LA TRANSFORMADA Z.pdf - José Luis Oropeza

La Transformada Z
Expositor: José Luis Oropeza Rodríguez
México D. F., a 17 de agosto de 2006

OBJETIVO
Presentar al alumno los principios básicos sobre
los cuales trabaja la Transformada Z, así como su
representación matemática correspondiente.
BOSQUEJO DE LA
PRESENTACIÓN
Introducción
Antecedentes
Representación y fórmula
matemática
Aplicaciones

LA TRANSFORMADA Z
La transformada Z es una herramienta útil en el procesamiento digital de señales y
su papel es análogo al que juega la transformada de Laplace en tiempo continuo.
Señal en tiempo continuo. Es aquella que se define
sobre un intervalo continuo de tiempo.
DEFINICIONES
Señal analógica. Es una señal definida en un
intervalo continuo de tiempo, cuya amplitud puede
adoptar un intervalo continuo de valores.
Señal en tiempo discreto. Es una señal definida sólo
en valores discretos de tiempo.
Señal de datos muestreados. Es una señal definida sólo
en valores discretos de tiempo, que además, adopta
valores en un intervalo continuo. Dicha señal se puede
generar muestreando una señal analógica en valores
discretos de tiempo

TIPOS DE VARIABLES
Variables de entrada. Es el conjunto de datos que el sistema es
capaz de gestionar y que además, influyen sobre el
comportamiento de éste.
Variables de salida. Son el conjunto de datos que representan
la respuesta del sistema, y que además es posible tener
cuantificación de ellas.
VARIABLES
Variables de estado. Son el conjunto más pequeño de datos
que sirven para describir en su totalidad el comportamiento
de un sistema.
Perturbación o ruido. Es una señal que afecta adversamente
al valor de salida de un sistema.
Variables internas del sistema. Se refiere al conjunto de datos
que se originan debido a una perturbación interna del
sistema.

DEFINICIÓN DE SISTEMA
TIPOS DE
SISTEMAS
Sistema Causal o no Anticipativos. Es aquel cuya salida en
cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la
entrada en el tiempo presente y en el pasado. Se les da el nombre
de no anticipativos pues no anticipan valores futuros de la entrada.
x( t)
2u(
t)
u(
t 1)
Sistema Estrictamente Causal. Es aquel cuya salida en
cualquier instante de tiempo depende sólo de los valores de la
entrada en los instantes de tiempo pasado.
Sistema no causal:
x( t)
u(
t 1)
x( t)
u(
t)
u(
t 1)
Sistema Lineal. Es aquel en donde la función que define cada
elemento de salida es lineal.
Sistema Invariante en el tiempo. Es aquel en donde los
coeficientes que definen al sistema son constantes.

DEFINICIÓN DE SISTEMA
En un sistema de control en tiempo discreto, una ecuación en diferencias lineal
con coeficientes constantes caracteriza la dinámica del sistema, relacionando
la entrada con la salida. Si se quiere determinar la respuesta del sistema a una
entrada dada, hay que resolver dicha ecuación de diferencias. Para ello
utilizamos el método de la transformada Z, transformando las ecuaciones en
diferencias lineales e invariantes en el tiempo en ecuaciones algebráicas en el
plano Z (la variable compleja).
Polos y ceros en el plano Z. Dado un sistema discreto lineal e invariante en el
tiempo, y causal, el método de la transformada Z da lugar a una función X(z)
que puede tener la siguiente forma:
m ( m1)
b0 z b1
z .........
bm
X ( z)
( m n)
n ( n1)
z a z .............
a
1
n
Los puntos en los que la función X(z) es igual a cero son las raíces del
numerador (lo ceros de X(z)). Así mismo, los puntos en los que la función
tiende a infinito son las raíces del denominador (los polos de X(z)).

