1. Principios Básicos de Resistencia de Materiales - IngenierÃa ...
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DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>1.</strong> <strong>Principios</strong><br />
Básicos <strong>de</strong><br />
<strong>Resistencia</strong> <strong>de</strong><br />
<strong>Materiales</strong><br />
<strong>1.</strong><strong>1.</strong> EQUILIBRIO ESTÁTICO<br />
Se <strong>de</strong>fine como aquella condición en la cual sometido el cuerpo a una serie <strong>de</strong> fuerzas y<br />
momentos exteriores se mantiene en reposo o con un movimiento uniforme:<br />
F 3<br />
M 1<br />
M 2<br />
F 1<br />
F 2<br />
<br />
<br />
F = 0<br />
M = 0<br />
(1)<br />
<strong>1.</strong>2. PRINCIPIO DE CORTE<br />
Si a un cuerpo en equilibrio se le corta por una sección cualquiera sigue estando sometido a las<br />
fuerzas y momentos exteriores. Para que siga estando en equilibrio tenemos que colocar en la sección<br />
cortada una resultante <strong>de</strong> fuerzas y una resultante <strong>de</strong> momentos, que los representaremos como R y<br />
M. En dicha sección existen unas tensiones, fuerzas por unidad <strong>de</strong> área, que dan como resultante R y<br />
M. A pesar <strong>de</strong> que dichas fuerzas son interiores si se consi<strong>de</strong>ra todo el sistema, son exteriores cuando<br />
se aplican sobre el subsistema. El subsistema aislado con las fuerzas exteriores que actúan sobre él y<br />
las fuerzas resultantes <strong>de</strong> la interacción con el sistema total se <strong>de</strong>nomina diagrama <strong>de</strong> sólido libre.<br />
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© 2004 V. BADIOLA<br />
F 1<br />
F 2<br />
F 3<br />
M<br />
R<br />
M 2 F 2<br />
M 1 M 1<br />
Dentro <strong>de</strong> cada sección <strong>de</strong> corte existirán esfuerzos y momentos para compensar los exteriores.<br />
Los tipos <strong>de</strong> solicitaciones que encontraremos serán:<br />
z<br />
M z<br />
T 1<br />
T 2<br />
N<br />
M y<br />
M x<br />
x<br />
y<br />
Esfuerzos perpendiculares a la sección N (tracción o compresión)<br />
Esfuerzos contenidos en la sección T (cortadura)<br />
Momentos<br />
<strong>1.</strong> En el eje z Mz, flexión<br />
2. En el eje y My, flexión<br />
3. En el eje x Mx, torsión<br />
<strong>1.</strong>3. CONCEPTO DE TENSIÓN UNITARIA. COMPONENTES DEL ESFUERZO<br />
La barra <strong>de</strong> la Figura está sometida a un esfuerzo <strong>de</strong> tracción F N . Si se corta la barra según una<br />
sección BB perpendicular a su eje, la resultante <strong>de</strong> las tensiones que actúan sobre la sección <strong>de</strong> corte,<br />
<strong>de</strong> área A c , será igual a F N . Suponiendo una distribución uniforme <strong>de</strong> F N a lo largo <strong>de</strong> la superficie,<br />
pue<strong>de</strong> introducirse el concepto <strong>de</strong> fuerza por unidad <strong>de</strong> superficie, σ a , como:<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 6 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
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F<br />
N<br />
σ<br />
a<br />
=<br />
(2)<br />
A<br />
c<br />
Figura 1 - Barra sometida a esfuerzo <strong>de</strong> tracción<br />
A partir <strong>de</strong> la ecuación (2), se <strong>de</strong>fine el concepto <strong>de</strong> tensión unitaria:<br />
σ =<br />
∆F<br />
N<br />
lim =<br />
∆r→0<br />
∆A<br />
c<br />
dF<br />
dA<br />
N<br />
c<br />
(3)<br />
que es el esfuerzo por unidad <strong>de</strong> área que se ejerce entre las dos partes <strong>de</strong> un cuerpo,<br />
dividido i<strong>de</strong>almente por un <strong>de</strong>terminado plano BB, a través <strong>de</strong> una superficie <strong>de</strong> BB <strong>de</strong> tamaño<br />
infinitesimal, alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un punto.<br />
La tensión unitaria se refiere a un punto y a un plano (BB). Como es una fuerza, la tensión<br />
unitaria es un vector, por lo que, por regla general, podremos consi<strong>de</strong>rar 3 componentes, una normal y<br />
dos situadas en el plano - tensión normal y tensiones tangenciales - y se suelen <strong>de</strong>signar σ y τ,<br />
respectivamente.<br />
Por convenio, la tensión se i<strong>de</strong>ntificará con dos subíndices: el primero i<strong>de</strong>ntifica el plano don<strong>de</strong><br />
está aplicada la tensión (correspon<strong>de</strong> a la normal a este plano) y el segundo correspon<strong>de</strong> a la dirección<br />
<strong>de</strong> la tensión (Figura 2).<br />
Figura 2 - Convenio <strong>de</strong> notación para las tensiones<br />
- 7 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
La convención clásica establece que los esfuerzos normales σ<br />
xx<br />
, σ<br />
yy<br />
y σ<br />
zz<br />
son positivos si<br />
están dirigidos hacia el exterior <strong>de</strong>l elemento (tracción). Los esfuerzos cortantes actuantes en caras<br />
positivas τ<br />
xy<br />
, τ<br />
yz<br />
, τ<br />
xz<br />
, τ<br />
zx<br />
, τ<br />
yx<br />
y τ<br />
zy<br />
son positivos si se ejercen en la dirección positiva <strong>de</strong> un eje <strong>de</strong><br />
referencia.<br />
Como el elemento que se presenta está en equilibrio estático, las caras negativas <strong>de</strong> dicho<br />
elemento tendrán esfuerzos cortantes que actúan en la dirección opuesta, pero también se les<br />
consi<strong>de</strong>ra positivos.<br />
Por otro lado, planteando el equilibrio <strong>de</strong> fuerzas en el elemento se <strong>de</strong>duce la simetría <strong>de</strong>l tensor<br />
<strong>de</strong> tensiones:<br />
τ<br />
xy<br />
= τ yx<br />
τ<br />
xz<br />
= τ zx<br />
τ<br />
zy<br />
= τ yz<br />
Realicemos la <strong>de</strong>mostración para el caso bidimensional:<br />
Consi<strong>de</strong>remos este elemento en equilibrio estático:<br />
τ<br />
M A<br />
= 0<br />
( dydz) dx − τ ⋅( dxdz) dy 0<br />
xy<br />
⋅<br />
yx<br />
=<br />
τ<br />
yx<br />
= τ xy<br />
<strong>1.</strong>4. HIPÓTESIS DE RESISTENCIA<br />
❏ Primera hipótesis: elasticidad perfecta. Elasticidad es la propiedad <strong>de</strong>l material tal que le<br />
permite recuperar su forma y dimensiones originales una vez quitada la carga. La elasticidad perfecta<br />
implica el cumplimiento <strong>de</strong> la Ley <strong>de</strong> Hooke, que establece una proporcionalidad entre las tensiones y<br />
las <strong>de</strong>formaciones, siendo E el Módulo <strong>de</strong> Elasticidad o Módulo <strong>de</strong> Young la constante <strong>de</strong><br />
proporcionalidad.<br />
σ = E ⋅ ε<br />
Un material elástico no cumple necesariamente la ley <strong>de</strong> Hooke. No obstante, todo material que<br />
cumple dicha ley es elástico.<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 8 -
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En el caso <strong>de</strong>l acero, se adopta un valor <strong>de</strong> E=210Gpa, en el caso <strong>de</strong>l cobre E=105Gpa y en el<br />
caso <strong>de</strong>l aluminio E=70Gpa.<br />
Una pieza <strong>de</strong> longitud Lo sometida a una fuerza tractiva, se alargará una cantidad δ que se<br />
<strong>de</strong>nomina <strong>de</strong>formación. Se <strong>de</strong>fine como <strong>de</strong>formación unitaria la <strong>de</strong>formación por unidad <strong>de</strong> longitud:<br />
ε =<br />
Experimentalmente se <strong>de</strong>muestra que cuando un material se tracciona, existe no solo una<br />
<strong>de</strong>formación axial sino también una contracción lateral. Poisson <strong>de</strong>mostró que dichas <strong>de</strong>formaciones<br />
eran proporcionales en el rango <strong>de</strong> elasticidad perfecta, siendo υ la constante <strong>de</strong> proporcionalidad que<br />
se <strong>de</strong>nomina Módulo <strong>de</strong> Poisson. En el caso <strong>de</strong> los metales su valor es 0.3<br />
lateral<br />
υ = −<br />
axial<br />
La elasticidad perfecta para tensiones <strong>de</strong> cortadura implica que existe una proporcionalidad entre<br />
las tensiones τ y la <strong>de</strong>formación angular γ :<br />
don<strong>de</strong><br />
δ<br />
L o<br />
τ = G ⋅ γ<br />
E<br />
G = . G se <strong>de</strong>fine como el Módulo <strong>de</strong> Elasticidad a Cortadura.<br />
2 ( 1+ υ )<br />
❏ Segunda hipótesis: homogeneidad. Todas las piezas tienen las mismas propieda<strong>de</strong>s en<br />
toda su extensión<br />
❏ Tercera hipótesis: isotropía. Todas las piezas tienen las mismas propieda<strong>de</strong>s en todas las<br />
direcciones<br />
<strong>1.</strong>5. SOLICITACIONES<br />
<strong>1.</strong>5.<strong>1.</strong> TRACCIÓN<br />
Se presenta cuando sobre un elemento actúan dos fuerzas iguales pero <strong>de</strong> sentido contrario y<br />
que tien<strong>de</strong>n a alargar el material. Para tener únicamente tracción, el esfuerzo <strong>de</strong> situarse en el centro<br />
<strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> la sección.<br />
Las tensiones se estudian en el sentido <strong>de</strong>l corte. Si cortamos una sección perpendicular al<br />
esfuerzo a una distancia x y lo separamos <strong>de</strong>l resto, el esfuerzo P nos dará tensiones σ . Suponemos<br />
que las tensiones son uniformes, es <strong>de</strong>cir, iguales en todos los puntos <strong>de</strong> la sección:<br />
P<br />
P<br />
x<br />
P<br />
σ<br />
Figura 3 - Viga sometida a TRACCION<br />
- 9 DISEÑO DE MÁQUINAS I
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P<br />
σ ⋅ dA = σ ⋅ A = P , luego σ = (4)<br />
A<br />
Por convenio se consi<strong>de</strong>ra que la tracción es positiva.<br />
Las <strong>de</strong>formaciones se <strong>de</strong>ducen a partir <strong>de</strong> las siguientes expresiones:<br />
σ = E ⋅ε (5)<br />
δ<br />
ε =<br />
(6)<br />
L o<br />
Luego,<br />
σ =<br />
P<br />
A<br />
= E⋅<br />
δ<br />
L o<br />
P⋅L<br />
→ δ = o<br />
(7)<br />
E⋅<br />
A<br />
<strong>1.</strong>5.2. COMPRESIÓN<br />
Se presenta cuando sobre una pieza actúan dos fuerzas iguales pero <strong>de</strong> sentido contrario y que<br />
tien<strong>de</strong>n a acortar el material.<br />
Suponemos las mismas hipótesis e idéntico <strong>de</strong>sarrollo que en tracción, salvo por el convenio <strong>de</strong><br />
signos, que asigna valor negativo a la compresión.<br />
P σ = ( − ) (8)<br />
A<br />
P ⋅L<br />
δ = o ( − ) (9)<br />
E⋅<br />
A<br />
<strong>1.</strong>5.3. FLEXIÓN PURA<br />
Es la consecuencia <strong>de</strong> unos esfuerzos o momentos exteriores que nos producen en la sección<br />
cortada exclusivamente un momento <strong>de</strong> flexión.<br />
Consi<strong>de</strong>ramos las siguientes hipótesis <strong>de</strong> trabajo:<br />
La viga es originalmente recta con una sección transversal constante en la longitud <strong>de</strong> la viga.<br />
La viga posee un eje <strong>de</strong> simetría en el plano <strong>de</strong> flexión <strong>de</strong> la viga.<br />
Las proporciones <strong>de</strong> la viga son tales que falla por flexión antes que por pan<strong>de</strong>o, etc.<br />
Las secciones transversales permaneces planas <strong>de</strong>spués <strong>de</strong> la <strong>de</strong>formación<br />
Consi<strong>de</strong>remos una viga <strong>de</strong>formada sobre la cual tomamos un elemento diferencial:<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 10 -
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Figura 4 - Viga sometida a FLEXION PURA<br />
En la figura anterior se muestra una viga sobre la que actúa un momento flector positivo M. El eje<br />
Y es el eje <strong>de</strong> simetría <strong>de</strong> la viga. El eje X coinci<strong>de</strong> con la fibra neutra <strong>de</strong> la viga, y el plano XZ que<br />
contiene los ejes neutros <strong>de</strong> todas las secciones (paralelos al eje Z) recibe el nombre <strong>de</strong> superficie<br />
neutra. Los elementos <strong>de</strong> la viga que estén sobre dicha superficie tendrán <strong>de</strong>formación nula.<br />
Al aplicar el momento M se produce una curvatura <strong>de</strong> la viga. Así, la sección AB (originalmente<br />
paralela a CD, puesto que la viga era recta) girará un ángulo dφ hasta la posición A’B’. Los trazos AB y<br />
A’B’ son rectos, <strong>de</strong> forma que se verifica la hipótesis <strong>de</strong> que las secciones planas permanecen así<br />
durante flexión. Si se <strong>de</strong>nota ρ como radio <strong>de</strong> curvatura <strong>de</strong>l eje neutro <strong>de</strong> la viga, ds la longitud <strong>de</strong> un<br />
elemento diferencial <strong>de</strong> dicho eje y dφ para el ángulo entre las rectas CD y A’B’, entonces se tiene que:<br />
1 dφ<br />
=<br />
ρ ds<br />
(10)<br />
El cambio <strong>de</strong> longitud <strong>de</strong> una fibra separada <strong>de</strong>l eje neutro una distancia y es:<br />
dx = −y<br />
⋅ dφ<br />
(11)<br />
La <strong>de</strong>formación es igual a la variación <strong>de</strong> longitud dividida por la longitud inicial:<br />
dx<br />
ε =<br />
(12)<br />
ds<br />
Y sustituyendo las expresiones (11) y (12),<br />
y<br />
ε = −<br />
ρ<br />
Así, la <strong>de</strong>formación es proporcional a la distancia y <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el eje neutro. Ahora bien, como<br />
σ = E ⋅ ε , se tiene que:<br />
E ⋅ y<br />
σ = −<br />
ρ<br />
La fuerza que actúa sobre un elemento <strong>de</strong> área dA es σ ⋅ dA , y puesto que dicho elemento está<br />
en equilibrio, la suma <strong>de</strong> fuerzas <strong>de</strong>be ser nula. Por consiguiente,<br />
(13)<br />
(14)<br />
E<br />
σ ⋅ dA = − y ⋅ dA = 0<br />
ρ <br />
(15)<br />
A<br />
La ecuación anterior <strong>de</strong>termina la localización <strong>de</strong>l eje neutro <strong>de</strong> la sección.<br />
A<br />
- 11 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
Por otro lado, el equilibrio requiere que el momento flector interno originado por el esfuerzo σ<br />
sea igual al momento externo M. Esto es,<br />
E 2 E<br />
M =<br />
<br />
y ⋅ σ ⋅ dA = y ⋅ dA = ⋅I<br />
ρ <br />
(16)<br />
ρ<br />
A<br />
I se <strong>de</strong>fine como el momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong>l área transversal con respecto al eje z: (I z ).<br />
De la ecuación anterior,<br />
M<br />
= 1<br />
EI ρ<br />
A<br />
(17)<br />
Finalmente, <strong>de</strong>spejando ρ <strong>de</strong> la expresión (14) y sustituyendo en (17),<br />
M ⋅ y<br />
σ = − (18)<br />
I<br />
La ecuación anterior establece que la tensión es directamente proporcional a la distancia y <strong>de</strong>s<strong>de</strong><br />
el eje neutro y al momento flector M.<br />
Figura 5 - Distribución <strong>de</strong> tensiones en FLEXION PURA<br />
Si <strong>de</strong>signamos por c la distancia máxima a la fibra neutra,<br />
I<br />
w = , módulo resistente (19)<br />
c<br />
M ⋅ c M<br />
σ<br />
max<br />
= = (20)<br />
I w<br />
Deflexión <strong>de</strong>bido a flexión<br />
Se ha <strong>de</strong>sarrollado la expresión que relaciona el momento flector M con la curvatura <strong>de</strong> la viga a<br />
flexión expresión (17).<br />
De estudios matemáticos se tiene que la curvatura <strong>de</strong> un plano curvo es:<br />
1<br />
=<br />
ρ<br />
2<br />
d y<br />
2<br />
dx<br />
<br />
1<br />
dy<br />
+ <br />
<br />
dx<br />
<br />
En esta expresión, la pendiente <strong>de</strong> la viga en cualquier punto x se expresa como:<br />
<br />
<br />
<br />
2<br />
3 / 2<br />
dy<br />
θ =<br />
(22)<br />
dx<br />
(21)<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 12 -
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En muchos problemas en flexión, don<strong>de</strong> la pendiente es muy pequeña, se pue<strong>de</strong> consi<strong>de</strong>rar el<br />
<strong>de</strong>nominador <strong>de</strong> la expresión (21) como la unidad. Entonces, dicha expresión se reescribe como:<br />
1 =<br />
d<br />
ρ<br />
2<br />
y<br />
dx<br />
2<br />
(23)<br />
Y sustituyendo la expresión (17) en la expresión (23), se obtiene:<br />
2<br />
d y<br />
dx<br />
2<br />
M<br />
= (24)<br />
EI<br />
Esta expresión se conoce como la ecuación <strong>de</strong> la elástica en flexión.<br />
Cuando se consi<strong>de</strong>ra que el eje Y va en sentido <strong>de</strong> vertical negativo, la expresión anterior se<br />
reescribe como:<br />
2<br />
d y<br />
dx<br />
2<br />
M<br />
= − (25)<br />
EI<br />
<strong>1.</strong>5.4. FLEXIÓN SIMPLE: CORTADURA Y FLEXIÓN<br />
Es una solicitación sobre una sección que combina un momento flector y un esfuerzo cortante<br />
contenido en dicha sección.<br />
Ejemplos <strong>de</strong> flexión simple son los siguientes:<br />
✏ Vigas cargadas con cargas repartidas variables:<br />
q (x)<br />
T<br />
q (x)<br />
M<br />
L<br />
x<br />
R 1 R 2<br />
R 1<br />
➨ R 1<br />
✏ Vigas cargadas con cargas repartidas constantes:<br />
q (x)=q<br />
T<br />
M<br />
L<br />
x<br />
R 1 R 2<br />
➨<br />
R 1 = R 2 =q·L/2<br />
R<br />
- 13 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
M =<br />
L<br />
q<br />
2<br />
x − q<br />
x<br />
2<br />
x = q ⋅<br />
x<br />
2<br />
⋅<br />
( L − x)<br />
L L<br />
T = q ⋅<br />
x<br />
2 2<br />
<br />
( L − x) − q = q ⋅ −<br />
<br />
Se <strong>de</strong>fine la cara positiva aquella en la que el eje X sale <strong>de</strong> la cara. El convenio <strong>de</strong> signos para<br />
momentos y esfuerzos cortantes.<br />
Figura 6 - Convención <strong>de</strong> signos en flexión y cortadura<br />
Existe una relación entre los esfuerzos cortantes y los momentos flectores.<br />
Puesto que la viga está en equilibrio se verifica:<br />
<br />
dT<br />
F v = 0 → −T<br />
+ T + dT + q ⋅ dx = 0 → = −q<br />
(26)<br />
dx<br />
dx<br />
dM<br />
M A = T (27)<br />
2<br />
dx<br />
0 → −( M + dM) + q ⋅ dx ⋅ + M + ( T + dT)<br />
⋅ dx = 0 → =<br />
Las conclusiones que se <strong>de</strong>rivan <strong>de</strong> este <strong>de</strong>sarrollo son:<br />
Si existe un esfuerzo cortante, se produce variación <strong>de</strong>l momento flector.<br />
En los puntos don<strong>de</strong> q=0 se produce el valor máximo o mínimo <strong>de</strong>l esfuerzo cortante T<br />
En los puntos don<strong>de</strong> T=0 se produce el valor máximo o mínimo <strong>de</strong>l momento flector M<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 14 -
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<strong>1.</strong>5.5. CORTADURA<br />
Los esfuerzos cortantes o esfuerzos <strong>de</strong> cortadura provocan la aparición <strong>de</strong> tensiones <strong>de</strong><br />
cortadura <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> la sección en la que actúan.<br />
Las tensiones <strong>de</strong> cortadura se caracterizan porque:<br />
No provocan cambio <strong>de</strong> volumen, sólo producen una <strong>de</strong>formación angular. La<br />
proporcionalidad entre el ángulo <strong>de</strong>formado y la tensión viene dada por el módulo <strong>de</strong><br />
E<br />
elasticidad en cortadura o módulo <strong>de</strong> cortadura G: τ = G ⋅ γ don<strong>de</strong> G = . 2 1+ υ<br />
Son iguales dos a dos y confluyen en un mismo punto<br />
En el plano:<br />
dx<br />
( )<br />
τ yx<br />
γ<br />
x<br />
dy<br />
τ xy<br />
τ xy<br />
y<br />
τ yx<br />
La <strong>de</strong>formación angular se <strong>de</strong>nomina γ.<br />
Cálculo <strong>de</strong> las tensiones <strong>de</strong> cortadura en vigas. Esfuerzo tangencial horizontal.<br />
La mayoría <strong>de</strong> vigas tienen fuerzas <strong>de</strong> cortadura y momentos flectores. Sólo ocasionalmente<br />
encontramos vigas sometidas a flexión pura.<br />
La fórmula <strong>de</strong> flexión se <strong>de</strong>sarrolla asumiendo flexión pura. De hecho, la razón <strong>de</strong> dicha hipótesis<br />
ha sido simplemente eliminar los complicados efectos <strong>de</strong> las tensiones <strong>de</strong> cortadura. En ingeniería, la<br />
fórmula <strong>de</strong> flexión es válida estén presentes o no fuerzas <strong>de</strong> cortadura. Por ello, emplearemos la<br />
ecuación (18) cuando estén presentes fuerzas <strong>de</strong> cortadura.<br />
Consi<strong>de</strong>remos una viga sometida a fuerzas <strong>de</strong> cortadura y momentos flectores.<br />
Considérese un elemento dx <strong>de</strong> la viga. Supóngase que la sección es arbitraria. Se traza un<br />
plano horizontal cortando a la sección y paralelo al plano XZ. La separamos y nos quedamos con la<br />
parte superior.<br />
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y<br />
T+dT<br />
T<br />
x<br />
M+dM<br />
M<br />
z<br />
dx<br />
I<br />
N+dN<br />
N<br />
dR<br />
e<br />
dx<br />
Don<strong>de</strong>:<br />
T: esfuerzo cortante<br />
Figura 7 - Elemento <strong>de</strong> viga sometido a cortadura<br />
dR: esfuerzo tangencial horizontal, contenido en el plano horizontal <strong>de</strong>l corte dado a la pieza<br />
N: tensiones <strong>de</strong>bidas a la flexión<br />
I z : momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong> toda la sección<br />
S I : momento estático <strong>de</strong>l area I<br />
y: distancia a la fibra neutra<br />
Debida a la flexión se producen tensiones en cada punto dA, que darán una resultante N en una<br />
cara y otra en la cara opuesta N+dN. Para que el elemento esté en equilibrio es necesario una<br />
solicitación dR en el plano horizontal que lo <strong>de</strong>notaremos como esfuerzo tangencial horizontal.<br />
I<br />
N − ( N + dN) + dR = 0 (28)<br />
( M + dM) ⋅ y ( M + dM) ( M + dM)<br />
N + dN = ⋅dA<br />
= y ⋅dA<br />
=<br />
I<br />
I<br />
<br />
I<br />
z<br />
z<br />
( M + dM)<br />
N + dN = ⋅SI<br />
(29)<br />
I<br />
I<br />
z<br />
z<br />
M y M M<br />
N = ⋅<br />
σ⋅dA<br />
= ⋅dA<br />
= y ⋅dA<br />
= ⋅S<br />
I I<br />
I<br />
z<br />
I<br />
I<br />
z<br />
I<br />
I<br />
z<br />
⋅S<br />
I<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 16 -
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M<br />
N = ⋅ SI<br />
(30)<br />
I<br />
Sustituyendo en la expresión (28) las expresiones (29) y (30), se obtiene:<br />
De la ecuación <strong>de</strong> la elástica se <strong>de</strong>duce que<br />
z<br />
dM<br />
dR = ⋅SI<br />
(31)<br />
I<br />
z<br />
dM = T , por lo tanto:<br />
dx<br />
T ⋅SI dR = ⋅ dx (32)<br />
I<br />
La expresión (32) se conoce como la fórmula <strong>de</strong>l esfuerzo tangencial horizontal.<br />
z<br />
Una vez obtenido dR, se pue<strong>de</strong>n <strong>de</strong>ducir la tensiones <strong>de</strong> cortadura asumiendo una distribución<br />
uniforme <strong>de</strong> las mismas en todo lo ancho <strong>de</strong> la sección.<br />
Figura 8 - Elemento <strong>de</strong> viga sometido a cortadura<br />
dR<br />
T ⋅ S ⋅ dx<br />
T ⋅ S<br />
I<br />
I<br />
τ xy = = =<br />
(33)<br />
e ⋅ dx e ⋅ dx ⋅Iz<br />
e ⋅Iz<br />
La hipótesis <strong>de</strong> tensión uniforme es sólo válida cuando se trata <strong>de</strong> piezas <strong>de</strong> sección <strong>de</strong>lgada y<br />
abierta. Debe tenerse en cuenta que las tensiones <strong>de</strong> cortadura llevan la dirección <strong>de</strong> la forma exterior<br />
<strong>de</strong> la pieza.<br />
Ejemplo: cálculo <strong>de</strong> tensiones <strong>de</strong> cortadura en vigas <strong>de</strong> sección rectangular<br />
Deformaciones <strong>de</strong>bidas a esfuerzos cortantes<br />
La flexión produce unas <strong>de</strong>formaciones llamadas flechas y se calculan por medio <strong>de</strong> la elástica.<br />
Los esfuerzos cortantes producen también flechas. Para calcularlas se iguala el trabajo <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>formación aportado a la viga por el esfuerzo cortante a la energía elástica en cortadura.<br />
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Considérese la siguiente viga cargada tal que:<br />
Se toma una rebanada <strong>de</strong> la viga para estudiar el movimiento producido por el esfuerzo cortante.<br />
dx<br />
A<br />
γ<br />
B<br />
T<br />
x<br />
B’<br />
y<br />
El centro <strong>de</strong> gravedad se mueve <strong>de</strong> B a B’, y se <strong>de</strong>signa dy dicho movimiento (BB’=dy). Así, se<br />
verifica:<br />
dy<br />
γ =<br />
(34)<br />
dx<br />
El trabajo realizado por el esfuerzo cortante contra la pieza es:<br />
1 1<br />
dW = ⋅ T ⋅ dy = ⋅ T ⋅ γ ⋅<br />
2 2<br />
La energía <strong>de</strong> <strong>de</strong>formación por unidad <strong>de</strong> longitud es:<br />
2<br />
1 T<br />
U = ⋅<br />
2 G ⋅ℵ<br />
Don<strong>de</strong> ℵ es la sección equivalente en cortadura.<br />
Así, la energía elástica absorbida por el elemento dx será:<br />
1 T<br />
dU = ⋅ ⋅ dx<br />
2 G ⋅ℵ<br />
El trabajo aportado <strong>de</strong>be ser igual a la energía elástica <strong>de</strong>l esfuerzo cortante:<br />
1<br />
1 T<br />
dW = ⋅ T ⋅ γ ⋅ dx = dU = ⋅ ⋅ dx<br />
2<br />
2 G ⋅ℵ<br />
Entonces, la ecuación <strong>de</strong> la elástica <strong>de</strong>bido al esfuerzo cortante resulta:<br />
dy T<br />
= (35)<br />
dx ℵ⋅ G<br />
A esta expresión <strong>de</strong>be añadírsele una constante <strong>de</strong> integración C 1 :<br />
dy<br />
dx<br />
La sección equivalente en cortadura es:<br />
2<br />
dx<br />
T<br />
= + C 1 (36)<br />
ℵ⋅ G<br />
2<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 18 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
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Sección rectangular <strong>de</strong> área A:<br />
Sección circular <strong>de</strong> área A:<br />
En general: ℵ =<br />
<br />
<br />
2<br />
z<br />
I<br />
S<br />
2<br />
I<br />
e<br />
⋅ dy<br />
⋅ dy<br />
ℵ =<br />
5<br />
ℵ =<br />
6<br />
A<br />
<strong>1.</strong>185<br />
A<br />
<strong>1.</strong>5.6. TORSIÓN<br />
Cualquier vector colineal con un eje geométrico <strong>de</strong> un elemento mecánico se <strong>de</strong>nomina torsor.<br />
Consi<strong>de</strong>remos las siguientes hipótesis:<br />
Sobre el cilindro actúa un torsor puro (mismo momento torsor en cualquier sección), y las<br />
secciones transversales analizadas están lejos <strong>de</strong> cambio <strong>de</strong> sección y lejos <strong>de</strong> punto <strong>de</strong><br />
aplicación <strong>de</strong> carga.<br />
Secciones transversales plana y paralelas antes <strong>de</strong> aplicación <strong>de</strong>l torsor permanecen así<br />
<strong>de</strong>spués <strong>de</strong> torsión, y líneas <strong>de</strong> rectas permanecen rectas.<br />
Se cumple la ley <strong>de</strong> Hooke<br />
Considérese un cilindro empotrado sometido a un momento torsor. Sobre un elemento dx a una<br />
distancia <strong>de</strong>l eje X, el torsor provoca una <strong>de</strong>formación angular γ tal que τ = G ⋅ γ .<br />
Figura 9 - Barra circular sometida a TORSOR<br />
Por otro lado, asumiendo régimen elástico lineal, las <strong>de</strong>formaciones se asumen pequeñas, y por<br />
lo tanto:<br />
ρ ⋅ θ<br />
tan( γ ) = γ = (37)<br />
L<br />
Y sustituyendo esta expresión en la ecuación <strong>de</strong> elasticidad perfecta:<br />
ρ ⋅ θ<br />
τ = G ⋅ (38)<br />
L<br />
Tomando una sección cualquiera <strong>de</strong>l cilindro:<br />
dT = ρ ⋅ dF = ρ ⋅ τ ⋅ dA (39)<br />
- 19 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
E integrando,<br />
ρ ⋅ θ θ<br />
T = <br />
2<br />
ρ ⋅ dF = ρ ⋅ τ ⋅ dA = ρ ⋅ G ⋅ ⋅ dA = G ⋅ ρ ⋅ dA = G ⋅ ⋅Ip<br />
A <br />
(40)<br />
A<br />
L L<br />
A<br />
L<br />
A<br />
don<strong>de</strong> I p se <strong>de</strong>fine como el momento polar <strong>de</strong> inercia.<br />
Y <strong>de</strong>spejando el ángulo <strong>de</strong> giro:<br />
T ⋅L<br />
θ = (41)<br />
G ⋅<br />
I p<br />
Con lo que la expresión (38) se reescribe:<br />
T ⋅ρ<br />
τ = (42)<br />
I p<br />
Las conclusiones que se <strong>de</strong>rivan son:<br />
El ángulo máximo <strong>de</strong> giro θ (Ecuación 41) se produce en el extremo <strong>de</strong>l cilindro, y en la<br />
sección empotrada el ángulo <strong>de</strong> giro es nulo (<strong>de</strong>finición <strong>de</strong> empotramiento).<br />
La tensión a cortadura máxima se produce en la periferia <strong>de</strong>l cilindro, =R, luego<br />
T ⋅R<br />
τ (R) = . En el eje <strong>de</strong>l cilindro, =0, luego τ(0)=0.<br />
I p<br />
Ip se <strong>de</strong>fine como el momento polar <strong>de</strong> inercia:<br />
En secciones macizas: I<br />
p<br />
π⋅D<br />
=<br />
32<br />
4 4<br />
π ⋅ ( Dext<br />
− Dint<br />
)<br />
En secciones huecas:<br />
I<br />
p<br />
=<br />
4<br />
32<br />
En barras no circulares, el cálculo a torsión resulta difícil, por lo que se emplea el método <strong>de</strong><br />
elementos finitos. La fórmula aproximada para calcular la tensión a cortadura máxima en una sección<br />
rectangular <strong>de</strong> ancho w y espesor t (se consi<strong>de</strong>ra la dimensión más corta) se presenta a continuación:<br />
T t <br />
τ = ⋅ 3<br />
+ <strong>1.</strong>8 ⋅<br />
w ⋅ t w<br />
(43)<br />
max <br />
θ<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 20 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
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Cálculo <strong>de</strong>l momento torsor<br />
Elementos giratorios que transmiten potencia están sometidos a torsión.<br />
Potencia = Par ⋅ ϖ<br />
H<br />
giro<br />
rad<br />
<br />
s<br />
<br />
[ W] = T[ N·m ] ⋅n<br />
<br />
2π ⋅ T Lb·in<br />
H[ hp]<br />
=<br />
33.000 ⋅12<br />
[ ] ⋅n[ rpm] T[ Lb·in ] ⋅n[ rpm]<br />
=<br />
[ ] ⋅ V[ ft / min]<br />
63.000<br />
F Lb<br />
H[ hp]<br />
=<br />
33.000<br />
En las expresiones anteriores F es la fuerza aplicada en la periferia <strong>de</strong>l elemento, y V es la<br />
velocidad periférica.<br />
<strong>1.</strong>6. CÁLCULO DE DEFORMACIONES EN VIGAS<br />
<strong>1.</strong>6.<strong>1.</strong> DESARROLLO DE LA ECUACIÓN DE LA ELÁSTICA. PROCEDIMIENTO DE INTEGRACIÓN.<br />
Se parte <strong>de</strong> la ecuación <strong>de</strong> la elástica y mediante integración se obtienen los ángulos (dy/dx) y<br />
las flechas (y), expresión (25).<br />
M − =<br />
EI<br />
Este método no es siempre posible o recomendable (por ejemplo, cuando la sección es variable<br />
o la expresión <strong>de</strong>l momento flector en función <strong>de</strong> x es varía variable)<br />
d<br />
2<br />
dx<br />
y<br />
2<br />
<strong>1.</strong>6.3. TEOREMAS DE MOHR PARA LAS DEFORMACIONES, FLECHAS Y ÁNGULOS EN PUNTOS CONCRETOS.<br />
Primer teorema: Método <strong>de</strong> giros.<br />
Puesto que:<br />
M dφ<br />
M<br />
− = → dφ<br />
= − ⋅ dx (44)<br />
EI dx EI<br />
Integrando la ecuación anterior entre dos puntos A y B,<br />
φ<br />
B<br />
− φ<br />
A<br />
=<br />
B<br />
<br />
A<br />
−<br />
M<br />
⋅ dx<br />
EI<br />
La diferencia entre los ángulos <strong>de</strong> dos puntos o el giro total entre dos puntos es igual al área<br />
comprendida por la función entre estos dos puntos. Esto es el área que queda <strong>de</strong>bajo <strong>de</strong> la curva <strong>de</strong>l<br />
momento flector dividido por EI, entre los puntos A y B y con signo negativo.<br />
(45)<br />
- 21 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
Segundo teorema: Cálculo <strong>de</strong> flechas y <strong>de</strong>formaciones.<br />
Mediante este teorema se calcula la flecha en el punto B en relación con la tangente en el punto<br />
A y <strong>de</strong>notaremos dicha flecha como y B/A .<br />
don<strong>de</strong><br />
punto B.<br />
B<br />
M<br />
y B / A = xB<br />
⋅<br />
− ⋅ dx (46)<br />
EI<br />
A<br />
x B es la distancia <strong>de</strong>s<strong>de</strong> el centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong>l área <strong>de</strong> momentos entre A y B al<br />
Un valor positivo <strong>de</strong> y B/A significa que es hacia abajo, y un valor negativo se mi<strong>de</strong> <strong>de</strong>s<strong>de</strong> la<br />
tangente en B hacia arriba.<br />
Figura 9 - Segundo Teorema <strong>de</strong> Mohr.<br />
Ejemplos: viga empotrada con carga en extremo, viga empotrada con momento en<br />
extremo, viga biapoyada con momento en extremo.<br />
<strong>1.</strong>6.4. MÉTODO DE CASTIGLIANO<br />
Este método es útil para obtener las <strong>de</strong>formaciones o flechas <strong>de</strong>bidas a la flexión y para resolver<br />
problemas hiperestáticos.<br />
Establece que el movimiento en la dirección <strong>de</strong> un esfuerzo es igual a la <strong>de</strong>rivada parcial <strong>de</strong> la<br />
energía elástica total respecto <strong>de</strong>l esfuerzo.<br />
∂U<br />
ξ F = (47)<br />
∂F<br />
La energía elástica es el resultado <strong>de</strong>l trabajo originado por las solicitaciones internas (tracción,<br />
compresión, flexión, torsión,…)<br />
1 P<br />
Energía elástica en tracción y compresión: U =<br />
<br />
⋅ ⋅ dx<br />
2 EA<br />
1 1 P P<br />
dU = ⋅ σ ⋅ δ = ⋅ ⋅ ⋅ A ⋅ dx (48)<br />
2 2 A EA<br />
s<br />
2<br />
1 M<br />
Energía elástica en flexión: U =<br />
<br />
⋅<br />
2 EI<br />
s<br />
2<br />
⋅ dx<br />
1 1 M<br />
dU = ⋅M<br />
⋅ dφ<br />
= ⋅M<br />
⋅ ⋅ dx (49)<br />
2 2 EI<br />
1 Q<br />
Energía elástica a cortadura: U =<br />
<br />
⋅ ⋅ dx<br />
2 Gℵ<br />
s<br />
2<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 22 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
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1 1 Q<br />
dU = ⋅ Q ⋅ dγ<br />
= ⋅ Q ⋅ ⋅ dx (50)<br />
2 2 Gℵ<br />
1 T<br />
Energía elástica en torsión: U =<br />
<br />
⋅<br />
2 GI<br />
s<br />
2<br />
p<br />
⋅ dx<br />
1 1 T<br />
dU = ⋅ T ⋅ dθ<br />
= ⋅ T ⋅ ⋅ dx (51)<br />
2 2 GI<br />
p<br />
Con todo, la ecuación generalizada <strong>de</strong> la energía elástica es:<br />
2<br />
2<br />
2<br />
1 P 1 M 1 Q 1 T<br />
U = <br />
⋅ ⋅ dx + dx dx dx<br />
2 EA <br />
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅<br />
2 EI <br />
(52)<br />
2 Gℵ<br />
2 GI<br />
s<br />
s<br />
Y la ecuación generalizada <strong>de</strong> Castigliano resulta por lo tanto:<br />
ξ<br />
y<br />
∂U<br />
= =<br />
∂y<br />
1<br />
EA<br />
s<br />
s<br />
∂P<br />
1 ∂M<br />
1 ∂Q<br />
1 ∂T<br />
<br />
P ⋅ ⋅ dx + M ⋅ ⋅ dx + Q ⋅ ⋅ dx + T ⋅ ⋅ dx<br />
∂y<br />
EI<br />
∂y<br />
Gℵ<br />
∂y<br />
GI <br />
(53)<br />
∂y<br />
s<br />
s<br />
Mediante este método se pue<strong>de</strong> calcular también flechas o <strong>de</strong>formaciones en puntos <strong>de</strong> la viga<br />
don<strong>de</strong> no haya cargas aplicadas. Para ello, se coloca una fuerza ficticia en el punto cuya <strong>de</strong>formación<br />
se <strong>de</strong>sea calcular.<br />
✏ Imaginemos que <strong>de</strong>seamos calcular la flecha en el punto A:<br />
s<br />
2<br />
p<br />
p<br />
s<br />
P<br />
F<br />
Se coloca una fuerza ficticia F en el punto A.<br />
El momento flector total es el <strong>de</strong>bido a las cargas reales más a la carga virtual F.<br />
I<br />
f<br />
II<br />
f<br />
M = M + F ⋅M<br />
(54)<br />
don<strong>de</strong>:<br />
<br />
<br />
Así,<br />
I<br />
M f : momento flector <strong>de</strong>bido a las cargas reales<br />
II<br />
M f : momento flector <strong>de</strong>bido a la carga unitaria ficticia<br />
∂U<br />
1 ∂M<br />
ξ y = y A = = M ⋅ ⋅ dx<br />
∂F<br />
EI (55)<br />
∂F<br />
Luego:<br />
s<br />
I II ∂M<br />
( M + F ⋅M<br />
) ⋅ ⋅ dx<br />
1<br />
ξ y = y A = f f<br />
EI (56)<br />
∂F<br />
s<br />
A<br />
Como F=0 y<br />
∂M =<br />
∂F<br />
II<br />
M f<br />
, asumiendo que I es constante en la sección:<br />
- 23 DISEÑO DE MÁQUINAS I
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1 I II<br />
ξ y = y A = Mf<br />
⋅Mf<br />
⋅ dx<br />
EI (57)<br />
s<br />
Principio <strong>de</strong> Superposición<br />
Cuando en una sección hay tracción, torsión,…el efecto total <strong>de</strong> las tensiones en esa sección es<br />
igual a la suma <strong>de</strong> los efectos individuales.<br />
<strong>1.</strong>6.5. MÉTODO DE LA VIGA CONJUGADA<br />
Trata <strong>de</strong> utilizar una similitud matemática entre una serie <strong>de</strong> fórmulas. Consiste en cargar una<br />
viga real con el diagrama <strong>de</strong> momentos flectores dividido por EI.<br />
En esta viga conjugada los esfuerzos cortantes coinci<strong>de</strong>n con los giros <strong>de</strong> la viga real, y los<br />
momentos flectores coinci<strong>de</strong>n con las <strong>de</strong>formaciones o flechas <strong>de</strong> la viga real.<br />
Ejemplo: viga biapoyada con momento en extremo.<br />
<strong>1.</strong>7. PROBLEMAS ESTÁTICAMENTE INDETERMINADOS<br />
Son aquellos en los que el número <strong>de</strong> reacciones o fuerzas exteriores es superior al <strong>de</strong> las<br />
ecuaciones que plantea la estática.<br />
Para resolver este tipo <strong>de</strong> problemas existen dos métodos:<br />
Compatibilidad geométrica: consiste en plantear el <strong>de</strong>splazamiento compatible <strong>de</strong>l sistema.<br />
Método <strong>de</strong> Castigliano: consiste en consi<strong>de</strong>rar una reacción redundante como una fuerza<br />
exterior y plantear el cálculo <strong>de</strong>l grado <strong>de</strong> libertad restringido por dicha reacción redundante<br />
mediante Castigliano. Dicho grado <strong>de</strong> libertad será nulo, por lo que se obtiene una ecuación<br />
con una única incognita (la reacción redundante).<br />
<strong>1.</strong>8. PROPIEDADES DE SECCIONES<br />
<strong>1.</strong>8.<strong>1.</strong> CENTRO DE GRAVEDAD. MOMENTO ESTÁTICO DE PRIMER ORDEN.<br />
El centro <strong>de</strong> gravedad <strong>de</strong> una sección cualquiera se <strong>de</strong>fine mediante las coor<strong>de</strong>nadas<br />
tal forma que se cumplen las siguientes condiciones.<br />
x , y<br />
, <strong>de</strong><br />
<br />
A<br />
<br />
A<br />
( y − y)<br />
dA = 0<br />
( x − x) dA = 0<br />
y<br />
x<br />
dA<br />
y<br />
x<br />
Esto es el momento estático <strong>de</strong>l área respecto al eje que pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad.<br />
De las expresiones anteriores se <strong>de</strong>duce:<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 24 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
<br />
ydA<br />
A<br />
y = (58) y<br />
A<br />
<br />
xdA<br />
A<br />
x = (59)<br />
A<br />
Cuando el momento estático <strong>de</strong>l área es cero, significa que el eje pasa por el centro <strong>de</strong> gravedad<br />
<strong>de</strong> la sección, ya que en las expresiones anteriores el área no es nula con lo que el valor <strong>de</strong> la<br />
or<strong>de</strong>nada <strong>de</strong>be ser cero.<br />
Ejemplo: Cálculo <strong>de</strong>l c.d.g. <strong>de</strong> una viga en T<br />
<strong>1.</strong>8.2. MOMENTO DE INERCIA. MOMENTO ESTÁTICO DE SEGUNDO ORDEN.<br />
Se <strong>de</strong>fine como la suma <strong>de</strong> los productos <strong>de</strong> las áreas por las distancias al cuadrado.<br />
El momento <strong>de</strong> inercia respecto <strong>de</strong> un punto es:<br />
<br />
2<br />
I = r ⋅ dA (60)<br />
A<br />
o<br />
El momento <strong>de</strong> inercia respecto <strong>de</strong> un eje es:<br />
<br />
2<br />
I = y ⋅ dA (61)<br />
A<br />
xx<br />
<br />
2<br />
I = x ⋅ dA (62)<br />
A<br />
yy<br />
Se verifica:<br />
I = I + I (63)<br />
o<br />
xx<br />
yy<br />
Para calcular el momento <strong>de</strong> inercia respecto <strong>de</strong> un eje que no pasa por el <strong>de</strong>ntro <strong>de</strong> gravedad,<br />
se suele plantear el Teorema <strong>de</strong> Steiner:<br />
I<br />
2<br />
= Icg<br />
+ A ⋅ d (64)<br />
Ejemplo: Cálculo <strong>de</strong>l momento <strong>de</strong> inercia <strong>de</strong> viga en U.<br />
y<br />
O<br />
x<br />
r<br />
y<br />
dA<br />
x<br />
<strong>1.</strong>9. ESTADO PLANO DE TENSIONES<br />
Se estudia a continuación el caso<br />
en el que el elemento diferencial está<br />
sometido a tensiones paralelas a dos <strong>de</strong><br />
los ejes (X e Y en este caso) como se<br />
representan en la Figura 10 .<br />
En este caso, tal como se <strong>de</strong>duce<br />
<strong>de</strong> la figura, se cumple que:<br />
σ z = τ xz = τ yz = 0 (65)<br />
y, por lo tanto: τ zx = τ zy = 0.<br />
Figura 10 - Elemento en esfuerzo plano<br />
Supóngase conocidos (σ x , σ y , τ xy ) y que se quiere calcular (σ x1 , σ y1 , τ x1y1 ). Los ejes (x 1 , y 1 ) se<br />
obtienen a partir <strong>de</strong> (x, y) con un giro θ (en el sentido indicado en la Figura 11).<br />
- 25 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
Figura 11 - Elementos en esfuerzo plano<br />
Para relacionar (σ x , σ y , τ xy ) y (σ x1 , σ y1 , τ xy1 ) es útil acudir a la Figura 12, que permite establecer<br />
los esfuerzos que actúan sobre una cuña en esfuerzo plano.<br />
Figura 12 - Elemento en forma <strong>de</strong> cuña en esfuerzo plano (esfuerzos y fuerzas)<br />
Al analizar el equilibrio <strong>de</strong> este elemento se <strong>de</strong>ducen las siguientes relaciones:<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
σx 1<br />
= + cos2θ + τxy<br />
sen2θ<br />
(66)<br />
2 2<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
σy 1<br />
= − cos2θ − τxy<br />
sen2θ<br />
(67)<br />
2 2<br />
σx<br />
− σy<br />
τx y<br />
= − sen2θ + τxy<br />
cos2θ<br />
(68)<br />
1 1<br />
2<br />
don<strong>de</strong> se cumple que σ x1 +σ y1 =σ x +σ y<br />
El caso más general <strong>de</strong> esfuerzo plano se reduce a estados <strong>de</strong> esfuerzos más simples bajo<br />
condiciones especiales tal como se esquematiza en la Figura 13.<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 26 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
Figura 13 - Casos particulares <strong>de</strong> tensión plana (biaxial, uniaxial, cortante puro)<br />
<strong>1.</strong>9.<strong>1.</strong> ESFUERZOS PRINCIPALES Y ESFUERZOS CORTANTES MÁXIMOS<br />
Suponiendo un estado plano <strong>de</strong> tensiones y utilizando por tanto las expresiones anteriores, se<br />
quiere calcular el valor σ x1 máximo. Puesto que:<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
σx 1<br />
= + cos2θ + τxy<br />
sen2θ<br />
(69)<br />
2 2<br />
el máximo se obtendrá <strong>de</strong>rivando la expresión anterior:<br />
dσ<br />
x 1<br />
= 0 = −(<br />
σ<br />
x<br />
− σ<br />
y<br />
) sen2θ + 2τ<br />
xy<br />
cos 2θ<br />
(70)<br />
dθ<br />
<strong>de</strong>spejando se obtiene el ángulo θ p que cumple la ecuación (71)<br />
tg<br />
( 2 )<br />
2τ<br />
xy<br />
θ<br />
p<br />
=<br />
(71)<br />
σx<br />
− σy<br />
Habrá dos valores distintos <strong>de</strong> θ p que cumplen la ecuación (71) - y que difieren en 90º -. A los<br />
valores <strong>de</strong> los esfuerzos que correspon<strong>de</strong>n a los ejes <strong>de</strong>finidos por θ p los llamaremos esfuerzos (o<br />
tensiones) principales y tendrán lugar, por lo tanto, en planos perpendiculares entre sí. Los valores <strong>de</strong><br />
esas tensiones principales σ 1 y σ 2 se pue<strong>de</strong>n obtener sustituyendo (θ p ) y (θ p +90º) respectivamente en<br />
la ecuación (69)<br />
2<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
2<br />
σ<br />
1<br />
= + + τxy<br />
(72)<br />
2<br />
<br />
<br />
2<br />
<br />
σx<br />
+ σy<br />
σx<br />
− σy<br />
2<br />
σ<br />
2<br />
= −<br />
+ τxy<br />
2<br />
<br />
(73)<br />
2 <br />
2<br />
Si se consi<strong>de</strong>ra ahora la ecuación (68) que proporciona el esfuerzo cortante:<br />
τ<br />
x y<br />
σ<br />
= −<br />
x<br />
1 1<br />
2<br />
− σ<br />
y<br />
sen2θ + τ cos 2θ<br />
(74)<br />
p xy p<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> se pue<strong>de</strong> <strong>de</strong>ducir que, sustituyendo el valor <strong>de</strong> tg(2θ p ) que proporciona la ecuación<br />
(71) en la ecuación (74), τ x1y1 = 0. Por tanto, los esfuerzos cortantes son nulos sobre los planos<br />
principales.<br />
De la misma forma que se ha hecho para σ x1 , calcularemos ahora el valor <strong>de</strong> θ para el que τ x1y1<br />
es máximo. Recuér<strong>de</strong>se que:<br />
τ<br />
x y<br />
σ<br />
= −<br />
x<br />
1 1<br />
2<br />
− σ<br />
y<br />
sen2θ + τ cos 2θ<br />
(75)<br />
Derivando e igualando a cero la <strong>de</strong>rivada,<br />
dτ<br />
x y<br />
dθ<br />
1 1<br />
xy<br />
= 0 = −( σ − σ )cos 2θ + 2τ sen2θ<br />
(76)<br />
x y xy<br />
- 27 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>de</strong> don<strong>de</strong> <strong>de</strong>spejando se obtiene el ángulo θ s que cumple la ecuación (77)<br />
tg<br />
σ<br />
x<br />
− σ<br />
y<br />
θ<br />
s<br />
= −<br />
(77)<br />
2τ<br />
( 2 )<br />
xy<br />
La ecuación (77) proporciona también dos valores <strong>de</strong> θ s que difieren 90º. Comparando θ s con θ p<br />
se obtiene la siguiente relación<br />
tg<br />
− 1<br />
θ<br />
s<br />
= θs<br />
= θp<br />
± 45°<br />
(78)<br />
tg<br />
( 2 )<br />
( 2θ<br />
)<br />
p<br />
De la ecuación (78) se <strong>de</strong>duce que los planos <strong>de</strong> esfuerzo cortante máximo están orientados a<br />
45º <strong>de</strong> los planos principales.<br />
Si ahora se calcula τ max para θ = θ s a partir <strong>de</strong> las ecuaciones (77) y (74), se obtiene la siguiente<br />
expresión<br />
σ<br />
x<br />
− σ<br />
y <br />
2<br />
τ<br />
max<br />
= <br />
+ τ<br />
xy (79)<br />
2 <br />
2<br />
y recordando las expresiones <strong>de</strong> σ 1 y σ 2 , (72) y (73):<br />
σ1<br />
− σ<br />
2<br />
τ<br />
max<br />
=<br />
(80)<br />
2<br />
<strong>1.</strong>9.2. CÍRCULO DE MOHR<br />
Partiendo <strong>de</strong> las ecuaciones ya conocidas en las que σ x1 y τ x1y1 se obtienen en función <strong>de</strong> σ x ,<br />
σ y , τ xy :<br />
σ<br />
x<br />
+ σ<br />
y<br />
σ<br />
x<br />
− σ<br />
y<br />
σ<br />
x 1<br />
= + cos 2θ + τ<br />
xy<br />
sen 2θ<br />
2 2<br />
σ<br />
x<br />
− σ<br />
y<br />
τ<br />
x y<br />
= − sen2θ + τ<br />
xy<br />
cos 2θ<br />
1 1<br />
2<br />
Las dos ecuaciones anteriores se pue<strong>de</strong>n reor<strong>de</strong>nar, elevando al cuadrado y sumando para<br />
obtener una expresión en la que los distintos valores (σ x1 , τ x1y1 ), cuando varía θ, forman un círculo que<br />
en unos ejes (σ x , τ xy ):<br />
σ<br />
tiene por centro el punto <br />
<br />
tiene un radio <strong>de</strong> valor igual a<br />
x<br />
+ σ<br />
2<br />
y<br />
σ<br />
<br />
<br />
<br />
,0<br />
<br />
x<br />
− σ<br />
2<br />
y<br />
Luego conocidos (σ x , σ y , τ xy ) es útil una representación conocida por círculo <strong>de</strong> Mohr (Figura 14)<br />
en el que po<strong>de</strong>mos reconocer las direcciones principales, las tensiones principales y las tensiones en<br />
cualquier otro plano <strong>de</strong> una forma gráfica y sencilla.<br />
<br />
<br />
2<br />
+ τ<br />
2<br />
xy<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 28 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
La convención <strong>de</strong> signos que se adopta para la construcción <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> Mohr es la siguiente:<br />
esfuerzos cortantes positivos son aquellos que estén <strong>de</strong> acuerdo al sentido <strong>de</strong> giro <strong>de</strong> las manecillas<br />
<strong>de</strong>l reloj. Esto significa que en dicha figura, τ yx es positivo y τ xy negativo. Los esfuerzos normales<br />
siguen el criterio <strong>de</strong> la convención clásica.<br />
La construcción <strong>de</strong>l circulo <strong>de</strong> Mohr se lleva a cabo teniendo en cuenta que:<br />
- para θ = 0 σ x1 = σ x τ x1y1 = τ xy<br />
- para θ = 90º σ y1 = σ y τ x1y1 = -τ xy<br />
En este círculo se representan los esfuerzos normales en abscisas y los esfuerzos cortantes en<br />
or<strong>de</strong>nadas.<br />
Los esfuerzos normales positivos (tracción) se marcan a la <strong>de</strong>recha <strong>de</strong>l origen O, y los negativos<br />
(compresión) a la izquierda <strong>de</strong>l origen O.<br />
Los esfuerzos cortantes positivos (sentido <strong>de</strong>l reloj) se trazan en or<strong>de</strong>nadas positivas y los<br />
esfuerzos cortantes negativos (sentido contrario <strong>de</strong>l reloj) se trazan en or<strong>de</strong>nadas negativas.<br />
Figura 14 - Círculo <strong>de</strong> Mohr para esfuerzo plano<br />
- 29 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
Es conveniente consi<strong>de</strong>rar los distintos estados tensionales posibles en el caso <strong>de</strong> tensión plana:<br />
σ1<br />
Caso 1: σ<br />
1<br />
> σ2<br />
> 0 . La máxima tensión <strong>de</strong> cortadura es τ<br />
max<br />
=<br />
2<br />
σ2<br />
Caso 2: 0 > σ1<br />
> σ2<br />
. La máxima tensión <strong>de</strong> cortadura es τ<br />
max<br />
=<br />
2<br />
σ1<br />
− σ2<br />
Caso 3: σ 1<br />
> 0,<br />
σ 2<br />
< 0 . La máxima tensión <strong>de</strong> cortadura es τ<br />
max<br />
=<br />
2<br />
La utilidad <strong>de</strong>l <strong>de</strong>sarrollo anterior pue<strong>de</strong> verse en el ejemplo que sigue. Supongamos que<br />
fuéramos capaces <strong>de</strong> <strong>de</strong>terminar las <strong>de</strong>formaciones unitarias con algún elemento <strong>de</strong> medida y<br />
quisiéramos <strong>de</strong>terminar las tensiones a las que está sometido el material en un punto <strong>de</strong>terminado, así<br />
como las direcciones principales y las tensiones en cualquier otra dirección. La pregunta es ¿cuántos<br />
elementos <strong>de</strong> medida harían falta?<br />
Supóngase que se colocan tres<br />
elementos (A, B, C) alre<strong>de</strong>dor <strong>de</strong> un punto<br />
O tal y como se indica en la Figura 15 y<br />
según unas referencias (x, y) que<br />
elegimos arbitrariamente.<br />
Si ahora se toman los ejes (x 1 , y 1 ),<br />
utilizando las ecuaciones <strong>de</strong><br />
transformación para <strong>de</strong>formación plana<br />
particularizadas para θ = 45º: Figura 15 - Situación <strong>de</strong> los ejes <strong>de</strong> referencia (ε x = ε a y ε y = ε c )<br />
De igual forma que se ha obtenido el círculo <strong>de</strong> Mohr para tensiones se pue<strong>de</strong> realizar el<br />
<strong>de</strong>sarrollo análogo para <strong>de</strong>formaciones. Así, se pue<strong>de</strong> plantear para la <strong>de</strong>formación a 45º la siguiente<br />
expresión:<br />
ε<br />
a<br />
+ ε<br />
c<br />
ε<br />
a<br />
− ε γ<br />
c<br />
xy<br />
ε<br />
x 1<br />
= ε<br />
b<br />
= + cos 90º + sen90º (81)<br />
2 2<br />
2<br />
<strong>de</strong>spejando se obtiene:<br />
γ (82)<br />
xy<br />
= 2ε<br />
b<br />
− ε<br />
a<br />
− ε<br />
c<br />
De esta manera, obtenidos ε x , ε y , γ xy se pue<strong>de</strong>n hallar σ x , σ y , τ xy y, posteriormente - con la<br />
ayuda <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> Mohr - las tensiones principales, las direcciones principales y las tensiones según<br />
cualquier otro eje.<br />
Obsérvese que la utilización <strong>de</strong> las realciones <strong>de</strong>l círculo <strong>de</strong> Mohr han sido necesarias para<br />
calcular la <strong>de</strong>formación angular. En la realidad, los elementos <strong>de</strong> medida que se emplean para medir<br />
<strong>de</strong>formaciones son galgas extensométricas pegadas en la superficie <strong>de</strong> la pieza cuya <strong>de</strong>formación<br />
puntual se quiera medir. En estos elementos, la variación relativa <strong>de</strong> resistencia que se produce en un<br />
hilo conductor cuando éste se <strong>de</strong>forma es proporcional mediante el factor <strong>de</strong> galga a la <strong>de</strong>formación.<br />
Estos elementos sólo pue<strong>de</strong>n medir <strong>de</strong>formaciones lineales, no angulares. De ahí la necesidad <strong>de</strong>l<br />
empleo <strong>de</strong> las relaciones <strong>de</strong>l Círculo <strong>de</strong> Mohr para caracterizar completamente el estado <strong>de</strong> tensiones<strong>de</strong>formaciones<br />
<strong>de</strong>l elemento.<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 30 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>1.</strong>10. ESTADO DE ESFUERZO TRIAXIAL<br />
Es la generalización <strong>de</strong> lo visto para estado <strong>de</strong> tensiones biaxial. Los esfuerzos principales se<br />
obtienen al calcular las tres raíces <strong>de</strong> la ecuación cúbica:<br />
3<br />
2<br />
σ − ( σ<br />
x<br />
+ σ<br />
y<br />
+ σ<br />
z<br />
) ⋅ σ +<br />
2 2 2<br />
( σ<br />
x<br />
σ<br />
y<br />
+ σ<br />
x<br />
σ<br />
z<br />
+ σ<br />
y<br />
σ<br />
z<br />
− τ<br />
xy<br />
− τ<br />
yz<br />
− τ<br />
zx<br />
) ⋅ σ −<br />
2<br />
2<br />
2<br />
( σ σ σ + 2τ<br />
τ τ − σ τ − σ τ − σ τ ) = 0<br />
x<br />
y<br />
z<br />
xy<br />
yz<br />
zx<br />
x<br />
yz<br />
y<br />
Al trazar los círculos <strong>de</strong> Mohr para esfuerzo triaxial se or<strong>de</strong>nan los esfuerzos principales tal que<br />
σ 1 > σ2<br />
> σ3<br />
. Las coor<strong>de</strong>nadas <strong>de</strong> esfuerzo σ N , τ N para un plano <strong>de</strong> localización arbitraria estarán<br />
<strong>de</strong>ntro <strong>de</strong>l área sombreada <strong>de</strong> la figura siguiente:<br />
xz<br />
z<br />
yx<br />
Figura 16 - Círculo <strong>de</strong> Mohr 3D.<br />
Los esfuerzos cortantes principales son:<br />
σ1<br />
− σ2<br />
τ<br />
1 / 2<br />
=<br />
(83)<br />
2<br />
σ2<br />
− σ3<br />
τ<br />
2 / 3<br />
=<br />
(84)<br />
2<br />
σ1<br />
− σ3<br />
τ<br />
1 / 3<br />
=<br />
(85)<br />
2<br />
Así, para σ 1 > σ2<br />
> σ3<br />
, el esfuerzo cortante máximo es τ 1/ 3 .<br />
- 31 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>1.</strong>11 ESFUERZOS OCTAÉDRICOS<br />
Considérese un elemento <strong>de</strong> esfuerzo que tienen unos esfuerzos principales σ 1 , σ2,<br />
σ3<br />
. Se corta<br />
dicho elemento por un plano que forme ángulos iguales con cada uno <strong>de</strong> los tres esfuerzos principales.<br />
Dicho plano se <strong>de</strong>nomina plano octaédrico. Las resultantes σ, τ en dicho plano se <strong>de</strong>nominan esfuerzo<br />
normal octaédrico y esfuerzo cortante octaédrico.<br />
Figura 17 - Esfuerzos Octaédricos<br />
2 2 2<br />
2<br />
2<br />
( τ + τ + τ ) ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ )<br />
2 ⋅<br />
1 / 2 2 / 3 1 / 3<br />
1 2 2 3 3 1<br />
τ<br />
oct =<br />
=<br />
=<br />
3<br />
3<br />
(86)<br />
=<br />
2<br />
2<br />
2<br />
2 2 2<br />
( σ − σ ) + ( σ − σ ) + ( σ − σ ) + 6 ⋅ ( τ + τ + τ )<br />
x<br />
y<br />
y<br />
( σ + σ + σ ) ( σx<br />
+ σy<br />
+ σz<br />
)<br />
z<br />
1 2 3<br />
σ<br />
oct<br />
=<br />
=<br />
(87)<br />
3<br />
3<br />
z<br />
3<br />
x<br />
xy<br />
xz<br />
yz<br />
2<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 32 -
DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES<br />
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>1.</strong>12. RELACIÓN TENSIÓN DEFORMACIÓN<br />
<strong>1.</strong>12.<strong>1.</strong> TENSIÓN PLANA<br />
Supóngase que existe una relación lineal entre la <strong>de</strong>formación <strong>de</strong> un material y la tensión a la<br />
que está sometido. La expresión más sencilla es la Ley <strong>de</strong> Hooke que relaciona tensión y <strong>de</strong>formación<br />
mediante el módulo <strong>de</strong> Young (E).<br />
Si consi<strong>de</strong>ramos el caso <strong>de</strong>l esfuerzo plano<br />
(Figura 18), la <strong>de</strong>formación unitaria según la dirección<br />
x - ε x - es provocada por σ x - en una cantidad σ x /E - y<br />
por σ y - en una cantidad -υσ y /E (efecto Poisson) -<br />
luego:<br />
( )<br />
1<br />
ε = σ − νσ<br />
E<br />
x x y<br />
(88)<br />
y <strong>de</strong> igual forma pue<strong>de</strong>n hallarse expresiones<br />
como (88) para ε y y ε z .<br />
Figura18 - Esfuerzo plano, biaxial<br />
A su vez, el esfuerzo cortante ocasiona una distorsión <strong>de</strong>l elemento diferencial, en forma <strong>de</strong><br />
<strong>de</strong>formación angular γ xy relacionada con τ xy a través <strong>de</strong>l módulo <strong>de</strong> cizalladura G. Luego las relaciones<br />
tensión/<strong>de</strong>formación pue<strong>de</strong>n expresarse - en el caso <strong>de</strong> tensión plana -:<br />
( )<br />
1<br />
ε = σ − νσ<br />
E<br />
x x y<br />
( )<br />
1<br />
ε = σ − νσ<br />
E<br />
ε<br />
γ<br />
y y x<br />
( σ )<br />
(89)<br />
(90)<br />
ν<br />
= − σ + (91)<br />
E<br />
z x y<br />
xy<br />
o bien;<br />
σ<br />
σ<br />
τ<br />
τ<br />
= (92)<br />
xy<br />
G<br />
( ε νε )<br />
E<br />
= +<br />
−<br />
2<br />
(93)<br />
1 ν<br />
x x y<br />
( ε νε )<br />
E<br />
= +<br />
−<br />
2<br />
(94)<br />
1 ν<br />
y y x<br />
xy<br />
= Gγ<br />
(95)<br />
xy<br />
- 33 DISEÑO DE MÁQUINAS I
© 2004 V. BADIOLA<br />
<strong>1.</strong>12.2. GENERALIZACIÓN<br />
Tipo <strong>de</strong> esfuerzo Deformaciones principales Esfuerzos principales<br />
Uniaxial<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
1<br />
2<br />
3<br />
σ1<br />
=<br />
E<br />
= −υ⋅ ε<br />
1<br />
= −υ⋅ ε<br />
1<br />
σ<br />
σ<br />
σ<br />
1<br />
2<br />
3<br />
= E ⋅ ε<br />
= 0<br />
= 0<br />
1<br />
Biaxial<br />
Triaxial<br />
ε<br />
ε<br />
ε<br />
1<br />
ε<br />
ε<br />
1<br />
2<br />
3<br />
σ1<br />
σ2<br />
= − υ⋅<br />
E E<br />
σ2<br />
σ1<br />
= − υ ⋅<br />
E E<br />
σ1<br />
σ2<br />
= −υ ⋅ − υ⋅<br />
E E<br />
ε E ⋅ ( ε + υ⋅ ε )<br />
2<br />
3<br />
σ1<br />
σ2<br />
σ3<br />
= − υ⋅ − υ ⋅<br />
E E E<br />
σ2<br />
σ1<br />
σ3<br />
= − υ ⋅ − υ⋅<br />
E E E<br />
σ3<br />
σ1<br />
σ2<br />
= − υ ⋅ − υ⋅<br />
E E E<br />
1<br />
2<br />
3<br />
1<br />
σ1<br />
=<br />
2<br />
1− υ<br />
E ⋅<br />
2<br />
σ2<br />
=<br />
2<br />
1− υ<br />
σ = 0<br />
3<br />
E ⋅ ε1<br />
⋅<br />
σ =<br />
E ⋅ ε2<br />
⋅<br />
σ =<br />
E ⋅ ε3<br />
⋅<br />
σ =<br />
2<br />
( ε + υ⋅ ε )<br />
( 1− υ) + υ ⋅E<br />
⋅ ( ε + ε )<br />
1− υ − 2υ<br />
( 1− υ) + υ ⋅E<br />
⋅ ( ε + ε )<br />
( 1− υ) + υ ⋅E<br />
⋅ ( ε + ε )<br />
2<br />
1− υ − 2υ<br />
1− υ − 2υ<br />
2<br />
2<br />
1<br />
2<br />
1<br />
1<br />
3<br />
3<br />
2<br />
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 34 -