquí
habrá que utilizar el método de Newton-Raphson.
Se debe tener en cuenta que el sistema, puesto que existen 64 posiciones de
insensitividad, tiene 64 soluciones. Entonces, la solución que dará el método de Newton-
Raphson será la más cercana a la iteración inicial. Así, se realizará un algoritmo que repita
el método 64 veces tomando 64 iteraciones iniciales distintas, cada una de ellas cercana a
una posición singular. La elección de estas 64 posiciones iniciales es sencilla ya que se
sabe que cada cadena cinemática tiene una posición de volquete cuando la manivela y la
biela están casi en prolongación, y otra cuando prácticamente se superponen.
4.2.2. Resultados
En la siguiente tabla se representan las coordenadas de los tres vértices de la
plataforma superior en las 64 configuraciones estacionarias:
Tabla 4.2.2.1: Posición de los vértices de la plataforma móvil
en las configuraciones estacionarias
x 123 y 123 z 123 x 145 y 145 z 145 x 161 y 161 z 161
1 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1443 -0,2500 0,4428
2 -0,2083 0,3607 0,4054 0,1358 0,0000 0,4444 -0,3493 -0,1109 0,4932
3 -0,2083 0,3607 0,4054 0,2707 0,2471 0,4932 -0,0679 -0,1176 0,4444
4 -0,2750 0,4763 0,3219 0,1395 0,2584 0,4971 -0,2935 0,0084 0,4971
5 -0,0679 0,1176 0,4444 0,2707 -0,2471 0,4932 -0,2083 -0,3607 0,4054
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6 -0,1092 0,1892 0,4491 0,1067 -0,2596 0,4935 -0,3911 -0,2236 0,4632
7 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2311 0,0000 0,6585 -0,1443 -0,2500 0,4428
8 -0,1925 0,3335 0,4179 0,0940 0,0000 0,6561 -0,3583 -0,1328 0,4893
9 -0,3493 0,1109 0,4932 0,1358 0,0000 0,4444 -0,2083 -0,3607 0,4054
10 -0,3993 0,2500 0,4524 0,0325 0,0000 0,4188 -0,3993 -0,2500 0,4524
11 -0,3911 0,2236 0,4632 0,1067 0,2596 0,4935 -0,1092 -0,1892 0,4491
12 -0,4308 0,3963 0,3631 0,0361 0,2602 0,4791 -0,3340 -0,0755 0,4974
13 -0,2935 -0,0084 0,4971 0,1395 -0,2584 0,4971 -0,2750 -0,4763 0,3219
14 -0,3340 0,0755 0,4974 0,0361 -0,2602 0,4791 -0,4308 -0,3963 0,3631
15 -0,3583 0,1328 0,4893 0,0940 0,0000 0,6561 -0,1925 -0,3335 0,4179
16 -0,3993 0,2500 0,4524 -0,0060 0,0000 0,6335 -0,3993 -0,2500 0,4524
17 0,0786 0,3579 0,4932 0,4165 0,0000 0,4054 -0,0679 -0,1176 0,4444
18 0,0019 0,4505 0,4632 0,2184 0,0000 0,4491 -0,2782 0,0374 0,4935
19 -0,0169 0,4708 0,4524 0,4161 0,2208 0,4524 -0,0162 -0,0281 0,4188
20 -0,1278 0,5712 0,3631 0,2324 0,2515 0,4974 -0,2434 0,0988 0,4791
21 0,1715 0,2222 0,4935 0,3892 -0,2269 0,4632 -0,1092 -0,1892 0,4491
22 0,1604 0,2400 0,4960 0,1276 -0,2589 0,4960 -0,2881 0,0189 0,4960
23 0,0728 0,3655 0,4918 0,3891 0,0000 0,6198 -0,0651 -0,1127 0,4435
24 0,0195 0,4307 0,4721 0,1891 0,0000 0,6612 -0,2812 0,0318 0,4943
25 -0,1155 0,2001 0,6585 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1443 -0,2500 0,4428
26 -0,1945 0,3369 0,6198 0,1301 0,0000 0,4435 -0,3530 -0,1197 0,4918
27 -0,1945 0,3369 0,6198 0,2801 0,2458 0,4918 -0,0651 -0,1127 0,4435
28 -0,2935 0,5083 0,4872 0,1395 0,2584 0,4971 -0,2935 0,0084 0,4971
29 -0,0470 0,0814 0,6561 0,2942 -0,2439 0,4893 -0,1925 -0,3335 0,4179
30 -0,0945 0,1637 0,6612 0,1130 -0,2594 0,4943 -0,3827 -0,1984 0,4721
31 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1194 -0,2069 0,4482
32 -0,2139 0,3706 0,6026 0,1170 0,0000 0,6587 -0,3447 -0,0999 0,4948
33 -0,0679 0,1176 0,4444 0,4165 0,0000 0,4054 0,0786 -0,3579 0,4932
34 -0,1443 0,2500 0,4428 0,2887 0,0000 0,4428 -0,1155 -0,2001 0,6585
35 -0,1092 0,1892 0,4491 0,3892 0,2269 0,4632 0,1715 -0,2222 0,4935
36 -0,1925 0,3335 0,4179 0,2942 0,2439 0,4893 -0,0470 -0,0814 0,6561
37 -0,0162 0,0281 0,4188 0,4161 -0,2208 0,4524 -0,0169 -0,4708 0,4524
38 -0,0651 0,1127 0,4435 0,2801 -0,2458 0,4918 -0,1945 -0,3369 0,6198
39 -0,0651 0,1127 0,4435 0,3891 0,0000 0,6198 0,0728 -0,3655 0,4918
40 -0,1194 0,2069 0,4482 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1443 -0,2500 0,6498
41 -0,2782 -0,0374 0,4935 0,2184 0,0000 0,4491 0,0019 -0,4505 0,4632
42 -0,3530 0,1197 0,4918 0,1301 0,0000 0,4435 -0,1945 -0,3369 0,6198
43 -0,2881 -0,0189 0,4960 0,1276 0,2589 0,4960 0,1604 -0,2400 0,4960
44 -0,3827 0,1984 0,4721 0,1130 0,2594 0,4943 -0,0945 -0,1637 0,6612
45 -0,2434 -0,0988 0,4791 0,2324 -0,2515 0,4974 -0,1278 -0,5712 0,3631
46 -0,2935 -0,0084 0,4971 0,1395 -0,2584 0,4971 -0,2935 -0,5083 0,4872
47 -0,2812 -0,0318 0,4943 0,1891 0,0000 0,6612 0,0195 -0,4307 0,4721
48 -0,3447 0,0999 0,4948 0,1170 0,0000 0,6587 -0,2139 -0,3706 0,6026
49 0,1540 0,2500 0,4971 0,5500 0,0000 0,3219 0,1540 -0,2500 0,4971
50 0,0641 0,3767 0,4893 0,3850 0,0000 0,4179 -0,0470 -0,0814 0,6561
51 0,1016 0,3270 0,4974 0,5586 0,1749 0,3631 0,2073 -0,1614 0,4791
52 -0,0169 0,4708 0,4524 0,4161 0,2208 0,4524 0,0030 0,0052 0,6335
53 0,2073 0,1614 0,4791 0,5586 -0,1749 0,3631 0,1016 -0,3270 0,4974
54 0,1682 0,2276 0,4943 0,3632 -0,2322 0,4721 -0,0945 -0,1637 0,6612
55 0,1540 0,2500 0,4971 0,5869 0,0000 0,4872 0,1540 -0,2500 0,4971
56 0,0858 0,3484 0,4948 0,4279 0,0000 0,6026 -0,0585 -0,1013 0,6587
57 -0,0470 0,0814 0,6561 0,3850 0,0000 0,4179 0,0641 -0,3767 0,4893
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58 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2389 0,0000 0,4482 -0,1443 -0,2500 0,6498
59 -0,0945 0,1637 0,6612 0,3632 0,2322 0,4721 0,1682 -0,2276 0,4943
60 -0,2139 0,3706 0,6026 0,2588 0,2485 0,4948 -0,0585 -0,1013 0,6587
61 0,0030 -0,0052 0,6335 0,4161 -0,2208 0,4524 -0,0169 -0,4708 0,4524
62 -0,0585 0,1013 0,6587 0,2588 -0,2485 0,4948 -0,2139 -0,3706 0,6026
63 -0,0585 0,1013 0,6587 0,4279 0,0000 0,6026 0,0858 -0,3484 0,4948
64 -0,1443 0,2500 0,6498 0,2887 0,0000 0,6498 -0,1443 -0,2500 0,6498
Los ángulos de las manivelas en dichas posiciones de insensitividad serán los
mostrados en la siguiente tabla:
Tabla 4.2.2.2: Ángulos en las manivelas en las configuraciones estacionarias
1 2 3 4 5 6
1 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973
2 4,8347 4,5166 4,5166 4,2513 4,2513 0,9307
3 4,2513 4,5166 4,5166 4,8347 0,9307 4,2513
4 4,7222 4,6700 4,6700 4,7222 0,8432 0,8432
5 4,5166 4,2513 4,2513 0,9307 4,8347 4,5166
6 4,9300 4,3322 4,3322 0,8203 4,6911 1,0104
7 4,3973 4,3973 4,3973 1,3137 1,3137 4,3973
8 4,8537 4,4862 4,4862 1,2178 1,2178 0,9461
9 4,5166 4,8347 0,9307 4,2513 4,2513 4,5166
