Ejercicios resueltos de Matemática discreta ... - QueGrande

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática
6) a) Encuentre el coeficiente de x 7 en (1 + x + x 2 + x 3 + ... ) 15
b) Encuentre el coeficiente de x 7 en (1 + x + x 2 + x 3 + ... ) n para n entero
positivo. (Grimaldi)
SOLUCIÓN:
a) Como la función generatriz de 1,1,1, es 1/(1-x). El problema se reduce a hallar el
coeficiente de x 7 en el desarrollo de (1/(1-x)) 15 = (1-x) -15 , resultando ser el número
⎛−15⎞
7
combinatorio ⎜ ⎟(
−1)
=
⎝ 7 ⎠
⎛
⎜
⎝
21
7
⎞
⎟
⎠
(*)
⎛− n⎞
r ⎛n
+ r −1⎞
(*) Recordemos que ⎜ ⎟ = ( −1)
⎜ ⎟ , siendo n un entero positivo.
⎝ r ⎠ ⎝ r ⎠
(demostración hecha en el Grimaldi)
b) Al igual que antes el problema se reduce a hallar el coeficiente de x 7 en el
desarrollo de (1/(1-x)) n = (1-x) -n , resultando ser el número combinatorio
⎛− n⎞
7 ⎛ n + 6⎞
⎜ ⎟(
−1)
= ⎜ ⎟
⎝ 7 ⎠ ⎝ 7 ⎠
7). Encuentre el coeficiente de x 50 en (x 7 + x 8 + x 9 + .....) 6 (Grimaldi)
SOLUCIÓN:
La función generatriz asociada a x 7 + x 8 + x 9 + ..... es, como vimos en el ejercicio
1, apartado d) x 7 /(1-x).
Por tanto el coeficiente de grado 50 de (x 7 /(1-x)) 6 = x 42 .(1-x) -6 es el coeficiente de
grado 8 de .(1-x) -6 ⎛− 6⎞
8 ⎛13⎞
, que es ⎜ ⎟(
−1)
= ⎜ ⎟ = 1287
⎝ 8 ⎠ ⎝ 8 ⎠
8. Encuentre el coeficiente de x 20 en (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 5 (Grimaldi)
SOLUCION:
En primer lugar calculemos la función generatriz asociada a la base:
f(x) = x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 = x 2 (1 + x + x 2 + x 3 + x 4 )
Sea g(x) = 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 y -x.g(x) = - x - x 2 - x 3 - x 4 – x 5 . Sumando ambos
obtengo g(x) = (1-x 5 )/(1-x); por tanto f(x) = x 2 (1-x 5 )/(1-x).
El problema se reduce a hallar el coeficiente de x 20 , del desarrollo [x 2 (1-x 5 )/(1-x)] 5 =
x 10 . (1-x 5 ) 5 .(1-x) -5 , que se reduce a su vez a hallar el coeficiente de x 10 en
(1-x 5 ) 5 .(1-x) -5 .
Observemos que los grados de x en el primer factor solo pueden ser 0 o enteros
positivos múltiplos de 5, por tanto los casos que se pueden presentar son los
siguientes
José M. Ramos González 22