5. Vibraciones en Máquinas - Ingeniería Mecánica Aplicada y ...

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
5. Vibraciones en
Máquinas
Una vibración es una pequeña oscilación alrededor de la posición de equilibrio.
Los movimientos vibratorios en máquinas se presentan cuando sobre las piezas elásticas actúan
fuerzas variables. Generalmente, estos movimientos son indeseables, aún cuando en algunos casos
(transportadores vibratorios, p.e) se diseñan deliberadamente en la máquina.
El análisis de las vibraciones requiere el siguiente procedimiento general:
Evaluar las masas y la elasticidad de las piezas a estudio
Calcular la cantidad de rozamiento actuante
Idealizar el implemento mecánico real, reemplazándolo por un sistema aproximadamente
equivalente de masas, resortes y amortiguadores
Escribir la ecuación diferencial de movimiento del sistema idealizado
Resolver la ecuación e interpretar los resultados
El sistema ideal más sencillo consiste de una masa única, un resorte único y un amortiguador,
como muestra la siguiente figura. Este sistema se define como un sistema de un grado de libertad.
Figura 1
La ecuación diferencial de movimiento para este sistema es:
m x
+ cx
+ kx = F(t) (1)
- 81 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
Donde:
m: masa
k: constante del resorte (fuerza por unidad de deformación)
c: constante de amortiguamiento (fuerza por unidad de velocidad). Se supone que el
amortiguamiento es viscoso, es decir, que la fuerza resistente es proporcional a la velocidad.
F(t): fuerza externa, función del tiempo
x: desplazamiento de la masa desde la posición de equilibrio estático
x , x
: derivadas primera y segunda respectivamente de x con respecto a t.
Cualquier sistema de un solo grado de libertad puede describirse por medio de la misma forma
de ecuación diferencial escrita anteriormente, si la fuerza del resorte es proporcional al desplazamiento
y la fuerza de rozamiento es proporcional a la velocidad. Para el sistema general de un solo grado de
libertad podemos escribir:
m x
+ c x
+ k x F(t) (2)
e e e =
Donde m e ,c e ,k e son la masa equivalente, la constante de amortiguamiento equivalente y la
constante del resorte equivalente, respectivamente. El desplazamiento x puede ser lineal o angular.
Ejemplo:
5.1. VIBRACIONES LIBRES
Se presentan cuando después de una perturbación inicial, no existe ninguna fuerza externa de
excitación, esto es, F(t)=0. La ecuación diferencial es:
m x
+ c x
+ k x 0 (3)
e e e =
Se buscan soluciones de la forma: x = C ⋅ e
Así, la solución de esta ecuación puede escribirse:
Donde:
s⋅t
x = A ⋅ e
s ⋅t
s2⋅t
+
⋅
1
B e
s
2
c e
c e
k e
1 = − + −
2m
e 2m
y
e me
s
2
c e
c e
k e
2 = − − −
2m
e 2m
(4) y (5)
e me
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 82 -

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
y A 1 y B son constantes determinadas por las condiciones iniciales.
Al valor
2 k e ⋅ m e se denomina amortiguamiento crítico c c.
Se define el amortiguamiento relativo como el cociente entre el amortiguamiento real y el
amortiguamiento crítico.
c
c
e
ξ = (6)
c
Se pueden distinguir tres casos:
c e
CASO 1: AMORTIGUAMIENTO SUPERCRÍTICO (ξ >1)
2m
e
2
k
>
m
e
e
→ c
e
> 2
Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas, reales y negativas:
x
s1⋅t
s2⋅t
= A ⋅ e + B ⋅ e (7)
La solución no es del tipo ondulatorio sino que es del tipo exponencial decreciente, y tiende
antes a cero conforme mayor es el amortiguamiento c e :
x=x o
x
k
e
⋅m
e
Figura 2
Esta situación no es real es sistemas mecánicos ordinarios.
t
CASO 2: AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO (ξ =1)
c e
2m
e
2
k
=
m
e
e
→ c
e
= 2
k
e
⋅m
Las raíces de la ecuación son dos soluciones iguales, reales y negativas:
x
( A + B)
ce
− ⋅t
2m
e
= ⋅ e (8)
Si el amortiguamiento es igual o mayor que el crítico, entonces la solución de la ecuación para
vibraciones libres no contiene términos periódicos. La masa, después de la perturbación inicial, regresa
a la posición de equilibrio pero no oscila. Es decir, en este caso, al igual que en el caso 1, la solución
no es del tipo ondulatorio sino del tipo exponencial decreciente.
El Caso 1 corresponde con ξ > 1 y el Caso 2 con ξ = 1.
e
- 83 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
Figura 3
CASO 3: AMORTIGUAMIENTO SUBCRÍTICO (ξ >1)
ce
2m
e
2
ke
<
m
e
→ c
e
< 2
Las raíces de la ecuación son dos soluciones distintas y complejas.
k
e
⋅ m
e
= c
c
x = −A
⋅e
x = X ⋅ e
ce
− ⋅t
2m
−α⋅t
e
⋅sin
⋅ e
j⋅
ke
ce
−
m
e 2m
e
( w t + γ)
d
2
⋅t
+ B
(10)
donde las constantes X,
γ se determinan de las condiciones iniciales.
c
e
α = (11)
2m e
(9)
w
d
2
k e
c e
= −
m
e 2m
(12)
e
sería
w d es la frecuencia amortiguada del sistema. Si el amortiguamiento fuera cero, la frecuencia
k
e
w n = , la cual se llama frecuencia natural.
me
Figura 4
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 84 -