10 4,9521 4,9521 1,0298 4,1356 4,1356 1,0298
11 4,3322 4,9300 1,0104 4,6911 0,8203 4,3322
12 4,8032 5,0854 1,1538 4,6182 0,7682 0,9055
13 4,6700 4,7222 0,8432 0,8432 4,7222 4,6700
14 5,0854 4,8032 0,9055 0,7682 4,6182 1,1538
15 4,4862 4,8537 0,9461 1,2178 1,2178 4,4862
16 4,9521 4,9521 1,0298 1,1394 1,1394 1,0298
17 4,2513 0,9307 4,8347 4,5166 4,5166 4,2513
18 4,6911 1,0104 4,9300 4,3322 4,3322 0,8203
19 4,1356 1,0298 4,9521 4,9521 1,0298 4,1356
20 4,6182 1,1538 5,0854 4,8032 0,9055 0,7682
21 4,3322 0,8203 4,6911 1,0104 4,9300 4,3322
22 4,7111 0,8350 4,7111 0,8350 4,7111 0,8350
23 4,2454 0,9369 4,8424 1,4201 1,4201 4,2454
24 4,6973 0,9924 4,9091 1,2852 1,2852 0,8248
25 4,3973 1,3137 1,3137 4,3973 4,3973 4,3973
26 4,8424 1,4201 1,4201 4,2454 4,2454 0,9369
27 4,2454 1,4201 1,4201 4,8424 0,9369 4,2454
28 4,7222 1,5806 1,5806 4,7222 0,8432 0,8432
29 4,4862 1,2178 1,2178 0,9461 4,8537 4,4862
30 4,9091 1,2852 1,2852 0,8248 4,6973 0,9924
31 4,3514 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 4,3514
32 4,8250 1,4474 1,4474 1,2347 1,2347 0,9229
33 0,9307 4,2513 4,2513 4,5166 4,5166 4,8347
34 1,3137 4,3973 4,3973 4,3973 4,3973 1,3137
35 0,8203 4,3322 4,3322 4,9300 1,0104 4,6911
36 1,2178 4,4862 4,4862 4,8537 0,9461 1,2178
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37 1,0298 4,1356 4,1356 1,0298 4,9521 4,9521
38 1,4201 4,2454 4,2454 0,9369 4,8424 1,4201
39 0,9369 4,2454 4,2454 1,4201 1,4201 4,8424
40 1,3522 4,3514 4,3514 1,3522 1,3522 1,3522
41 1,0104 4,6911 0,8203 4,3322 4,3322 4,9300
42 1,4201 4,8424 0,9369 4,2454 4,2454 1,4201
43 0,8350 4,7111 0,8350 4,7111 0,8350 4,7111
44 1,2852 4,9091 0,9924 4,6973 0,8248 1,2852
45 1,1538 4,6182 0,7682 0,9055 4,8032 5,0854
46 1,5806 4,7222 0,8432 0,8432 4,7222 1,5806
47 0,9924 4,6973 0,8248 1,2852 1,2852 4,9091
48 1,4474 4,8250 0,9229 1,2347 1,2347 1,4474
49 0,8432 0,8432 4,7222 4,6700 4,6700 4,7222
50 1,2178 0,9461 4,8537 4,4862 4,4862 1,2178
51 0,7682 0,9055 4,8032 5,0854 1,1538 4,6182
52 1,1394 1,0298 4,9521 4,9521 1,0298 1,1394
53 0,9055 0,7682 4,6182 1,1538 5,0854 4,8032
54 1,2852 0,8248 4,6973 0,9924 4,9091 1,2852
55 0,8432 0,8432 4,7222 1,5806 1,5806 4,7222
56 1,2347 0,9229 4,8250 1,4474 1,4474 1,2347
57 0,9461 1,2178 1,2178 4,4862 4,4862 4,8537
58 1,3522 1,3522 1,3522 4,3514 4,3514 1,3522
59 0,8248 1,2852 1,2852 4,9091 0,9924 4,6973
60 1,2347 1,4474 1,4474 4,8250 0,9229 1,2347
61 1,0298 1,1394 1,1394 1,0298 4,9521 4,9521
62 1,4474 1,2347 1,2347 0,9229 4,8250 1,4474
63 0,9229 1,2347 1,2347 1,4474 1,4474 4,8250
64 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522 1,3522
4.2.3. Utilidad de las configuraciones singulares estacionarias
Las configuraciones estacionarias permiten definir la movilidad del manipulador,
ya que constituyen unas posiciones extremas. La principal característica que poseen las
posiciones de punto muerto es que permiten obtener una gran precisión en el
posicionamiento. Al estar en una posición de volquete, aplicándosele pequeñas
perturbaciones, la plataforma móvil no se desplaza, y por tanto su velocidad es nula. De ahí
su otra denominación, configuraciones estacionarias. En estas posiciones, también el par es
igual a cero.
Otra utilidad que presentan las posiciones de volquete es que permiten conocer el
ángulo máximo y mínimo que puede llegar a formar cada biela con la plataforma fija, ya
que las posiciones estacionarias son posiciones extremas. Este dato será necesario para
poder diseñar correctamente cada unión biela-manivela. El ángulo mínimo, será interesante
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para las posiciones en las que la manivela se encuentre por debajo del eje del motor, ya que
en estas posiciones, la biela ocupará un espacio por el que pasa el eje del motor.
4.2.4. Angulos máximos y mínimos en las cadenas bielamanivela
4.2.4.1. Introducción
Una vez que se hayan calculado todas las configuraciones estacionarias, se deben
conocer los ángulos máximos y mínimos que forman las bielas con la plataforma fija. Para
ello, se realizará un pequeño algoritmo que calcule dichos ángulos en las 64 posiciones de
insensitividad, y que almacene los de mayor y menor valor.
El cálculo se realizará operando sólo con una de las cadenas cinemáticas bielamanivela,
ya que por simetría todas alcanzarán ángulos mínimos y máximos del mismo
valor.
4.2.4.2. Resultados
Llamando 1 al ángulo que forma la biela con la plataforma fija, se tienen los
siguientes resultados:
Angulo mínimo:
4,6700
4,7222
1 (rad) 0,7796 3 0,8432
1 (grados) 44,67 4 0,8432
4,7222
4,6700
Angulo máximo:
4,7222
1,5806
1 (rad) 1,4728 3 1,5806
1 (grados) 84,39 4 4,7222
0,8432
0,8432
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A la derecha, se representan los ángulos de cada plataforma en las correspondientes
posiciones de insensitividad, que se refieren a las posiciones 49 y 11 respectivamente de la
lista anterior.
4.3. Otros cálculos necesarios para el diseño
Antes de empezar con el diseño del manipulador, se debe pensar en las
especificaciones que debe cumplir. Se desea que el manipulador pueda pasar de una
posición de insensitividad a otra en un tiempo determinado, por lo que se deben estudiar
las reacciones que se producirán y los pares necesarios para llevar a cabo dicho recorrido.
El tiempo en el que se desea que se realice el cambio de posición será t = 0.2 seg.
Se debe programar pues un algoritmo que realice dichos cálculos. En él, la
velocidad con que pasa de una posición a otra se considerará constante para simplificar el
cálculo. Así, se resolverá el problema dinámico en varias posiciones intermedias entre la
posición inicial y final, almacenando los máximos valores de par que debe proporcionar el
motor, y los máximos valores de fuerzas en las bielas. En el caso de las bielas, se tomarán
dos valores, el máximo valor positivo, es decir, a tracción, y el máximo negativo, que viene
a ser la máxima compresión.
El algoritmo deberá pasar de cada posición a las 63 restantes, para cubrir todos los
recorridos posibles. Sin embargo, esto no será necesario puesto que las fuerzas generadas y
los pares necesarios durante una trayectoria, serán los mismos en un sentido y en el otro,
con lo que el número de recorridos necesarios se reduce a la mitad.
