Problemas de diferenciabilidad y geométricos

10 Índice general
Por tanto,
⎛
∇f(x, y) = ⎜
⎝
y 2 sin(x 2 + y 2 ) + 2x 2 (x 2 + y 2 ) cos(x 2 + y 2 ⎞
)
(x 2 + y 2 ) 3/2
⎟
xy(2(x 2 + y 2 ) cos(x 2 + y 2 ) − sin(x 2 + y 2 ) ⎠
(x 2 + y 2 ) 3/2
(ii) La derivada direccional de una función diferenciable según un vector v en el punto (a, b)
es D v f(a, b) = 〈∇f(a, b), v〉. En nuestro caso v = √ 1
2
(1, 1). Calculamos en primer lugar el
vector gradiente en el punto indicado: ∇f( √ π, 0) = (−2 √ π, 0). Finalmente,
D v f( √ π, 0) = √ 1 〈(1, 1), (−2 √ π, 0)〉 = − √ 2π
2
Problema 5 Sea f : IR 2 − {(0, 0)} −→ IR definida por:
f(x, y) =
xy sen(x + y)
√
x2 + y 2
(i) Estudiar la diferenciabilidad de f en IR 2 y hallar el gradiente de f para todo (x, y) ∈ IR 2 .
(ii) Hallar el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto (0, π/2).
Solución:
•
(i) f es diferenciable en IR 2 − {(0, 0)} por ser composición, producto y cociente de funciones
elementales y no anularse el denominador. Calculamos ahora las derivadas parciales.
D 1 f(x, y) =
(y sen(x + y) + xy cos(x + y)) √ x 2 + y 2 x
− xy sen(x + y) √
x 2 +y 2
x 2 + y 2 =
(x 2 + y 2 )y(sen(x + y) + x cos(x + y)) − x 2 y sen(x + y)
(x 2 + y 2 ) 3/2
√
y
x2 +y 2
(x sen(x + y) + xy cos(x + y)) √ x 2 + y 2 − xy sen(x + y)
D 2 f(x, y) =
x 2 + y 2 =
Por tanto,
(x 2 + y 2 )x(sen(x + y) + y cos(x + y)) − xy 2 sen(x + y)
(x 2 + y 2 ) 3/2
∇f(x, y) =
⎛
⎜
⎝
(x 2 + y 2 )y(sen(x + y) + x cos(x + y)) − x 2 ⎞
y sen(x + y)
(x 2 + y 2 ) 3/2
⎟
(x 2 + y 2 )x(sen(x + y) + y cos(x + y)) − xy 2 sen(x + y) ⎠
(x 2 + y 2 ) 3/2