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
Caso particular: amortiguamiento nulo (ejes)
En este caso, x = X ⋅ sin( w d t + γ)
. El sistema tras la perturbación inicial se queda oscilando de
forma indefinida ya que no ha rozamiento. La frecuencia de oscilación es
k
= w (13)
e
w d =
me
n
Figura 5
5.2. VIBRACIONES FORZADAS
En este caso, se considera que actúa la fuerza armónica F(t)
= F sin( wt)
( wt)
m x
+ c x
+ k x = F(t) F sin (14)
e e e =
o
La solución de la ecuación diferencial es la dada anteriormente para vibraciones libres,
adicionada de una integral particular. La solución puede escribirse en la forma:
x = X ⋅ e
−α⋅t
⋅ sin
( w t + γ) + Y ⋅ sin( wt − φ)
d
La primera parte de la expresión anterior representa la vibración transitoria, la cual desaparece
con el tiempo. La segunda parte se llama vibración en estado estacionario y es la parte que
generalmente presenta más interés, ya que superado el periodo transitorio, el sistema permanecerá
oscilando con una amplitud Y y una frecuencia w.
(15)
o
Figura 6
- 85 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
Conclusiones:
Para un sistema determinado (definido k,m,c), la amplitud Y depende de la frecuencia w:
Y
o
= (16)
2 2
( k − m w) + c w
e
e
F
e
La función Y=Y(w) tiene un máximo, que se produce en la frecuencia crítica w c .
Y
max
c
→ w Y,max = w c = w n 1−
2
c
(17)
c
2
Cuando la frecuencia de la excitación coincide con w c , la deformación que se produce es
máxima. Si c ≈ 0 , entonces w c = w n .
No se debe trabajar en un eje en las proximidades de la velocidad crítica, ya que se producirán
amplitudes máximas. Cuando un sistema trabaja a frecuencias cercanas a la velocidad crítica, se dice
que se produce la resonancia. La frecuencia de operación (velocidad de giro del eje) se limita por ello a
w ≤ 0.65 ⋅
o w c
5.3. VELOCIDAD CRÍTICA EN EJES
Todos los ejes, aun sin la presencia de cargas externas, se deforman durante la rotación. La
magnitud de la deformación depende de la rigidez del eje y de sus soportes, de la masa total del eje, y
de las piezas que se le añaden, del desequilibrio de la masa con respecto al eje de rotación y del
amortiguamiento presente en el sistema.
La deformación, considerada como una función de la velocidad de giro del eje, presenta sus
valores máximos en las llamadas velocidades críticas. Un sistema de 1 masa, será un sistema de 1 gdl,
y tendrá 1 velocidad crítica. Para sistemas de n masas, esto es n gdl, habrán n velocidades críticas.
Normalmente, sólo la velocidad crítica más baja (primera) y ocasionalmente la segunda tienen
relevancia. Las otras son generalmente tan altas que están muy alejadas de la s velocidades de
operación.
En la primera velocidad crítica, la flexión del eje sigue la forma más sencilla posible. En la
segunda, la flexión sigue la segunda forma más sencilla, etc. Por ejemplo, un eje soportado en sus
extremos y con dos masas relativamente grandes (en comparación con la del eje), se deforma según la
configuración mostrada en las figuras siguientes, cuando rota en la primera y la segunda velocidad
crítica respectivamente.
Figura 7
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 86 -

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
Para un eje que lleva una sola masa, y asumiendo que su masa es pequeña en comparación con
la masa que lleva unida:
Donde:
Figura 8
• x: deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa
• e: excentricidad
• k =
mw
2
fuerza
deformación
mw e
+ (18)
k − mw
( x e) = kx → x =
2
2
De la ecuación anterior se deduce que si la excentricidad e es nula, la deformación x del eje
también será nula, salvo que se cumpla que
indeterminación.
2 k
k = mw → w = . Entonces,
m
2 ⋅
mw 0
x = ,
0
Por lo tanto, si la excentricidad es nula, el único valor de velocidad en el cual se puede producir
deformación del eje se denomina frecuencia natural de oscilación w n , y viene dada por la expresión
siguiente:
k
w n = (19)
m
Sea W el peso de la masa W = mg y δ la deformación estática (deformación producida por una
fuerza W = mg , en el punto de localización de la masa, esto es, deformación debida a su propio
peso), y g es la constante de gravitación.
- 87 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
W
m =
g
k W δ g
→ w n = = = . Este valor es la primera velocidad crítica del eje.
W m W g δ
k =
δ
Puesto que hemos considerado un sistema de 1 gdl, será la única velocidad crítica.
Para un eje de masa despreciable con varias masas concentradas unidas a él (n grados de
libertad) existen distintos métodos de cálculo de las n velocidades críticas:
Método de Rayleigh: proporciona una aproximación para la primera velocidad crítica de un
sistema de masas múltiples (sobrestimación)
Método de ecuación de frecuencias: proporciona valores exactos de las n velocidades, pero
resulta un método complejo para n>3
Método de Dunkerley: proporciona otra aproximación para la primera velocidad crítica de un
sistema de masas múltiples (subestimación)
Obsérvese que las ecuaciones de Rayleigh y Dunkerley son aproximaciones a la primera
frecuencia natural de vibración, la cual se supone igual a la velocidad crítica de rotación (caso para
c=0). En general, la ecuación de Rayleigh sobrestima la frecuencia natural, mientras que la de
Dunkerley la subestima.
5.3.1. MÉTODO DE RAYLEIGH
Consideremos un eje con n masas, y asumamos rozamiento nulo. Designemos por y la
deformación del eje durante la rotación, en el punto de localización de la masa. Sean δ las
deformaciones debidas a los pesos.
La energía cinética del sistema es:
Figura 9
2
1
2 1
2 1
2 w
2
E
c
= m1
⋅ ( w ⋅ y1) + m2
⋅ ( w ⋅ y
2
) + ... + mn
⋅ ( w ⋅ y
n
) = ⋅mn
⋅ y
n
(20)
2
2
2
2
La energía cinética adquirida es igual al trabajo de deformación necesario para llevar las masas
a las posiciones y , y ,..., . Este trabajo de deformación es:
1 2
y
n
1 1
1
Wd
= F1
⋅ y
1
+ F2
⋅ y
2
+ ... + F
2 2
2
gualando las expresiones, se obtiene:
k
n
⋅ y
2
n
w = (21)
2
m ⋅ y
n
n
2
n
⋅ y
n
=
1
k
2
1
⋅ y
2
1
+
1
k
2
2
⋅ y
2
2
+ ... +
La aproximación de Rayleigh consiste en considerar que las deformaciones o amplitudes Y son
proporcionales a las deformaciones debidas a los pesos δ :
1
k
2
n
⋅ y
2
n
1
=
2
k
n
⋅ y
2
n
I
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 88 -

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
y
i
Y como:
= C ⋅ δ (22)
Wi
mi = y k
g
sustituyendo,
i
⋅
W
i
i = (23)
δi
g W ⋅ δ
2
n n
w =
(24)
2
W ⋅ δ
n
n
de donde se obtiene la primera velocidad crítica:
⋅
g Wn
⋅ δn
w c1 =
(25)
2
W ⋅ δ
n
n
La misma ecuación puede usarse para calcular la primera velocidad crítica de un eje que tiene
una masa distribuida.
Figura 10
Se divide la masa distribuida en un número de partes, m 1 ,m 2 , etc. Se considera la masa de cada
parte como si estuviera concentrada en su propio centro de gravedad. La experiencia da el número de
subdivisiones que debe usarse, pero puede verse que con una partición no muy refinada se obtiene
una buena precisión.
Para un eje sin masas adicionales, se deduce que:
w
c
5 g
= ⋅
(26)
4 δ
max
δ max
Figura 11
- 89 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
5.3.2. MÉTODO DE ECUACIÓN DE FRECUENCIAS
Este método permite el cálculo exacto de las n velocidades críticas de un eje.
Se plantea el análisis para un sistema de dos masas, y luego se extrapolará para el caso general
de n masas.
La ecuación que se plantea es la ecuación de frecuencias, e incluye unos factores que se
denominan coeficientes de influencia y que se definen a continuación.
a 11 : deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1
a 22 : deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 2
a 12 : deformación obtenida en el punto 1 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 2
a 21 : deformación obtenida en el punto 2 debido a una carga unitaria aplicada en el punto 1
Debido al teorema de reciprocidad de Maxwell, se cumple que a 12 =a 21
Figura 12
Demostración del método
F
F
c1
c2
= m w
1
= m
2
w
2
2
y
1
y
2
(27)
Las deformaciones son:
y
y
1
2
= a
= a
11
21
⋅F
c1
⋅F
c1
+ a
+ a
12
22
⋅F
c2
⋅F
c2
(28)
Luego, sustituyendo las expresiones (27) en (28),
y
y
1
2
= a
= a
11
21
⋅m w
1
1
2
⋅m w
2
y
y
1
1
+ a
+ a
12
22
⋅m
2
⋅m
2
w
w
2
2
y
y
2
2
(29)
Dividiendo ambas expresiones por w 2 y transformando el sistema anterior en uno homogéneo:
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 90 -

DPTO. INGENIERÍA MECÁNICA, ENERGÉTICA Y DE MATERIALES
© 2004 V. BADIOLA
a
11
⋅m
1
−
w
y
( a ⋅m
)
( a ⋅m
) y + a
⋅m
− y
= 0
21
1
1
1
2
1
22
+
2
12
1
w
2
2
y
2
2
= 0
(30)
Para que exista una solución distinta de la trivial nula, el determinante del sistema homogéneo
anterior debe ser nulo:
a
11
⋅m
1
−
w
( a ⋅m
)
21
1
1
2
a
( a ⋅m
)
22
12
⋅m
Desarrollando este determinante:
2
2
1
−
w
2
= 0
(31)
1 1
a ⋅ m1
− ⋅ a22
⋅m
2
2 − −
2 21 1 12 2
w w
1
w
( a ⋅m
) ⋅ ( a ⋅m
) 0
11 =
4
−
1
( a m + a m ) ⋅ + ( a a − a a ) m m = 0
11
1
22
2
w
2
( a m + a m ) ⋅ x + ( a a − a a ) m m = 0
2
x − 11 1 22 2 11 22 12 21 1 2
x
1,2
11
22
2
( a m + a m ) ± ( a m + a m ) − 4( a a − a a )
12
11 1 22 2 11 1 22 2 11 22 12 21 m1m
2
= (32)
2
Se obtienen así dos soluciones positivas y dos soluciones negativas. Las soluciones negativas
no tienen sentido físico, ya que no existen frecuencias negativas. Las soluciones positivas son las
velocidades críticas w c1
y w c2
, tal que: w c2
> w c1
Para sistemas con más de dos masas, el cálculo del determinante se vuelve complejo, e
interesará más obtener la solución aproximada por otro método (Rayleigh, p.e)
Las unidades de los coeficientes a ij son
21
L
m
=
F
N
1
2
- 91 DISEÑO DE MÁQUINAS I

© 2004 V. BADIOLA
5.3.3. MÉTODO DE DUNKERLEY
De la ecuación de frecuencias se deduce una ecuación aproximada llamada de Dunkerley, para
el cálculo de la primera velocidad crítica.
1
w
2
c1
1
+
w
2
c2
= a
11
m
1
+ a
22
m
2
, ya que + x = b (33)
x1 2 −
Se puede despreciar el término en w c22 , ya que
1
w c
2
1
>>
1
w
2
c2
, con lo que:
w
= a
W
⋅
g
W
⋅
g
1 1
2 11 22
11m1
+ a22m2
= a11
+ a
2
22 = +
g g
c1
Ya que δ
11
= a11
⋅ W1
y δ
22
= a
22
⋅ W2
.
δ
δ
(34)
Y como
w =
g
δ
→ w
2
g
= , sustituyendo en la expresión anterior,
δ
1
w
2
c1
1
=
w
2
1
1
+
w
2
2
(35)
w 1 : frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 1.
w 2 : frecuencia natural o crítica del eje si sólo tuviera la masa 2.
Así, en general
δ
w
…
δ
w
11
1
nn
n
w
1
= a
=
= a
=
2
c1
11
k1
m
nn
⋅ W
1
k
m
n
n
1
=
⋅ W
=
W1
m δ
1
n
11
Wn
m δ
nn
=
m1g
m δ
1
n
11
mng
m δ
1 1 1
= + + ... + (36)
w w w
2
1
2
2
=
2
n
nn
=
=
g
δ
11
g
δ
nn
→ w
1
→ w
Es muy importante distinguir entre δ e y. Recordemos que y designa la deformación del eje
durante la rotación a la frecuencia crítica. Debido al fenómeno de resonancia, esta deformación es
superior a la correspondiente a la deformación correspondiente a los pesos δ .
=
n
=
a
11
a
g
⋅ W
nn
1
g
⋅ W
n
DISEÑO DE MÁQUINAS I - 92 -