Los resultados obtenidos son los siguientes:
Momento máximo que debe dar el motor:
M = 1983 N·m
Tracción máxima en las bielas:
F = 26153 N
Compresión máxima en las bielas:
F = -25338 N
Los resultados obtenidos no son satisfactorios, ya que el par máximo que debe
suministrar el motor es excesivamente alto, así como las fuerzas a tracción y compresión
que deben soportar las bielas. Como posibles soluciones, se piensa en reducir las
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dimensiones de la manivela para reducir el par, y también se considera reducir la velocidad
de giro.
Tomada la decisión, se acorta la manivela que ahora será de 5cm, y tras calcular las
nuevas posiciones singulares, las cuales se incluyen en el Anexo I, se vuelve a realizar el
presente estudio para hallar el nuevo par máximo, obteniendo los siguientes resultados:
Momento máximo que debe dar el motor:
M = 299.6 N·m
Tracción máxima en las bielas:
F = 8717.4 N
Compresión máxima en las bielas:
F = -7924.9 N
Se observa una notable reducción, tanto del par máximo como de la tracción y la
compresión que debe soportar la biela. Aun así, se considera demasiado alto el par que
debe proporcionar el motor, por lo que se decide reducir la velocidad del motor. Ahora, se
deberá pasar de una posición de insensitividad otra en 0.9 segundos. Se realiza el nuevo
cálculo, cuyos resultados son los siguientes:
Momento máximo que debe dar el motor:
M = 14.6 N·m
Tracción máxima en las bielas:
F = 428.3 N
Compresión máxima en las bielas:
F = -389.1 N
Estos nuevos sí se considerarán satisfactorios, puesto que el par máximo que deben
suministrar los motores no es excesivamente alto.
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5. ANALISIS DE SENSIBILIDAD
5.1. Introducción
El análisis de sensibilidad, determina la variación de la respuesta del mecanismo en
relación con la variación de ciertos parámetros de diseño. En el presente estudio, se
considerarán las longitudes de las bielas como parámetros de diseño.
El análisis se realiza derivando bien sean las posiciones de los puntos de referencia
del mecanismo, sus velocidades, sus aceleraciones o las fuerzas que actúan sobre el
mecanismo, con respecto de las variables de diseño, según se realice sensibilidad
cinemática o dinámica.
Este estudio se suele realizar como primer paso para la optimización de
mecanismos. En este caso, se derivará una función objetivo definida por el diseñador con
respecto a los parámetros de diseño.
5.2. Sensibilidad de posición
La sensibilidad de posición establece la variación de la posición de las coordenadas
consideradas en función de la variación de los parámetros de diseño. El cálculo se realiza
derivando las ecuaciones de limitación con respeto a las variables de diseño, que son las
longitudes de las bielas, teniendo previamente resuelto el problema de posición. Se
obtiene:
q·q b + b = 0
donde q es la matriz jacobiana del sistema y b la matriz de derivadas de las
ecuaciones de restricción del sistema respecto a los parámetros de diseño, mostrada a
continuación:
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b
0
0
0
0
0
2·L
0
0
0
1
2·L
0
0
0
0
0
0
0
0
2
0
2·L
0
0
0
0
0
0
0
3
0
0
2·L
0
0
0
0
0
0
4
0
0
0
2·L
0
0
0
0
0
5
0
0
0
2·L
Por su parte, q b representa la sensibilidad de posición respecto de los parámetros de
diseño. Puesto que q y b son conocidos, se resolverá el sistema para q b , que tendrá la
forma:
q
b
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
1
123
1
123
1
145
1
145
1
145
1
161
1
161
1
161
1
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
2
123
2
123
2
145
2
145
2
145
2
161
2
161
2
161
2
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
3
123
3
123
3
145
3
145
3
145
3
161
3
161
3
161
3
Si se realiza el producto de esta matriz con un vector que contenga los
desplazamientos de cada biela, se obtendrá el vector de las variaciones de las coordenadas
naturales. Sin embargo, para ello es necesario conocer dichos desplazamientos. Para
conocerlos, se deberá resolver el problema dinámico. Del problema dinámico resuelto
anteriormente, se obtienen los valores de los 6 primeros multiplicadores de Lagrange,
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
4
123
4
123
4
145
4
145
4
145
4
161
4
161
4
161
4
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
5
123
5
123
5
145
5
145
5
145
5
161
5
161
5
161
5
x
0
0
0
0
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
6
123
6
123
6
145
6
145
6
145
6
161
6
161
6
161
6
6
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puesto que son éstos los que hacen referencia a las restricciones de longitud constante de
las bielas. El valor de cada multiplicador por dos veces la longitud de la biela respectiva,
representa la fuerza de tracción a la que está sometida esa biela. Con esta fuerza y
conociendo la sección de la biela, se pueden obtener los desplazamientos en las bielas. Así,
ya se puede conocer la sensibilidad de posición de la plataforma móvil.
Se muestran a continuación los resultados numéricos para la variación de la
posición de la plataforma superior, estando el manipulador detenido en la configuración
estacionaria de máxima altura.
-7
q = q b·L = [-1.129,-1.129,-0.006,-1.129,-1.129,0.133,-1.129,-1.129,-0.386]
T·10
Se observa que los resultados son del orden de 10 -7 , es decir, una diezmilésima de
milímetro. Sumando estas variaciones a las coordenadas, se conoce la posición real del
mecanismo, con una precisión más que aceptable.
Realizando el mismo cálculo para el manipulador detenido en las distintas
configuraciones estacionarias, se observa que la sensibilidad de posición de la plataforma
móvil depende de las fuerzas aplicadas en la plataforma superior y de la posición de la
misma dentro del espacio de trabajo. Se deduce que la aplicación de las mismas fuerzas,
produce distintas variaciones en la posición de la plataforma superior para distintas
configuraciones estacionarias, y asimismo, cada configuración estacionaria tendrá mayor
sensibilidad a la aplicación de fuerzas en unas determinadas direcciones y puntos de
aplicación.
5.3. Sensibilidad de velocidad
Paralelamente a como sucedía con la sensibilidad de posición, la sensibilidad de las
velocidades establece la variación de las mismas en función de la variación de los
parámetros de diseño. Se calcula derivando respecto del tiempo la ecuación que permitía
conocer la sensibilidad de posición.
· q
q b
q·qb
b
0
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donde
q y b son las derivadas respecto del tiempo de las matrices q y b
antes vistas, y q b es la sensibilidad de las velocidades respecto de los parámetros de
diseño, que será de la forma:
q
b
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
1
123
1
123
1
145
1
145
1
145
1
161
1
161
1
161
1
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
2
123
2
123
2
145
2
145
2
145
2
161
2
161
2
161
2
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
3
123
3
123
3
145
3
145
3
145
3
161
3
161
3
161
3
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
4
123
4
123
4
145
4
145
4
145
4
161
4
161
4
161
4
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
5
123
5
123
5
145
5
145
5
145
5
161
5
161
5
161
5
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
6
123
6
123
6
145
6
145
6
145
6
161
6
161
6
161
6
Para la resolución del sistema, nótese que
b será nula. Como en el caso anterior,
multiplicando esta matriz por las variaciones de las longitudes de las bielas, se obtiene el
vector de la variación de las velocidades.
Se resuelve este problema para una posición cualquiera y con velocidades angulares
de 1 rad/s en todas las manivelas, con el fin de ver cual es orden de magnitud de las
variaciones en las velocidades de las plataformas. Se muestran a continuación los ángulos
en las manivelas y las variaciones en la velocidad:
= [0.314, 0.314, 0.314, 1.256, 1.256, 1.256]
q = [-1.732, 2.991, -3.201, -4.173, 4.766, -0.192, -2.788, 3.935, -2.052]·10 -8
La variación de la velocidad es del orden de 10 -8 , para las coordenadas de mayor
variación. No obstante, se considera necesario realizar el mismo cálculo para velocidades
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mayores. Así, se repite el cálculo para velocidades angulares 10 veces mayores, es decir,
de 10 rad/s, estando el manipulador paralelo en la misma posición, obteniéndose:
q = [-2.553, 1.304, -2.726, -5.354, 2.558, -0.501, -3.596, 1.766, -3.567]·10 -5
El orden de magnitud de la variación de velocidad ha aumentado
considerablemente, es alrededor de 1.000 veces mayor. Nótese que la coordenada de
mayor valor absoluto para una velocidad angular de 10 rad/s en las manivelas, no coincide
con la de mayor valor absoluto para 10 rad/s. Se deduce pues, que ante un aumento de
todas las velocidades angulares de las manivelas en la misma proporción, las variaciones
en las posiciones de las plataformas no han seguido una misma proporcionalidad.
Para las velocidades que se pretenden aplicar al manipulador paralelo yendo de una
configuración estacionaria a otra, se tendrán velocidades menores de 5 rad/s, por lo que la
sensibilidad de velocidad será del orden de 10 -6 , con lo que se tendrá una precisión de
milésimas de mm/s en las velocidades de los vértices de la plataforma, precisión que se
puede considerar aceptable.
