Problemas de diferenciabilidad y geométricos

8 Índice general
(i) Como la función está definida de forma diferente en un entorno de (0, 0), para calcular
las derivadas parciales debemos proceder mediante su definición:
f(0 + h, 0) − f(0, 0) 0
D 1 f(0, 0) = lím
= lím
h→0 h
h→0 h = 0
f(0, 0 + h) − f(0, 0) 0
D 2 f(0, 0) = lím
= lím
h→0 h
h→0 h = 0
Si f es diferenciable en (0, 0), entonces df(0, 0) = (0 0) (candidato a diferencial). Para
demostrar que efectivamente f es diferenciable debemos calcular el siguiente límite y
comprobar que da cero:
)
lím
(h,k)→(0,0)
lím
(h,k)→(0,0)
hk≠0
f(0 + h, 0 + k) − f(0, 0) − df(0, 0)
(
h
k
√
h2 + k 2 = lím
(h,k)→(0,0)
h 2 k sin(hk)
h 2 + k 2 = 0 × acotada × 1 = 0
hk
h sin(hk)
h 2 + k 2 =∗
∗ tenemos que usar la descomposición del dominio, ya que estamos dividiendo por cero si
hk = 0. Faltan por calcular,
0
k 2 = 0,
lím
(h,k)→(0,0)
h=0
lím
(h,k)→(0,0)
k=0
0
h 2 = 0,
Por tanto f es diferenciable en (0, 0) y ∇f(0, 0) = (0, 0).
Calculamos ahora las derivadas parciales en el resto de puntos de IR 2 .
(sin(xy) + xy cos(xy)) √ x 2 + y 2 − x sin(xy)
D 1 f(x, y) =
x 2 + y 2
= y2 sin(xy) + xy(x 2 + y 2 ) cos(xy)
(x 2 + y 2 ) 3/2
x 2 cos(xy) √ x 2 + y 2 − x sin(xy)
D 2 f(x, y) =
x 2 + y 2
Por tanto,
√
y
x2 +y 2
√
x
x2 +y 2
= x2 (x 2 + y 2 ) cos(xy) − xy sin(xy)
(x 2 + y 2 ) 3/2
∇f(x, y) = ( y2 sin(xy) + xy(x 2 + y 2 ) cos(xy)
(x 2 + y 2 ) 3/2 , x2 (x 2 + y 2 ) cos(xy) − xy sin(xy)
(x 2 + y 2 ) 3/2 )
(ii) La derivada direccional de una función diferenciable según un vector v en el punto (a, b)
es D v f(a, b) = 〈∇f(a, b), v〉. En nuestro caso v = α ′ (t 0 )/||α ′ (t 0 )|| donde t 0 es el valor del
parámetro para que α(t 0 ) = ( √ π, √ π), es decir t 0 = π. Calculamos en primer lugar los
vectores y funciones que intervienen: