Problemas de diferenciabilidad y geométricos

Índice general 7
Problema 2 (i) Dar la expresión del plano tangente a la superficie S ≡ x + y + y 3 (x 2 + 1) +
z 2 = 1 en el punto (0, 0, −1).
(ii) Sea α(t) = (t + 1, (t + 1) 2 ), t ∈ IR. Calcular la variación de g(x, y) = y 3 (x 2 + 1) a lo largo
de la curva α en el punto (1, 1).
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Solución:
(i) La superficie está dada de forma implícita por f(x, y, z) = x + y + y 3 (x 2 + 1) + z 2 = 1,
por tanto el plano tangente en el punto (0, 0, −1) es:
Por otro lado,
〈∇f(0, 0, −1), (x − 0, y − 0, z + 1)〉 = 0.
∇f(x, y, z) = (1 + 2y 3 x, 1 + 3y 2 (x 2 + 1), 2z) =⇒ ∇f(0, 0, −1) = (1, 1, −2).
Finalmente, la ecuación del plano tangente es x + y − 2z = 2.
(ii) Calculamos el vector tangente a la curva en el punto t = 0, ya que α(0) = (1, 1) y el
gradiente de g en el (1,1).
α ′ (t) = (1, 2(t + 1)) =⇒ α ′ (0) = (1, 2).
∇g(x, y) = (2y 3 x, 3y 2 (x 2 + 1)) =⇒ ∇g(1, 1) = (2, 6).
Finalmente,
D α ′ (0)g(1, 1) = 〈∇g(1, 1), α ′ (0)〉 = 〈(2, 6), (1, 2)〉 = 14.
Problema 3 Sea f : IR 2 −→ IR definida por:
⎧
⎨ x sin(xy)
√ (x, y) ≠ (0, 0),
f(x, y) = x2 + y
⎩
2 0 (x, y) = (0, 0).
(i) Estudiar la diferenciabilidad de f en IR 2 y hallar el gradiente de f para todo (x, y) ∈ IR 2 .
(ii) Hallar la derivada direccional de f según el vector tangente a la curva α(t) = ( √ t,
en el punto ( √ π, √ π).
(iii) Dar la expresión del plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto ( √ π, √ π).
t
√ π
)
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Solución: