TEMA 2-ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE ORDEN 1

TEMA 2-ECUACIONES
DIFERENCIALES ORDINARIAS DE
ORDEN 1
2.1 - Ecuaciones diferenciales elementales
2.1.1 - Ecuaciones separables
Denición: Una EDO de orden 1 F (t, y, y ′ ) se dice separable si puede
ser escrita de la forma
Resolución:
A(t)dt = B(y)dy
∫
A(t)dt =
∫ t
(
y ′ = A(t)
)
B(y) , y′ = C(t)D(y)
∫
t 0
A(t)dt =
B(y)dy + K
∫ y
y 0
B(y)dy
Ejercicio: El ritmo al que se enfría un cuerpo caliente es proporcional
a la diferencia de temperatura entre él y el ambiente que lo rodea (ley
de enfriamiento de Newton). Un cuerpo se calienta a 110 o C y se expone
al ambiente a una temperatura de 10 o C. Al cabo de una hora su temperatura
es de 60 o C. ¾Cuánto tiempo adicional debe transcurrir para que
se enfríe a 30 o C?
2.1.2 - Ecuaciones reducibles a separables
2.1.2.1 - Ecuaciones homogéneas
Denición: f(x, y) es una función homogénea de grado n si
f(λx, λy) = λ n f(x, y)
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Denición: Una EDO de primer orden
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
es homogénea si M y N son funciones homogéneas del mismo grado.
Nota: Deniciones equivalentes a la anterior son:
• y ′ = f(x, y) es homogénea si f(x, y) es homogénea de grado 0
• y ′ = f
( y
x)
Resolución: Con el cambio u = y se llega a una ecuación diferencial
x
de variables separables.
2.1.2.2 - Ecuaciones reducibles a homogéneas
y ′ =
at + by + c
dt + ey + f
(
y ′ = f
( at + by + c
dt + ey + f
• c = f = 0 es homogénea
• b = e = 0 o a = d = 0 es de variables separables
• ae − bd ≠ 0
Resolución: Se hace el cambio
t = x + t 0
))
y = u + y 0
donde (t 0 , y 0 ) es el punto de corte de las rectas at + by + c = 0 y
dt + ey + f = 0
• ae = bd
Resolución: Si b ≠ 0 se hace el cambio u = at + by
Si e ≠ 0 se hace el cambio u = dt + ey
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2.1.3 - Ecuaciones diferenciales exactas
Denición: Una ecuación diferencial M(t, y)dt+N(t, y)dy = 0 es exacta
si existe una función F (t, y), llamada función potencial de la ecuación
diferencial, cuya diferencial coincide con M(t, y)dt + N(t, y)dy, es
decir
∂F
∂t
= M(t, y) y
∂F
∂y
= N(t, y)
Teorema: Si M, N, ∂M , ∂N son continuas en un rectángulo R del
∂y ∂t
plano, entonces M dt + N dy = 0 es exacta en R si y sólo si
∂M
∂y = ∂N en ∂t R
Resolución: Podemos proceder de dos formas.
1. Si sabemos calcular ∫ M(t, y)dt, tendremos
F (t, y) =
∫
=⇒ g ′ (y) = N(t, y) − ∂ ∂y
M(t, y) dt + g(y) (1)
∫
M(t, y) dt (2)
Integrando (2) y sustituyendo en (1) obtenemos F (t, y). La solución
de la ecuación es F (t, y) = C.
2. Si sabemos calcular ∫ N(t, y) dy, tendremos
F (t, y) =
∫
=⇒ h ′ (t) = M(t, y) − ∂ ∂t
N(t, y) dy + h(t) (3)
∫
N(t, y) dy (4)
Integrando (4) y sustituyendo en (3) obtenemos F (t, y). La solución
de la ecuación es F (t, y) = C.
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2.1.4 - Ecuaciones reducibles a exactas
Denición: Sea M(t, y)dt + N(t, y)dy = 0 una ecuación diferencial
no exacta, y sea µ(t, y) una función no nula en cada punto de un cierto
rectángulo R y tal que µ(t, y)M(t, y)dt+µ(t, y)N(t, y)dy = 0 es exacta.
Entonces se dice que µ(t, y) es un factor integrante para M(t, y)dt +
N(t, y)dy = 0, y de esta ecuación se dice que es reducible a exacta.
Búsqueda de factores integrantes:
es decir
• µ = µ(t)
• µ = µ(y)
• µ = µ(ν), ν = at + by
∂ (µM)
∂y
= ∂ (µN)
∂t
µ ∂M
∂y + M ∂µ
∂y = µ∂N ∂t + N ∂µ
∂t
µ = e ∫ a(t)dt , a(t) = 1 N
µ = e ∫ b(y)dy , b(y) = 1 M
µ = e ∫ c(ν)dν , c(ν) =
( ∂M
∂y − ∂N )
∂t
( ∂N
∂t − ∂M )
∂y
∂N
∂t − ∂M
∂y
bM − aN
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2.2 - Ecuaciones lineales
Denición: Una EDO de primer orden de la forma
dy
dt
= P (t)y + Q(t)
es una ecuación lineal.
Resolución: Se puede encontrar un factor integrante
µ(t) = e ∫ −P (t)dt .
2.3 - Reducción del orden
2.3.1 - Ausencia de variable dependiente
Si no aparece la y, la ecuación es de la forma f (t, y ′ , y ′′ ) = 0.
Resolución: Se hace el cambio
y ′ = p y ′′ = dp
dt
y la ecuación diferencial queda de la forma f
(
t, p, dp )
dt
2.3.2 - Ausencia de variable independiente
Si no aparece t, la ecuación es de la forma f (y, y ′ , y ′′ ) = 0.
Resolución: Se hace el cambio
y ′ = p y ′′ = dp
dt = dp dy
dy
y la ecuación diferencial queda de la forma f
dt = pdp dy
(
y, p, p dp
dy
= 0.
)
= 0.
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2.4 - Aplicaciones de las ecuaciones de primer orden
Trayectorias ortogonales y oblicuas
Denición: Una familia de curvas es una expresión
F (x, y, K) = 0
en la que K es un parámetro arbitrario.
Trayectorias ortogonales
1. Se obtiene la ecuación diferencial y ′ = f(x, y) de la familia de curvas
F (x, y, K) = 0.
2. La familia ortogonal a F (x, y, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
y ′ = − 1
f(x, y) .
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
Trayectorias oblicuas
1. Se obtiene la ecuación diferencial y ′ = f(x, y) de la familia de curvas
F (x, y, K) = 0.
2. La familia oblicua a F (x, y, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
y ′ =
f(x, y) + tg(α)
1 − f(x, y)tg(α) .
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
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Trayectorias ortogonales en coordenadas polares
1. Se obtiene la ecuación diferencial f(θ, ρ, ρ ′ ) de la familia de curvas
F (θ, ρ, K) = 0.
2. La familia ortogonal a F (θ, ρ, K) = 0 tiene como ecuación diferencial
f
(θ, ρ, − ρ2
ρ ′ )
.
3. Se obtiene la solución general de la ecuación diferencial anterior.
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