Ejercicios resueltos de Matemática discreta ... - QueGrande

Ejercicios resueltos de funciones generatrices. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática
(1+x+x 2 +x 3 +... )(1+x 5 +x 10 +x 15 + ...)(1+x 10 +x 20 +...)(1+x 25 +x 50 +...)(1+x 50 +x 100 +...) (1)
es decir
(1 − x)(1
− x
5
1
)(1 − x
10
)(1 − x
25
)(1 − x
50
)
(2)
aunque obviamente también podríamos limitar (1) a:
(1+x+x 2 +x 3 +...+x 99 )(1+x 5 +x 10 + ...+x 95 )(1+x 10 +x 20 +...+x 90 )(1+x 25 +x 50 +x 75 ) (1+x 50 )
31) Encuentra la función generatriz exponencial de las siguientes sucesiones, siendo
a número real:
a) 1, – 1, 1, – 1, 1, – 1, … b) 1, 2 2 , 2 3 , 2 4 , 2 5 , … c) 1, –a, a 2 , – a 3 , a 4 , …
d) 1, a 2 , a 4 ,a 6 … e) a, a 3 , a 5 , a 7 , … f) 0, 1, 2(2), 3(2 2 ), 4(2 3 ), …
SOLUCIÓN:
Partiendo de que la función generatriz exponencial de la sucesión 1,1,1,1... es e x
a) La función es e -x
Ya que, puesto que la derivada n-ésima de e -x es (-1) n e -x y al ser sustituida en
0 nos da (-1) n , el desarrollo de e -x de McLaurin, es:
( −1)
∑ ∞
i=
0 i!
i
x
i
, cuyos coeficientes de
x i son 1, -1, 1, -1 ...
i
b) La solución es e 2x
la derivada n-ésima de e 2x es 2 n .e 2x y al ser sustituida en 0 nos da 2 n . El
desarrollo de McLaurin de e 2x es:
i
i
∑ ∞ 2
x cuyos coeficientes de
i=0 i!
c) Combinando a) con b) la solución es e -ax
x i son 1, 2, 2 2 , 2 3 ...
i
d)
e)
f)
a x
e 2
ae 2
a x
xe 2x
Los tres últimos casos siguen un razonamiento completamente análogo a los anteriores.
José M. Ramos González 36