Ejercicios resueltos de Matemática discreta ... - QueGrande

Ejercicios de combinatoria resueltos. Matemática Discreta. 4º Ingeniería Informática
26. ¿Cuántos números de la seguridad social (secuencias de nueves dígitos) tienen al
menos una vez cada uno de los dígitos 1, 3 y 7
SOLUCION:
No tienen el 1: RV 9,9 ; No tienen el 2 los mismos; No tienen el 3 los mismos: No tienen
el 1 y el 2 RV 8,9 . No tienen el 1 y el 3 los mismos y el 2 y el 3 los mismos. No tienen el
1, 2, y 3, RV 7,9 Por tanto tenemos:
RV 10,9 – 3.RV 9 , 9 + 3RV 8,9 – RV 7,9 = 10 9 – 3.9 9 +3. 8 9 - 7 9
27. Si se lanza un dado cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las
cinco tiradas sea 20
SOLUCION:
Los casos favorables son las soluciones de la ecuación
x + y + z + t + u = 20 con 1 ≤ x,y,z,t,u ≤ 6
Es el coeficiente de x 20 de la función (x+x 2 +...+x 6 ) 5 que es el grado x 15 de (1-x 6 ) 5 (1-x) -5
Grado de (1-x 6 ) 5 Coeficiente Grado de (1-x) -5 Coeficiente
⎛− 5⎞
⎛19⎞
-⎜
⎟ = ⎜ ⎟
0 1 15
⎝ 15 ⎠ ⎝15⎠
⎛− 5⎞
⎛13⎞
-⎜
⎟ = ⎜ ⎟
6 -5 9
⎝ 9 ⎠ ⎝ 9 ⎠
⎛5 ⎞
⎛− 5⎞
⎛7⎞
12 ⎜ ⎟ = 10
− ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
3
⎝2⎠
⎝ 3 ⎠ ⎝3⎠
⎛19⎞
⎛13⎞
⎛7⎞
Solucion: ⎜ ⎟ − 5⎜
⎟ + 10⎜
⎟ = 3876-3575+350 = 651
⎝15⎠
⎝ 9 ⎠ ⎝3⎠
Como los casos posibles son 6 5 = 7776
La probabilidad pedida es 651/7776 = 0,0837 o del 8,37%
28. Determina el número de soluciones enteras para x1 + x2 + x3 + x4 = 19 donde – 5
≤ xi ≤ 10 para todo i, 1 ≤ i ≤ 4
SOLUCION.
Equivalente a calcular el número de soluciones enteras para x1 + x2 + x3 + x4 = 39 donde
0 ≤ xi ≤ 15 para todo i, 1 ≤ i ≤ 4
Es el coeficiente de x 39 de (1+x+x 2 + ...x 15 ) 4 = (1-x 16 ) 4 (1-x) -4
José Manuel Ramos González