5.4. Sensibilidad de aceleración
La sensibilidad de las aceleraciones determina las aceleraciones en función de las
variaciones de las longitudes de las bielas. El cálculo se realiza derivando las ecuaciones
de sensibilidad de velocidad con respecto del tiempo, obteniéndose:
·
q qb
2·
q·q
b
q·qb
b
donde
q y b son derivadas respecto del tiempo de matrices anteriormente
citadas, y q b es la sensibilidad de las aceleraciones con respecto de los parámetros de
diseño, con la forma:
0
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q
b
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
1
123
1
123
1
145
1
145
1
145
1
161
1
161
1
161
1
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
2
123
2
123
2
145
2
145
2
145
2
161
2
161
2
161
2
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
3
123
3
123
3
145
3
145
3
145
3
161
3
161
3
161
3
Resolviendo el sistema se obtienen los valores de esta matriz, la cual multiplicada
por la variación en las longitudes de las bielas, permite conocer las variaciones en las
aceleraciones.
Para las condiciones en que se pretende trabajar, las aceleraciones se han
considerado nulas, hecho que aunque no deja de ser una idealización, simplifica
significativamente los cálculos permitiendo obtener resultados cercanos a los reales. Aun
así, estas aceleraciones nulas no llevan a anular los términos de la matriz q
b , con lo que se
tendrán variaciones en la aceleraciones. Para la misma posición que se ha usado en la
sensibilidad de posición, con velocidades en las manivelas de 1 rad/s y aceleraciones nulas,
se tiene:
q
= [-0.249, 0.403, -1.864, -2.158, -0.303, 0.115, -2.253, 0.823, -1.675]·10 -8
El orden de magnitud de las variaciones de la aceleración es de 10 -8 , resultado que
indica una escasa pérdida de precisión. Aumentando a 10 rad/s la velocidad se tienen los
siguientes resultados:
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
4
123
4
123
4
145
4
145
4
145
4
161
4
161
4
161
4
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
123
5
123
5
123
5
145
5
145
5
145
5
161
5
161
5
161
5
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
L
x
L
y
L
z
q
= [-4.750, -0.917, -2.089, -5.973, -0.163, 0.519, -5.088, -0.688, -3.316]·10 -4
L
123
6
123
6
123
6
145
6
145
6
145
6
161
6
161
6
161
6
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Se observa que el orden de magnitud de las variaciones de la aceleración se ha
multiplicado por 10.000, lo cual supone las variaciones en la aceleración aumentan en
mayor medida que las variaciones en la aceleración, para una misma posición del
manipulador y partiendo de una aceleración nula. También para este caso, se aprecia que
no todas las variaciones han aumentado proporcionalmente.
Para las condiciones que se pretenden aplicar al manipulador, se tendrá una
velocidad menor de 5 rad/s. Realizando el mismo cálculo para estas velocidades, se tienen
unas variaciones del orden de 10 -5 , que será una desviación del valor real de centésimas de
mm/s 2 .
Por último, se repite el cálculo para la misma situación pero con una aceleración
angular en las manivelas de 1 rad/s 2 , y se obtienen resultados del mismo orden de magnitud
que para el caso en que las aceleraciones angulares de las manivelas eran nulas.
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6. DISEÑO DEL MANIPULADOR PARALELO
6.1. Introducción
Hasta ahora, se han hecho diferentes estudios para poder conocer el
comportamiento del manipulador paralelo que se desea construir. En esos estudios, se han
obtenido distintos parámetros que serán necesarios a la hora del diseño. En adelante, se
estudiará cómo realizar el diseño ajustándose a esos parámetros.
Para realizar el diseño de cualquier mecanismo, se deben tener en cuenta
numerosos factores, además de los parámetros de diseño. No sólo se debe considerar la
forma final del mecanismo, sino también el modo en que se construirá cada pieza, el
material de la misma y si realmente será posible el ensamblaje de esa pieza con el resto.
6.2. Motores
En el manipulador son necesarios seis motores fijados firmemente a la plataforma
fija. Dichos motores deben ser eléctricos y asíncronos. El modelo del que se dispone es un
AC G0170-4/01-3 de la casa Eurotherm. Puede proporcionar un par máximo de 1.7 N·m y
su velocidad máxima de giro es de 4000 r.p.m. Tiene un potenciómetro con el fin de poder
regular la velocidad de giro. Se muestra a continuación una foto con los diferentes motores
AC G de Eurotherm:
Figura 6.2.1: Servomotores AC G de la casa Eurotherm
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El eje de salida del motor debe acoplarse a un reductor, puesto que no interesan
velocidades tan altas como las que proporciona el motor. Además, la adición de un
reductor permite al motor dar un par mayor. La relación de reducción será de 1:30.
Tal como se ha dicho anteriormente, los motores se encuentran fijados firmemente
a la plataforma fija. Es muy importante una buena fijación con el fin de evitar vibraciones
que creen problemas de precisión. Las fijaciones de los motores permiten que la manivela,
dé vueltas completas sin chocar con ningún obstáculo a fin de no dificultar la movilidad
del manipulador.
6.3. Reductores
Como ya se ha dicho, se necesitan unos reductores para adaptar la velocidad de los
motores a las necesidades del proyecto. Se buscan pues unos reductores en la casa
Eurotherm, que sean compatibles con el motor. Se elegirá uno de la gama PG AL, que se
muestra en la siguiente imagen.
Figura 6.3.1: Reductor PG AL de la casa Eurotherm
Dentro de la gama de reductores PG AL, existen diferentes modelos de diversas
dimensiones y características, en función de la reducción deseada y de las dimensiones del
motor al que se acoplará. Se elige el PG AL 07 030 2-S, de dimensiones adecuadas para el
motor. El motor quedara fijado al reductor mediante cuatro tornillos.
Aun así, el diámetro del eje del motor es menor que el del orificio del reductor en el
que debe entrar. Por tanto, es necesario un casquillo para ajustar el eje del motor.
Casquillo para la introducción del motor en el reductor
Este casquillo, deberá tener un diámetro interior coincidente con el diámetro del eje
del motor, y un diámetro exterior coincidente con el del orificio que tiene el reductor.
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El casquillo deberá tener una chaveta interior para recibir el movimiento del eje del
motor. En principio, se pensó en hacer una ranura en el interior del casquillo para poder
introducir el eje, pero esta solución debilitaba en exceso el casquillo. Así, y puesto que la
chaveta del eje del motor se puede extraer, se decide que sea el casquillo el que tenga un
chaveta en su interior y se ensamble a la ranura que quedará en el eje del motor al extraer
la chaveta.
Para el ensamblaje al reductor, el casquillo tendrá una chaveta exterior. Así, una
vez colocado este casquillo en el eje del motor, éste tendrá la forma y dimensión necesaria
para un buen ensamblaje con el reductor.
6.4. Manivelas
La manivela debe ir acoplada al reductor por una parte, y a la biela por otra. Para el
acoplamiento al reductor, debe tener un orificio para introducir en él el eje. Este orificio
debe ser pasante; por un lado de la manivela debe quedar el reductor, y por el otro se debe
introducir un tornillo con una arandela para fijar la manivela al reductor. Es de vital
importancia una buena fijación de la manivela al reductor para obtener una buena precisión
en el posicionamiento de la plataforma móvil.
Para el acoplamiento a la biela se utilizará una junta Cardan, ya que debe haber dos
grados de libertad entre ambas. Para proporcionar estos dos grados de libertad a la junta, se
colocarán rodamientos de la casa SKF.
En el diseño de una manivela que cumpla lo descrito, se plantean dos posibilidades:
- Manivela excéntrica: La manivela sería un cilindro, con una perforación en su
base a 5 cm del centro para la introducción del eje del reductor. Acoplados a ella, irían los
rodamientos que la unirían a la biela.
- Disco con un cilindro en voladizo: En este caso, el disco tendría una perforación
para la introducción del eje, y 50 mm de ella, saldría el cilindro en voladizo al cual irían
acoplados los rodamientos.
Para hacer una elección se deben tener en cuenta las características de cada una de
las posibles configuraciones. En el caso de la manivela excéntrica, ésta debe tener un radio
de al menos 80 mm, ya que a 50 mm su centro debe haber una perforación para la
introducción del eje, y se debe dar cierta robustez a la pieza. Así, los rodamientos
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necesarios deben tener un radio interior de 80 mm. Consultando el catálogo, se observa que
los rodamientos de este tamaño tienen un espesor de 48 mm. Ahora bien, es necesaria la
colocación de dos rodamientos en serie, para tener un ajuste que dé mayor precisión. Por
tanto, el cilindro debería tener una longitud de más de 100 mm, con lo que invadiría el
espacio de la manivela opuesta, ya que la distancia existente entre el punto 01 y el 02 es de
100 mm.
Figura 6.4.1: Interferencia física entre manivelas excéntricas
En la figura anterior, se ha representado con trazo continuo una de las manivelas
excéntricas, y con trazo discontinuo la otra. Se puede apreciar como una invade el espacio
de la otra, con lo que la manivela excentrica se considera inviable. Por tanto, se elegirá el
modo de disco con cilindro en voladizo.
El cilindro en voladizo se hará hueco para rebajar su peso. Sobre él, se deben
colocar los rodamientos, y junto con ellos irán unas tuercas que ejerzan presión sobre ellos,
como se verá más adelante. Así, será necesario roscar cierta longitud del cilindro. En esta
zona roscada, también habrá que hacer un rebaje para la colocación de la arandela que se
debe situar entre el rodamiento y la tuerca.
Para terminar de concretar la forma de la pieza, se debe estudiar el modo en que se
ajusta al reductor. Ya se ha comentado que el reductor tiene un orificio para ajustar la
manivela, pero no se ha tenido en cuenta que el reductor irá atornillado por la cara del eje a
una placa perteneciente a la plataforma fija, como se verá más adelante. Así, la parte de la
manivela que está pegada al reductor, quedará en el interior de la placa antes mencionada,
con lo que hará falta un rebaje en la manivela, como se muestra en la siguiente figura, en la
que se ha representado en verde el reductor, en azul la plataforma inferior, y en magenta la
manivela:
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Figura 6.4.2: Acoplamiento entre reductor, plataforma fija y manivela
6.5. Junta biela-manivela
Antes de pensar en el diseño de la biela, se debe conocer el modo en el que ésta irá
acoplada a la manivela. Se ha comentado anteriormente que se colocarán rodamientos
entre ambos elementos, pero se debe concretar el modo en el que estos rodamientos irán
colocados para permitir el giro en dos direcciones.
Se hace necesaria una pieza a colocar entre biela y manivela, para poder permitir
esos dos grados de libertad. Esta pieza, será un casquillo ajustado interiormente a los
rodamientos colocados en la manivela, y a cuya parte exterior se puedan acoplar otros
rodamientos, a los cuales se ensamble la biela. Dicho casquillo, deberá tener la siguiente
forma:
Figura 6.5.1: Forma del casquillo entre biela y manivela
En el hueco interior deberá tener colocados los rodamientos que están ajustados a la
manivela, y en los dos brazos exteriores se le acoplarán los rodamientos a los que irá
ensamblada la biela.
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Antes de dimensionar este casquillo se analizarán los rodamientos que se van a
utilizar.
6.5.1. Rodamientos
Un rodamiento es un elemento que se sitúa entre dos piezas con un eje común, de
manera que pueda girar una respecto a la otra. El rodamiento sustituye el posible
deslizamiento entre los dos elementos por rodadura. En este caso la potencia absorbida por
la rodadura es mucho menor de la que se absorbería por deslizamiento.
Un rodamiento está formado básicamente por cuatro elementos: un aro interior, un
aro exterior, los elementos rodantes y la jaula. El aro exterior y el interior son los
elementos que se fijan solidariamente a los dos elementos que acopla el rodamiento. En
algunos casos se pueden sustituir los aros por un alojamiento sobre la pieza en cuestión
convenientemente mecanizado. Los dos aros tienen unas gargantas, denominadas caminos
de rodadura, por donde rodarán los elementos rodantes (bolas, rodillos o agujas). Estos
elementos rodantes girarán sobre su propio eje produciéndose una rodadura sobre los
caminos de rodadura de los rodamientos, permitiendo el giro relativo entre los dos aros y,
en definitiva, la de las dos piezas que unen. Por último, la jaula es un componente que
agrupa a todos los elementos rodantes, manteniendo su posición relativa, evitando que los
elementos rodantes se desmonten, pero permitiendo el giro y, por consiguiente, la rodadura
de estos elementos.
Los tipos de rodamientos que existen son los siguientes:
- De bolas.
- De rodillos (cilíndricos, esféricos, cónicos, de agujas,...)
La principal causa de elección entre unos y otros es la dirección de la carga a la
que están sometidos. Esta carga podrá ser radial o axial.
A continuación se explican detalladamente los tipos de rodamientos más frecuentes
para posteriormente seleccionar el tipo de rodamiento conveniente.
Rodamientos rígidos de bolas
Este tipo de rodamientos es de uso general, ya que pueden absorber carga radial y
axial en ambos sentidos, así como las fuerzas resultantes de estas cargas combinadas; a su
vez, pueden operar a elevadas velocidades.
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Figura 6.5.1.1: Rodamientos rígidos de bolas
Estos rodamientos no son desmontables ni autoalineables, por lo que requieren una
perfecta alineación del asiento del soporte.
Existen varios tipos de estos rodamientos: rodamientos rígidos de bolas
desmontables, rodamientos rígidos de bolas con ranura circunferencial en el anillo exterior
para poder fijarlos axialmente mediante arandelas de retención, rodamientos rígidos de
bolas con agujero cónico, rodamientos rígidos de dos hileras de bolas, etc.
Se fabrican rodamientos prelubricados con tapas de obturación que impiden la
entrada de elementos extraños y previenen la salida de grasa. El sello de estos rodamientos
consiste en un anillo de caucho sintético moldeado a una pletina de acero, incorporado al
anillo exterior. Hay dos tipos de rodamientos sellados: uno usa sellos de contacto con el
anillo interior, presentando una excelente y efectiva protección contra la entrada de polvo;
y el otro usa sellos de no-contacto con el anillo interior, siendo apropiado en las
aplicaciones que requieren un bajo par de operación.
También se fabrican rodamientos de bolas de máxima capacidad con ranuras de
llenado en los anillos interior y exterior. Estos rodamientos disponen de más bolas de acero
que los tipos estándar, presentando una capacidad de carga dinámica entre un 20% y un
35% mayor. Debido a las ranuras de llenado, no son apropiados para aplicaciones con
cargas axiales pesadas, si no, únicamente, en aplicaciones donde la carga radial es
predominante o única.
Rodamientos de bolas con contacto angular
En este tipo de rodamientos, la línea que une los puntos de contacto de las bolas de
acero con los anillos interior y exterior, forma un ángulo con la línea que define la
dirección radial, llamado ángulo de contacto. Este ángulo es de 30º , aunque existen
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rodamientos que tienen un ángulo de contacto de 40º y otros de 15º (estos últimos para
elevadas velocidades).
Figura 6.5.1.2: Perfil de los rodamientos de bolas con contacto angular
En adición a las cargas radiales, pueden soportar grandes cargas axiales en un
sentido; en consecuencia, se suelen disponer dos a dos en posición simétrica para soportar
cargas axiales en los dos sentidos (apareado espalda a espalda, o apareado cara a cara);
también se pueden disponer en montaje apareado en serie (tándem) para cargas radiales y
axiales elevadas en un solo sentido.
Figura 6.5.1.3: Disposiciones de los rodamientos de bolas con contacto angular
Existen rodamientos de doble hilera de bolas con contacto angular y rodamientos de
una hilera de bolas con cuatro puntos de contacto, capaces de absorber cargas axiales en
ambos sentidos. Los rodamientos de doble hilera de bolas con contacto angular equivalen a
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dos rodamientos de una hilera de bolas con contacto angular en un montaje apareado
espalda a espalda, de tal forma, que los anillos interior y exterior, son respectivamente
formados cada uno, en una sola pieza. Se pueden fabricar con o sin ranuras de llenado; este
último tipo, a su vez, se puede fabricar con tapa de obturación.
Elección de rodamientos
Se han elegido rodamientos de bolas con contacto angular en disposición espalda
con espalda, para poder soportar cargas axiales en los dos sentidos. Se elige esta
disposición tanto para los rodamientos situados sobre la manivela, como para aquellos que
van ubicados en los brazos del casquillo anteriormente visto.
Para el caso de los rodamientos situados en la manivela, se cogerá el modelo 7214
BE de la casa SKF, de 70 mm de diámetro interior. Estos rodamientos tendrán una
arandela colocada entre ellos, para evitar que entren en contacto. Esta arandela, será
diámetro exterior igual al de los rodamientos. Los rodamientos serán presionados por una
tuerca de fijación en su parte inferior por un lado, y por un canto con el que harán tope por
otro. La tuerca y su correspondiente arandela, se obtendrán también de la casa SKF, y
tienen las referencias KM 14 y MB 14 respectivamente. Por otro lado, el canto antes
mencionado se lo tendrá que proporcionar la manivela.
Para los rodamientos de los brazos del casquillo, se elige el modelo 7204 BE, con
un diámetro interior de 20 mm. Como en el caso anterior, estos rodamientos también
necesitarán sus correspondientes tuercas y arandelas, que tienen las referencias KM 4 y
MB 4 respectivamente. En esta ocasión, el canto se lo deberá proporcionar la biela.
Los rodamientos son elementos que proporcionan un grado de libertad entre dos
cuerpos. La rodadura que se permite entre los dos cuerpos, debe absorber la menor energía
posible, y para ello el rozamiento debe ser mínimo. De este modo, se debe evitar que se
cuele en los rodamientos cualquier tipo de suciedad, polvo, etc., hecho que se tendrá en
cuenta en el diseño del casquillo.
6.5.2. Casquillo
El casquillo, tendrá un diámetro interior de 70 mm, como ha quedado definido
anteriormente. Sin embargo, como ya se ha comentado anteriormente, para una buena
fijación de los rodamientos es necesario que hagan tope en el casquillo, al mismo tiempo
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que son apretados por el tornillo anteriormente citado. Así pues, en uno de los costados el
radio interior deberá disminuir.
Además del citado canto, el casquillo no debe permitir la entrada de suciedad en el
rodamiento. Para evitarlo, se adoptan dos soluciones diferentes, una para cada costado.
Para la parte interior, la más cercana al disco de la manivela, se piensa en una junta
tórica que esté en contacto tanto con la manivela como con el casquillo. La juntas tóricas
se elegirán de los catálogos de la casa Epidor. Para colocar la junta tórica en el casquillo,
se deberá mecanizar su parte interior de modo que la junta se ajuste.
Como habrá un movimiento relativo entre ambos, se deberá rectificar la
correspondiente parte de la superficie de la manivela, para un mejor desliz. Por supuesto, a
la hora de la utilización del manipulador, esta parte se deberá lubricar adecuadamente.
Para la parte exterior, que coincidirá con el final del voladizo de la manivela, se
utilizará un tapa que irá atornillada al casquillo. La tapa será una sencilla chapa de
aluminio de forma circular, con cuatro orificios por los que pasarán los tornillos. Esta tapa
no debe tocar la manivela, puesto que gira respecto a ésta.
Para que el casquillo no se pueda mover respecto de los rodamientos, ya se ha dicho
que el casquillo tendrá un canto por un lado, pero no se ha mencionado la solución
adoptada para el otro lado. Para este lado, se colocará un casquillo que vaya desde la tapa
hasta el rodamiento, y cuyo diámetro exterior coincida con el diámetro exterior de los
rodamientos.
En la parte exterior del casquillo, se debe tener en cuenta que en los brazos en los
que serán colocados los rodamientos, éstos serán presionados por unos tornillos, por lo que
será necesario roscar esa parte de los brazos. En esta rosca, se hará un rebaje, para una
buena fijación de la arandela que se situará entre el rodamiento y la tuerca.
En este caso, sólo será necesario un rodamiento en cada brazo, pero éstos estarán
puestos en disposición espalda con espalda, ya que será la propia biela la que asegurará el
apriete entre los rodamientos de ambos lados y sus respectivas tuercas.
6.6. Bielas
Ya se ha definido la junta mediante la cual estarán ensambladas la biela y la
manivela, así que se sabe la forma que debe tomar un extremo de la biela. Esta, estará
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formada por dos piezas, una herradura que será la que la una a la manivela, y una barra que
se alargue hasta la junta esférica que une la biela con la plataforma superior.
6.6.1. Barra
Para la construcción de la barra, se debe tener en cuenta ángulo mínimo que forma
la biela con el plano horizontal, puesto que puede haber interferencia física entre la biela y
el motor. Por ello, la solución en que se piensa es la de una barra con un codo que evite
dicha interferencia física, como se muestra en la siguiente figura.
Figura 6.6.1.1: Barra con codo que evita interferencia física
El ángulo del codo de la biela será de 150º. El problema de este diseño puede ser la
flexión en el codo. Para comprobar si esto será un problema, se calcula el desplazamiento
del extremo superior respecto de su posición teórica. Para ello, se utilizará el Método de
los teoremas de Mohr.
Primer teorema:
S2 M
z (S 2 ) - z (S 1 ) =
z dx
S1E·I
z
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Segundo teorema:
u y (S 2 ) – u y (S 1 ) = z (S 1 )·d S2S1 +
S2
S1
M z dx
E·I
z
Estos teoremas se utilizan para desplazamientos en barras rectas, por lo que en este
caso, habrá que aplicarlos dos veces. Se tendrá en cuenta que el desplazamiento medido en
la primera parte de la barra, estará en un sistema de referencia distinto al de la segunda,
con lo que habrá que hacer un cambio de coordenadas con las medidas obtenidas en la
primera aplicación de los teoremas de Mohr.
Se aplican los teoremas de Mohr, para distintos diámetros interior y exterior de la
biela, y se obtiene el error que se comete para la máxima fuerza estática, 170 N. Se
muestran a continuación los resultados de dicho cálculo:
R ext (mm) R int (mm) Desplazamiento (mm)
2 1 0,1
25 15 0,045
30 20 0,023
Nótese que se han utilizado secciones huecas, para que no haya excesivo peso.
De los resultados se deduce que es necesario un diámetro demasiado grande para
llegar a una precisión satisfactoria.
Por tanto, se reconsidera la opción elegida, y se decide que es más apropiado
construir una biela recta.
Para realizar el estudio que calcula los desplazamientos en una biela recta sometida
a tracción, no son necesarios los teoremas de Mohr, bastará con aplicar la Ley de Hooke,
según la cual para la zona de deformación plástica de un material, la deformación del
material será proporcional al esfuerzo al que está sometida, como describe la siguiente
ecuación:
= E·
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donde = F/A es el esfuerzo en la sección de la biela, y = L/L la deformación
unitaria que sufre la biela. La constante E, es el Módulo de Young, que para el acero tiene
el valor E = 211 GPa.
Aplicándolo al caso objeto del presente proyecto, se obtiene que para una biela de
30 mm de diámetro exterior y 20 mm de diámetro interior, el desplazamiento es de 1·10 -3
mm, es decir, solamente una milésima de milímetro. Este resultado es favorable, pero se
deberá resolver el problema de la interferencia física con la manivela y el motor. Para
resolver dicho problema, se deberá dar a la herradura las dimensiones adecuadas.
Desde el inicio de este proyecto, se ha considerado que la biela tenía una longitud
de 60 cm. Sin embargo, esta sería la medida para un prototipo idealizado. Concretamente,
ésta sería la medida que debiera tener la biela en el caso de que su extremo superior
coincidiera con el de otra biela y con uno de los vértices de la plataforma móvil en un
punto. Puesto que esto no es físicamente posible, se diseñará la biela más corta, de modo
que la prolongación de su eje coincida en un punto con el de otra biela.
Así, los tres puntos formados por las intersecciones de cada par de ejes de bielas
formarán un triángulo de 0.5 m de lado, en la posición de volquete en la que el mecanismo
está totalmente estirado.
Figura 6.6.1.2: Manipulador paralelo totalmente estirado
Para calcular la verdadera longitud de la barra, no sólo habrá que tener en cuenta el
hecho recientemente citado, sino también las dimensiones de la junta esférica, así como las
de la herradura.
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6.6.2. Herradura
La función de la herradura es permitir el giro relativo entre el casquillo
recientemente definido y la biela. La herradura, irá acoplada a los rodamientos colocados
en los brazos del casquillo. En la siguiente figura se representa la forma que deberá tener
esta herradura.
Figura 6.6.2.1: Forma de la herradura
Los rodamientos irán ensamblados en los cilindros que hay soldados en ambos
extremos de la herradura. Por tanto, dichos cilindros tendrán un diámetro interior de 80
mm. Como se ha dicho anteriormente, la herradura debe ejercer de tope en la presión que
los tornillos ejercen sobre los rodamientos, por lo que en uno de los costados de los
cilindros, el diámetro interior deberá disminuir.
Para evitar la entrada de suciedad en los rodamientos, se utilizarán los mismos
métodos descritos para los rodamientos de la manivela.
La herradura será de sección circular, lo suficientemente robusta para asegurar su
rigidez. Para conocer las medidas de su arco, se deberá considerar el ángulo mínimo al que
llega la biela, y se deberá asegurar que en esta posición la biela no interfiere físicamente
con el reductor.
La anchura de la biela viene dada por el casquillo previamente definido. Con esta
anchura, el arco deberá ser de al menos 160 mm de diámetro. Sabiendo que el ángulo
mínimo es de cerca de 57º, se comprueba que este diámetro es suficiente para asegurar que
no haya interferencia física entre la biela y la manivela.
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La biela hasta ahora definida, da un buen comportamiento, pero su montaje en el
casquillo resulta imposible. No es posible alojar en su interior una pieza de mayor anchura,
como se puede apreciar en al siguiente figura:
Figura 6.6.2.2: Imposibilidad de acoplamiento
Para resolver este problema, se decide diseñar la herradura en tres piezas. La pieza
principal será la herradura con medio cilindro soldado en cada extremo. Harán falta otros
dos semicilindros que irán atornillados a la pieza principal una vez colocado el casquillo
con los rodamientos y demás complementos. En el proceso de fabricación de esta pieza, se
deberán atornillar los semicilindros a la herradura para mecanizar el interior en el que irán
los rodamientos.
6.6.3. Acoplamiento barra-herradura
El acoplamiento entre la barra y la herradura, se hará mediante una rosca de métrica
12. Puesto que la barra será hueca, es lógico tomarla como hembra de la unión roscada.
Este hueco, tendrá un diámetro de 20 mm, por lo que será necesario soldar una tuerca en el
extremo de la barra.
Al macho, que se colocará en la herradura, se le dará una longitud mayor de la
estrictamente necesaria, para poder regular la longitud de las bielas en caso de que esto sea
necesario. Además, será necesario introducir una tuerca en dicho macho, para que,
presionando la tuerca contra la barra, se logre una buena fijación de la barra.
6.7. Junta esférica
Entre la biela y la plataforma superior, se desea colocar una junta que permita tres
grados de libertad. Para ello, se utilizará una rótula o junta esférica, la cual se elegirá de la
casa Hephaist.
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Figura 6.7.1: Junta esférica de la casa Hephaist
Para permitir el giro en los tres ejes, la rótula está rodeada por una jaula esférica,
concéntrica a la rótula, de pequeño espesor con orificios uniformemente repartidos en los
que se alojan las bolas. La pista exterior o cavidad que alberga a la rótula y la jaula
consiste en una cavidad esférica concéntrica a la rótula y a la jaula con un bajo nivel de
rugosidad.
Este tipo de unión esférica tiene un funcionamiento superior respecto a los tipos
convencionales de rótulas esféricas en cuanto a precisión y rigidez. El movimiento
oscilante de la rótula posee una baja fricción gracias a la rodadura de las bolas de bolas.
De entre los tamaños existentes, se elegirá la menor de las que aguanten las cargas
exigidas. Las características de los diferentes modelos se muestran en la siguiente tabla:
Tabla 6.7.1: Características de las juntas esféricas
Las medidas de esta tabla, se corresponden con la siguiente figura:
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Figura 6.7.2: Medidas correspondientes con la tabla 6.7.1
Con los datos de los cálculos realizados en la sección 3.3, se elige el modelo
SRJ016C, de 56 mm de diámetro exterior y 370 g de peso.
Nótese que será necesario tener en cuenta las longitudes E y F a la hora determinar
la longitud de la biela, mientras que el diámetro A se utilizará para el diseño de la
plataforma superior. Será necesario también un rebaje en la superficie sobre la que se vaya
a ubicar la rótula. Dicho rebaje será circular de diámetro M.
6.8. Plataforma móvil
La plataforma superior será de forma triangular, y se tratará de diseñarla de manera
que tenga el menor peso posible, con lo que el material elegido para su fabricación será el
aluminio.
Se tenía dimensionada a priori como un triángulo de medio metro de lado, pero
estas dimensiones estaban sujetas a ciertas idealidades ya comentadas. Se sabe ahora que el
triángulo de medio metro de lado será el formado por las prolongaciones de los ejes de las
bielas. Así, el triángulo que definirá la plataforma será el formado por los ejes que unan los
centros de las rótulas. Este triángulo, quedará definido de forma que la distancia entre los
centros de las rótulas pertenecientes a un mismo vértice sea mínima, evitando eso sí la
interferencia física entre ellas. Así, esta distancia será de 58 mm, de modo que queden 2
mm entre las rótulas, tal y como se muestra en la figura:
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Figura 6.8.1: Separación entre rótulas
Se hará un rebaje de un milímetro en la superficie inferior de la plataforma, para un
mejor ensamblaje de las rótulas. También se deben hacer los cuatro agujeros pasantes para
atornillar la rótula a la plataforma, como se aprecia en la figura.
La rótula, como ya se ha mencionado en el apartado anterior, necesita otro rebaje
circular, el cual le dará la movilidad. Este rebaje será de 25 mm de diámetro, y tendrá un
profundidad de 4 mm respecto del anterior rebaje.
En cuanto al espesor de la plataforma, este será de 8 mm, medida que se considera
que dará una combinación adecuada entre resistencia y peso, ya que la plataforma pesará
en torno a 5 Kg.
Se redondean los vértices de la plataforma, para evitar tener un canto demasiado
cortante.
6.9. Plataforma fija
La plataforma sobre la que se asienta toda la estructura del manipulador estará
formada por tres vigas soldadas cuyos ejes formen un triángulo equilátero de un metro de
lado. El ala sobrante en los vértices del triángulo se eliminará. El perfil elegido será el
HEB 140.
En la parte exterior del ala superior de las vigas, irán soldadas las placas sobre las
que se fijarán los reductores. Estas placas serán rectangulares de 200x100 milímetros, y de
15 mm de espesor. Irán soldadas en posición vertical, perpendiculares al eje de la viga. Se
colocarán dos en cada viga, quedando la cara interior de cada una de ellas a 115 mm del
punto medio del lado del triángulo formado por las vigas.
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Siendo la placa rectangular, puede que la biela pegue en la posición en la que tiene
ángulo mínimo, por lo que se le redondearán los vértices superiores del rectángulo.
Los reductores se atornillarán a las placas a una distancia de la viga, tal que cuando
la manivela esté en su posición más baja, esta no interfiera físicamente con la viga. Las
placas, tendrán un orificio de 52 mm de diámetro en el que irá encajado el reductor. Se
harán cuatro agujeros pasantes de 5 mm alrededor de dicho orificio, cada 90 grados, por
los que se introducirán los tornillos mediante los cuales se fijará el reductor a la placa.
Teniendo en cuenta que el motor y el reductor quedarán en voladizo, es conveniente
reforzar la placa para que ésta se mueva lo mínimo posible. El modo en que se reforzará
será colocando dos escuadras soldadas tanto a la placa en la que irán los motores como a la
viga. Sólo se podrán colocar en el lado exterior de la placa, puesto que en lado interior no
dejaría moverse a la manivela.
6.10. Manipulador paralelo
Tras el diseño de todas las piezas, el manipulador paralelo tomará la siguiente
forma:
Figura 6.10.1: Imagen del manipulador paralelo
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6.11. Tolerancias dimensionales de las piezas.
La tolerancia de una pieza son los márgenes dentro de los cuales la pieza se
considera aceptable. Cuando las tolerancias afectan a las medidas a las medidas de una
pieza, se denominan tolerancias dimensionales. Cuando afectan a una forma o a la posición
de un elemento se denominan tolerancias geométricas.
En las tolerancias dimensionales se utilizan en general los términos de eje y agujero
cuando se trata de una pareja de elementos, uno macho y otro hembra, que encajan entre sí,
independientemente de la forma de la sección que tengan. El término de eje y agujero se
usa porque la gran mayoría de las uniones están formadas por elementos cilíndricos,
aunque los elementos pueden ser de revolución o no.
A la hora de fabricar piezas que forman parte de un mecanismo, no todas las
medidas tienen igual importancia, algunas de las medidas requerirán mayor precisión para
un buen funcionamiento del mecanismo, lo cual requiere una menor tolerancia.
Con el manipulador paralelo, se desea conseguir una elevada precisión en el
posicionamiento de la plataforma superior. Esto se debe tener en cuenta en la fabricación
de las piezas. Se detallan a continuación las cotas en las que se debe tener mayor precisión.
Plataforma fija: es necesaria gran precisión en la distancia entre las placas a las
que van acoplados los reductores.
Manivelas: el orificio en el que entrará el eje del reductor debe asegurar un buen
acoplamiento, así como el cilindro en el que se colocarán los rodamientos. También se
requiere gran precisión en la distancia entre el canto que hace tope con los rodamientos y la
zona que estará contacto con el reductor, y en la distancia entre el eje del reductor y el
cilindro en el que irán ensamblados los rodamientos.
Casquillo: tanto la parte que estará en contacto con el rodamiento interior, como
los diámetros de los dos brazos en los que irán los rodamientos exteriores. La distancia
entre la cara más cercana a la placa de la plataforma y el eje vertical de simetría de los
brazos también requerirá gran precisión.
Herradura: es importante una buena simetría de la herradura, teniendo que
precisar la distancia entre la cara donde estará apoyado cada rodamiento y el eje de
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simetría. También el hueco donde se sitúa el rodamiento debe ser mecanizado con
precisión.
Plataforma móvil: se debe mantener la simetría triangular, atendiendo a la
distancia entre los ejes de los rebajes en los que encajarán las juntas esféricas.
6.12. Materiales a emplear
Los elementos que conforman la estructura del manipulador, dadas las condiciones
a las que están sometidos deben poseer una serie de características. Estas características, no
serán las mismas para todas las piezas, pero sí hay algunas que son comunes, como pueden
ser la resistencia a cargas axiales importantes, mínima deformación, densidad
relativamente baja y buena resistencia a la fatiga. El material utilizado habitualmente
cuando se desean estas características, es el acero, debido en parte a su buen precio.
6.12.1. Acero
El acero está formado principalmente por hierro y carbono, aunque también suele
estar aleado con otros metales y metaloides. Tanto la cantidad de carbono como las de los
distintos aleantes, darán al acero distintas propiedades mecánicas. También los diferentes
tratamientos térmicos que se le pueden aplicar harán variar las propiedades. Estas
variaciones en las propiedades mecánicas, serán debidas a cambios en la estructura
cristalina, tanto a deformaciones que puede sufrir la red en la que cristaliza, como al hecho
de poder cristalizar en distinto tipo de red.
Dependiendo de su composición, se pueden dividir los aceros en dos clases
fundamentales: aceros al carbono y aceros aleados. Se consideran aceros al carbono
aquellos que estando formados esencialmente por hierro y carbono, no superan ciertas
cantidades de otros elementos (fundamentalmente tendrán manganeso y silicio). Los aceros
aleados son los que contienen, además del carbono e impurezas, elementos de aleación
voluntaria, como cromo, níquel, molibdeno, vanadio, wolframio, etc.
Así, se tendrá una inmensa gama de aceros, de entre los cuales se elegirá el que
mejor se ajuste a los requerimientos mecánicos y económicos de este proyecto.
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6.12.2. Clasificación de los aceros
Según el Centro Nacional de Investigaciones Metalúrgicas, que ordena los aceros
atendiendo a sus aplicaciones, estos son los distintos grupos de los que se dispone:
Serie F-1XXX: Aceros finos de construcción general.
Serie F-2XXX: Aceros para usos especiales.
Serie F-3XXX: Aceros resistentes a la oxidación y corrosión.
Serie F-4XXX: Aceros de emergencia.
Serie F-5XXX: Aceros para herramientas.
Serie F-6XXX: Aceros comunes.
Serie F-7XXX: Aceros para moldear.
Serie F-8XXX: Fundiciones.
Serie F-9XXX: Aleaciones férreas especiales.
Cada una de estas series se subdivide a su vez en grupos. Para el manipulador
paralelo, los aceros utilizados serán de la serie F-1000, aceros finos de construcción
general, cuyos subgrupos se describen a continuación:
6.12.2.1. F-11XX: Aceros al carbono
El grupo de aceros al carbono o de construcción, está formado por aceros cuyas
composiciones oscilan entre los siguientes límites:
Carbono: 0,10% - 0,80%
Silicio: 0,15% - 0,30%
Manganeso: 0,30% - 0,70%
Estos aceros están fabricados, en general, en horno eléctrico, garantizando su
composición entre límites muy estrechos y contenidos de azufre y fósforo en general
menores que 0,03%. La cantidad de carbono que contenga hará variar su soldabilidad,
siendo menor la de los aceros de mayor contenido en carbono. Al no contener aleantes,
será la cantidad de carbono la que determine la dureza de estos aceros, siendo más duros
cuanto más carbono contengan.
Principalmente existen 5 tipos de aceros, F-1110, F-1120, F-1130, F-1140, F-1150,
cuyos porcentajes medios de carbono son 0,15, 0,25, 0,35, 0,45 y 0,55%, respectivamente.
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6.12.2.2. F-12XX y F-13XX: Aceros aleados de gran resistencia
Las características mecánicas de los aceros al carbono son siempre bajas en piezas
de cierto espesor y volumen, ya que tienen baja templabilidad. Para mejorarla, y mejor así
las características mecánicas, se les suelen añadir elementos aleados. Se consiguen así
aceros aleados con mayor tenacidad y mayor resistencia. Sin embargo, estas mejores
propiedades mecánicas se deben pagar, ya que estos aceros presentan precio más elevado.
Los aleantes influyen de muy diversas maneras en las propiedades de los aceros, sin
embargo, la mejora principal que se obtiene con los elementos de adición es el aumento en
la templabilidad, y por eso los elementos aleados que más se utilizan son los que
contribuyen a este fin.
Estos aceros se emplean principalmente para la construcción de piezas y elementos
de maquinas, motores, vehículos, etc. Se clasifican, atendiendo a su composición, de la
siguiente manera:
F-1210: Aceros al níquel.
F-1220, F-1230 y F-1320: Aceros al cromo-níquel.
F-1240 y F-1250: Aceros al cromo-molibdeno.
F-1310: Aceros al cromo-vanadio.
F-1260, F-1270, F-1280, F-1290 y F-1330: Aceros al cromo-níquel-molibdeno.
6.12.2.3. F-15XX y F-16XX: Aceros para cementar
Los aceros cementados, consiguen combinar una buena tenacidad con una gran
dureza superficial. Esta combinación es muy adecuada para piezas de maquinaria como
engranajes, etc. que deben tener la superficie muy dura para resistir al desgaste, y el núcleo
de los dientes muy tenaz para resistir los golpes que se puedan producir en alteraciones de
la máquina, como arranques y paradas bruscas.
Se pueden cementar tanto aceros al carbono como aceros aleados, mejorando su
dureza superficial sin alterar las características propias del acero base. El espesor mas
corriente de la capa cementada es de entre 0,50 y 1,50 mm, dependiendo del tamaño de la
pieza.
Los tipos de aceros que hay en este subgrupo son los siguientes:
F-1510: aceros al carbono.
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F-1520: Aceros al níquel.
F-1530 y F-1540: Aceros al cromo-níquel.
F-1550: Aceros al cromo-molibdeno.
F-1560 y F-1570: Aceros al cromo-níquel-molibdeno.
F-1580 y F-1590: Aceros de baja aleación al cromo-níquel-molibdeno.
6.12.2.4. F-17XX: Aceros para nitrurar
La nitruración consiste en endurecer la superficie del acero por absorción de
nitrógeno en condiciones adecuadas. Los aceros nitrurados tienen una alta dureza
superficial, manteniéndose las características tenaces del núcleo.
Los aceros para nitrurar son siempre aleados con un contenido de carbono
comprendido entre 0,25 y 0,50%, según las características que se desean obtener en el
núcleo. Los elementos más utilizados de aleación son el aluminio, el molibdeno, el
vanadio, el cromo y el níquel.
Las principales aplicaciones de estos aceros nitrurados son la construcción de
maquinaria, motores, máquinas-herramientas, etc.
En este subgrupo se tienen los tipos F-1710, F-1720 y F-1730, que son aceros al
cromo-molibdeno-vanadio, y el F-1740, que es acero al aluminio-cromo-molibdeno.
6.12.3. Aceros elegidos
Se deben elegir materiales que ofrezcan una buenas propiedades mecánicas, como
son resistencia y tenacidad, además de una buena soldabilidad, puesto que algunas de ellas
estarán compuestas por dos partes soldadas.
6.12.3.1. Plataforma inferior
La plataforma inferior, estará formada por tres vigas HEB 140 soldadas entre sí.
Estas vigas, se suelen construir de acero al carbono. Se elige el acero F-1120, cuya
composición química es la siguiente:
Carbono: 0,20-0,30%
Manganeso: 0,50-0,80%
Silicio: 0,15-0,40%
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Máximo residuo de azufre: 0,035%.
Máximo residuo de fósforo: 0,035%
Es un acero soldable y fácilmente deformable, cuya resistencia, normalizada, oscila
entre 48 y 55 Kg/mm 2 .
6.12.3.2. Resto de piezas
El resto de piezas, a excepción de la plataforma superior, se fabricarán de acero F-
1210, acero al níquel, con la siguiente composición:
Carbono: 0,25-0,35%
Manganeso: 0,40-0,70%
Silicio: 0,10-0,35%
Níquel: 2,25-3,50%
Máximo residuo de azufre: 0,04%
Máximo residuo de fósforo: 0,04%
La adición de níquel da a este acero una mayor dureza y una mayor tenacidad. Así,
se tendrá una resistencia de 80 a 100 Kg/mm 2 , superior a la del acero de la plataforma fija.
6.12.4. Material para la plataforma superior
Como ya se ha dicho anteriormente, la plataforma superior será de aluminio, a
diferencia del resto de las piezas. Esto se debe al hecho de ser la pieza de mayor volumen,
y por tanto la de mayor peso. Se considera el acero demasiado pesado, y por tanto se elige
el aluminio, material de peores propiedades mecánicas pero con una densidad tres veces
menor que la del acero.
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