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Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática Grados en factor (1-x 7 ) 4 Coeficiente Grados en factor (1-x) -4 Coeficiente 0 1 12 ⎛− 4⎞ ⎛15⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 12 ⎠ ⎝12⎠ 7 ⎛4⎞ ⎛− 4⎞ ⎛8⎞ − ⎜ ⎟ = −4 5 − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 5 ⎠ ⎝5⎠ El valor pedido sería ⎛15⎞ ⎛8⎞ ⎜ ⎟ − 4⎜ ⎟ ⎝12⎠ ⎝5⎠ 12) ¿De cuántas formas pueden repartirse 3000 sobres idénticos, en paquetes de 25, entre cuatro grupos de estudiantes, de modo que cada grupo reciba al menos 150 sobres, pero no más de 1000 sobres SOLUCIÓN: 3000 sobres en paquetes de 25 son 120 paquetes, 150 sobres en paquetes de 25 son 6 y 1000 sobres iguales en paquetes de 25 son 40. El problema se reduce a repartir 120 paquetes iguales en cuatro grupos de estudiantes de modo que cada grupo reciba al menos 6 paquetes pero no más de 40. Es decir (x 6 + x 7 + ... + x 40 ) 4 , siendo la solución del problema el coeficiente de x 120 Función generatriz de x 6 + x 7 + ... + x 40 = x 6 ( 1+x+...+x 34 ) que es x 6 (1-x 35 )(1-x) -1 Por tanto, el coeficiente de x 120 de [x 6 (1-x 35 )(1-x) -1 ] 4 es el coeficiente de x 96 de (1-x 35 ) 4 (1-x) -4 . Los casos son: Grados en factor (1-x 35 ) 4 Coeficiente Grados en factor (1-x) -4 Coeficiente 0 1 96 ⎛− 4⎞ ⎛99⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 96 ⎠ ⎝96⎠ 35 ⎛4⎞ ⎛− 4⎞ ⎛64⎞ − ⎜ ⎟ = −4 61 − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝1⎠ ⎝ 61 ⎠ ⎝ 61⎠ 70 ⎛4 ⎞ ⎛− 4⎞ ⎛29⎞ ⎜ ⎟ = 6 26 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝ 26 ⎠ ⎝26⎠ Sol: ⎛99⎞ ⎛64⎞ ⎛29⎞ ⎜ ⎟ − 4⎜ ⎟ + 6⎜ ⎟ ⎝96⎠ ⎝ 61⎠ ⎝26⎠ José M. Ramos González 26
Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática 13). Se distribuyen dos cajas de refrescos, con 24 botellas de un tipo, y 24 de otro, entre cinco peritos que realizan pruebas de sabores. ¿De cuántas formas pueden distribuirse las 48 botellas de manera que cada perito reciba: a) al menos dos botellas de cada tipo; b) al menos dos botellas de un tipo y tres del otro a) (x 2 + x 3 + ...) 5 (x 2 + x 3 + ...) 5 . La función generatriz del problema sería (x 2 + x 3 + ... + x 16 ) 10 , y la solución sería el coeficiente de x 48 [x 2 .(1-x) -1 ] 10 equivale a calcular el coeficiente de x 28 de (1-x) -10 ⎛−10⎞ ⎛37⎞ que es: ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 28 ⎠ ⎝28⎠ b) Para las del tipo A (x 2 + x 3 + ... ) 5 y para las del tipo B (x 3 + ... ) 5 ya que al menos han de recibir 3 La función generatriz que resuelve el problema es (x 2 + x 3 + ... ) 5 . (x 3 + ... ) 5 y mediante las generatrices correspondientes obtendríamos: [x 2 (1-x) -1 ] 5 .[x 3 (1-x) -1 ] 5 = x 25 .(1-x) -10 Se trata de hallar el coeficiente de x 13 de (1-x) -10 que es ⎛−10⎞ ⎛22⎞ − ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 13 ⎠ ⎝13⎠ 14). Si se lanza 12 veces un dado, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de los resultados sea 30 SOLUCIÓN: En cada vez tenemos: x 1 + x 2 + ... + x 6 . Al lanzar 12 veces, la función generatriz del problema es (x 1 + x 2 + ... + x 6 ) 12 . Los casos favorables (es decir suma 30) lo constituye el coeficiente de x 30 La función generatriz asociada es f(x) = x.(1-x 6 )/(1-x) El problema se reduce a calcular el coeficiente de x 30 de [x.(1-x 6 )/(1-x)] 12 que se reduce a su vez a calcular el coeficiente de x 18 de .(1-x 6 ) 12 .(1-x) -12 Los casos que se presentan son: José M. Ramos González 27
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Page 3 and 4: Ejercicios de combinatoria resuelto
Page 19 and 20: Ejercicios resueltos de funciones g
Page 25: Ejercicios resueltos de funciones g
Page 49 and 50: Sucesiones recurrentes. Matemática
Page 77:
Sucesiones recurrentes. Matemática
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