DESCRIPCIÓN DE LA TRANSFORMADA Z
La transformada Z se utiliza para el análisis de señales de tiempo
discreto, de forma similar a lo que realiza la transformada de Laplace para
señales continuas en el tiempo. Se puede utilizar la transformada de
Laplace para resolver una ecuación diferencial que represente a un filtro
analógico o la transformada Z para resolver una ecuación de diferencia
que represente a un filtro digital. Considere una señal analógica x(t)
idealmente muestreada.
x
s
t
x(
t)
t
kT
k0
Donde t kT es la función al impulso retardada por kT y T=1/F s es el
periodo de muestreo. La función x s (t) es cero en cualquier parte excepto
en t=kT. La transformada de Laplace de x s (t) es:
X
s
s
0
0
x
s
t
e
st
dt
st
xt
t
xt
t
T
e
dt
De la propiedad de la función impulso
0
f
t
t
kTdt
f kT

DESCRIPCIÓN DE LA TRANSFORMADA Z
X s (S) en la expresión anterior se convierte en:
X
s
s
x(0)
x(
T)
e
sT
x(2T
) e
2st
n0
x(
nT)
e
nsT
Sea z=e sT en la expresión anterior, lo cual nos da
X
z xnT
n0
Considere el periodo de muestreo T que será implicado; entonces x(nT)
puede ser escrito como x(n), y se tiene:
X
z
n
z xnT
z
n ZTx(
n)
n0
la cual representa la transformada Z de x(n). Existe una correspondencia
de uno a uno entre x(n) y X(z), realizando la transformada z una única
transformación.

LA TRANSFORMADA Z
Al considerar la transformada Z de una función del tiempo x(t), sólo se tienen en
cuenta los valores muestreados de dicha función: x(0), x(T), x(2T),…..,x(kT).
Siendo T el período de muestreo. La transformada Z de una función del tiempo
x(t), donde t es positivo, o de la secuencia de valores x(kT), donde k adopta
valores mayores o iguales que cero y T es el periodo de muestreo, se define
mediante la siguiente expresión:
X ( z)
Z(
x(
k))
k0
x(
k)
z
( k
)
Para una secuencia de números x(k), la transformada Z se define como:
X ( z)
Z(
x(
t))
Z(
x(
kT))
k0
x(
kT)
z
( k
)
con
z
Ae
j
La transformada Z definida mediante estas ecuaciones se conoce como
transformada Z unilateral. La transformada Z viene representada por el
símbolo Z. En la transformada Z unilateral, se supone que x(t)=0, x(k)=0,
para valores negativos de t y k. Asi mismo, Z es una variable compleja. Si la
magnitud de z en la expresión polar es igual a 1, la transformada Z se
convierte en la DFT.

EJEMPLOS DE TRANSFORMADA Z DE
CIERTAS FUNCIONES
Por ejemplo, la transformada Z de la secuencia impulso que se encuentra
definida por x(0)=1, x(1)=0; x(2)=0,…..,x(k)=0, será:
X ( z)
k0
x(
k)
z
( k
)
1
REGIÓN DE CONVERGENCIA
La región de convergencia (ROC) de una transformada Z se define como:
ROC z C Z x[
n]
z
0
existe

REGIÓN DE CONVERGENCIA
Si se expresa la variable compleja en su forma polar, se tiene:
0
1
0
1
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
)
(
]
[
]
[
]
[
)
(
]
[
)
(
tan
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
j
n
n
n
j
n
n
j
n
n
re
z
j
r
n
x
r
n
x
r
n
x
también
pero
r
n
x
r
n
x
r
n
x
existe
r
n
x
si
finito
es
z
X
r
n
x
e
r
n
x
e
r
n
x
z
X
así
e
r
n
x
z
X
to
por
re
z
j

REGIÓN DE CONVERGENCIA

REGIÓN DE CONVERGENCIA
como :
X ( z)
n0
x(
nT ) z
n
Para secuencias causales, las potencias de z son negativas, la región de
convergencia para X(z) existe en cualquier parte fuera del círculo de
radio R 1 en donde el valor de R 1 depende del lugar donde se encuentren
los polos de X(z). Si los polos están dentro del círculo unitario, el
sistema es estable, por lo tanto, la región de convergencia está fuera del
círculo unitario.
Para secuencias no causales, las potencias de z son positivas, entonces
la región de convergencia existe en cualquier parte interna al círculo de
radio R 2 , donde R 2 depende de los polos. La región de convergencia se
encuentra dentro del círculo unitario.
Si la secuencia tiene tanto valores positivos como negativos, la región de
convergencia es un anillo alrededor del origen del plano complejo. Con
los límites de R 2 como cota superior y R 1 como cota inferior.
n
x(
nT ) z
n
X1 ( z)
X
2(
z)

EJEMPLOS

REGIÓN DE CONVERGENCIA

SISTEMAS CAUSALES

REGIÓN DE CONVERGENCIA

EJEMPLOS

EJEMPLOS

DE LA TRANSFORMADA Z A UNA
ECUACIÓN DE DIFERENCIAS

TRANSFORMADA Z DE FUNCIONES
BÁSICAS

LA TRANSFORMADA Z INVERSA
MÉTODO DE LAS SERIES DE POTENCIA
Método de las series de
potencia. Dada una
transformada Z, X(z), de una
secuencia causal de la forma,
está puede ser expandida en
una serie infinita conocida como
división sintética.
Dada la transformada Z de un
sistema causal LTI, obtener su
TZI por el método de
expansión series de potencia
usando la división extensa:
X ( z)
se
residuo
a
b
2.5756z
0
0
X ( z)
z
con el
a1z
b z
1
1
1
a2z
b z
x(0)
x(1)
z
X ( z)
1
3z
puede
2
1
resar
2
2
1
2
1
2z
z
X ( z)
1
1
z 0.3561z
dividiendo
3
2
1
3.6439z
1.2975927z
exp
a
b
x(2)
z
2
4
2
2
z 2z
1
z 0.3561
mismo resultado
2
N
M
z
z
N
M
2.5756z
x(3)
z
3
positivamente
3

LA TRANSFORMADA Z INVERSA
MÉTODO DE LAS SERIES DE POTENCIA
Los coeficientes de la expresión obtenida, representan los coeficientes de la
transforma Z inversa, es decir, los coeficientes de la entrada x(n).
Dichos coeficientes se pueden obtener también de la siguiente forma:
x(0)
0
x(1)
[ a
1
x(2)
[ a
donde
a
0
2
a
/ b
/ b
0
generalizando
x(
n)
x(0)
a
x(0)
b
n
0
n
i1
1
x(1)
b
1
]/ b
0
x(0)
b
x(
n i)
b
i
2
]/ b
/ b
0
,
0
n 1,2,....

LA TRANSFORMADA Z INVERSA MÉTODO
DE EXPANSIÓN DE SERIES PARCIALES
En este método, la transformada z es primeramente expandida en una suma de
fracciones parciales. La transformada z inversa de cada fracción parcial es
obtenida de tablas de funciones básicas, según sea el caso:
X ( z)
X ( z)
donde :
a
b
B
B
p
0
0
B
k
a1z
b z
C
1
p
M
k 1
y
a2z
b z
z
C
z
k
polos,
B
C
1
p
z
p
k
C
a
a
b
z
p
k
N
z
/ b
N
N
M
N
M
si los polos son 1er
orden y N M
0
0
0
1
1
1
1
1
C1z
z p
1
1
2
0
2
2
C
z
2
2
2
2
2
z
z
1
C
z
M
z
p
M
C
p
M
M
M
coeficient es fracciones
z
parciales

LA TRANSFORMADA Z INVERSA MÉTODO
DE EXPANSIÓN DE SERIES PARCIALES
Si el orden del numerador es menor que el del denominador, esto es NM entonces X(z) deberá de ser reducido primero,
para hacer N

LA TRANSFORMADA Z INVERSA MÉTODO DE
EXPANSIÓN DE SERIES PARCIALES
0
],
0.5)
(
[(0.75)
5
4
)
(
5
0.5)
4(
0.5
5)
(4 /
5
4(0.75)
0.75
5)
(4 /
0.5
5)
(4 /
0.75
5)
(4 /
)
(
5
4
0.75
0.5
1
0.5)
0.75)(
(
0.5)
(
)
(
0.5)
(
5
4
0.5
0.75
1
0.5
1
0.5
0.75)
(
0.5)
0.75)(
(
0.75)
(
)
(
0.75)
(
0.5
0.75
0.5)
0.75)(
(
)
(
0.5
0.75
0.5)
0.75)(
(
)
(
0.5)
0.75)(
(
0.375
0.25
0.375
0.25
1
)
(
1
1
0.5
0.5
2
0.75
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
n
n
x
z
z
Z
z
z
Z
z
z
z
z
z
X
entonces
z
z
z
z
z
X
z
C
z
C
z
z
C
C
z
z
z
z
z
X
z
z
z
C
z
C z
z
z
z
z
z
z
X
z
z
C
z
C z
z
z
z
z
X
M
N
z
z
z
z
z
z
z
z
z
z
X
n
n
n
n
z
z

LA TRANSFORMADA z INVERSA
MEDIANTE EXPANSIÓN EN SERIE DE
POTENCIAS
Determinar la transformada z inversa de:
(a) Puesto que la ROC en el exterior de
un círculo, se espera que x(n) sea una
señal causal. Se busca por tanto una
expansión en serie de potencias
negativas de z. Dividiendo el numerado
de X(z) por su denominador, se obtiene
la serie:
X z)
11.5z
cuando
1
0.5
1
1
0.5z
(
2
( a)
ROC : z
( b)
ROC : z
X ( z)
1
x(
n)
1,
3
2
comparando
z
1
1
3 7 15
, ,
2 4 8
1
2
z
con : X
2
z
31
, ,...
16
1
3
2
n
z
1
x(
n)
z
7
4
n
z
2
, se
15
8
z
3
tiene :
31
10
z
4
...

(b) En este caso, la ROC
es el interior de una
circunferencia. En
consecuencia, la señal
x(n) es anticausal. Para
obtener la expansión en
serie de potencias
positivas de z, se efectúa
la división de la siguiente
forma:
1
2
z
Por
2
X ( z)
1
esto
x(
n)
3
2
es :
z
1
tan to,
3
2
2z
1 1
z
1
1
6z
1
3z
2z
1
2
3z
2z
3z
9z
2
7z
7z
...62,30,14,6,2,0,0
2
z
3
2z
14z
2
2
2
2
2
6z
6z
21z
15z
15z
2
3
3
4
3
6z
30z
3
3
14z
14z
45z
31z
4
3
4
4
5
4
30z
14z
62z
30z
5
4
5
6
30z
5
62z
6

Determine la expansión en fracciones parciales simples de:
X
1
z
1
z 0.5z
1
( z)
1
2
Solución. Para eliminar las potencias negativas de
z, se multiplica el numerador y denominador por
z2. Así se tiene:
Los polos de X(z) son complejos conjugados
X ( z)
2
z
z 1
z 0.5
Dado que se busca una expansión de la forma: z z
p z
p
p
p
1
2
1 1
j
2 2
1 1
j
2 2
X ( z)
A
A
1
2
z p1
X ( z)
z
z 1
1
z p2
X ( z)
z
2
z
p1
z
p2
A1
A2
z p z p
z 1
z p
z 1
z p
1
z
p1
2
z
p2
1
2
1
2
1 1
j 1
2 2
1 1
j j
2 2
1 1
j 1
2 2
1 1
j j
2 2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Linealidad
1
1
1
2
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
3
1
4
2
1
3
)
(
tan
3
:
3
1
1
)
(
)
(
3
)
(
2
:
2
1
1
)
(
)
(
2
)
(
1
1
)
(
)
(
4
)
(
3
)
(
)
(
4
)
(
3
)
(
)
(
3
)
(
)
(
2
)
(
)
(
4 3
3 2
)
(
)
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
z
z
X
to
por
z
ROC
z
z
X
n
u
n
x
z
ROC
z
z
X
n
u
n
x
z
n
u
además
z
X
z
X
z
X
n
x
n
x
n
x
n
u
n
x
n
u
n
x
n
u
n
x
a
Ejemplo
z
X
a
z
X
a
z
X
n
x
a
n
x
a
n
x
entonces
z
X
n
x
y
z
X
n
x
Si
z
n
z
n
z
n
n
n
n
n
z
z
z
z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Desplazamiento en el tiempo:
7
5
4
3
2
1
2
3
3
1
2
1
2
2
1
3
1
2
7
5
2
)
(
)
(
7
5
2
)
(
)
(
,
2)
(
)
(
)
2)
(
)
(
)
:
0
0
0
)
(
)
(
:
)
(
)
(
)
(
)
(
z
z
z
z
z
z
X
z
z
X
z
z
z
z
z
X
z
z
X
Así
n
x
n
x
b
n
x
n
x
a
Sean
Ejemplo
k
z
para
k
z
para
z
X
z
X
z
ROC
z
X
z
k
n
x
entonces
z
X
n
x
Si
k
k
z
z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
2
1
1
2
1
:
)
(
:
)
(
)
(
a r
z
a r
ROC
z
a
X
n
x
a
entonces
r
z
r
ROC
z
X
n
x
z
Si
z
n
z
Escalado en el dominio z
Inversión temporal
1
:
,
1
1
)
(
1
:
,
1
1
)
(
)
(
)
(
:
1
1
:
)
(
:
)
(
)
(
1
1
2
1
2
1
z
ROC
z
n
u
z
ROC
z
n
x
n
u
n
x
Ejemplo
r
z
r
ROC
z
X
n
x
entonces
r
z
r
ROC
z
X
n
x
z
Si
z
z
z
z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Diferenciación en el dominio z
1
:
,
1
)
(
1
:
,
1
)
(
)
(
)
(
:
,
1
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
:
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
1
1
1
1
1
1
z
ROC
z
z
n
nu
a
si
a
z
ROC
az
az
dz
z
dX
z
z
X
n
u
na
a
z
ROC
az
z
X
n
u
a
n
x
n
u
na
n
x
Ejemplo
dz
z
dX
z
n
nx
entonces
z
X
n
x
Si
z
z
n
z
n
n
n
z

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z
Convolución de dos
secuencias:
7
6
1
6
1
1
6
2
2
1
1
7
6
1
2
1
5
4
3
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
)
(
1
1
)
(
1
)
(
1,1
1,0,0,0,0,
1,
)
(
,
1
)
(
)
(
)
(
1
)
(
2
1
)
(
:
0,
5
0
1,
)
(
2,1
1,
)
(
:
)
(
)
(
)
(
)
(
)*
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
z
z
z
z
z
z
X
entonces
z
z
z
X
z
z
X
n
x
aquí
De
z
z
z
z
X
z
X
z
X
z
z
z
z
z
z
X
z
z
z
X
entonces
caso
otro
en
n
n
x
n
x
Ejemplo
z
X
z
X
z
X
n
x
n
x
n
x
entonces
z
X
n
x
z
X
n
x
Si
z
z
z

Imaginary part
APLICACIONES CON MATLAB
El módulo de procesamiento de señales de Matlab contiene rutinas para
trabajar con transformadas Z.
POLOS y CEROS
Los polos y ceros de una expresión se pueden obtener al aplicar el
comando roots para encontrar las raíces
» b=roots([1 0])
b =
0
» a=roots([1 -0.25 -0.375])
a =
0.7500
-0.5000
» zplane(b,a)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.5 0 0.5 1
Real part

Imaginary part
APLICACIONES CON MATLAB
» b=roots([1 2 1])
b =
-1
-1
» a=roots([1 -1 0.3561])
a =
0.5000 + 0.3257i
0.5000 - 0.3257i
» zplane(b,a)
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
2
-1 -0.5 0 0.5 1
Real part

Imaginary part
LA TRANSFORMADA Z INVERSA
El comando residuez calcula las expansiones en fracciones parciales
para transformadas z expresadas como un cociente de dos polinomios
en z -1 .
» b=[0 1]
b =
0 1
» a=[1 -0.25 -0.375]
a =
1.0000 -0.2500 -0.3750
» [r p k]=residuez(b,a)
r =
0.8000
-0.8000
p =
0.7500
-0.5000
k =
[]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1 -0.5 0 0.5 1
Real part

LA RESPUESTA EN FRECUENCIA
Recordando que la respuesta al impulso, la ecuación en diferencias, la
función de transferencia, los polos y ceros, la respuesta en frecuencia y
la descripción en variables de estado ofrecen representaciones
diferentes, aunque equivalentes, para las características de entradasalida
de un sistema LTI.
H
0.094(1 4z
6z
4z
1
0.4860z
0.0177z
1
2
3
( z)
2
4
z
4
1.4
» b=0.094*[1, 4, 6, 4, 1];
» a=[1, 0, 0.486, 0, 0.0177];
» zplane(b,a)
» [H w]=freqz(b,a,250);
» plot(w,abs(H))
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

CONCLUSIONES
Se realizó un breve panorama del uso y
aplicaciones de la Transformada Z en el área
digital.
Se presentó la forma de obtener la Trasformada Z
de un conjunto de funciones básicas.
Se presentó el concepto de región de
convergencia para el caso de espresiones en el
dominio del plano Z.
Se mostraron un conjunto de herramientas útiles
para la obtención de los coeficientes de la
expansión de la solución de las expresiones
encontradas en el plano Zeta.