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Sucesiones recurrentes. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática CAPITULO III SUCESIONES RECURRENTES José Manuel Ramos González 48
Sucesiones recurrentes. Matemática discreta 4º Ingeniería Informática 1) Encuentra la solución general para cada una de las siguientes progresiones geométricas: a) an+1 – 1,5 an = 0, n ≥ 0; b) 4 an – 5 an–1 = 0, n ≥ 1; c) 3 an+1 – 4 an = 0, n ≥ 0, a1 = 5; d) 2 an – 3 an–1 = 0, n ≥ 1, a4 = 81; SOLUCIÓN: a) Se trata de una progresión geométrica de razón 1,5. Por tanto la solución general es a n = a 0 (1,5) n b) Se trata de una progresión geométrica de razón 5/4. Por tanto la solución general es a n = a 1 (5/4) n-1 c) Se trata de una progresión geométrica de razón 4/3. Sabiendo que a 1 =5, tenemos que la solución general es a n = 5(4/3) n-1 d) Se trata de una progresión geométrica de razón 3/2. Sabiendo que a 4 =81, tenemos que 81=a 1 .(3/2) 3 , de donde a 1 = 24 la solución general es a n = 24(3/2) n-1 = 3 n .2 n-4 2.) Si an, n ≥ 0, es una solución de la relación de recurrencia an+1 – d an = 0 y a3 = 153/49, a5 = 1377/2401, ¿cuánto vale d SOLUCIÓN: Al tratarse de una progresion geométrica de razón d, tenemos que a 5 = a 3 .d 2 , es decir que d 2 = (1377/2401).(49/153) = 9 d = ±3 3.) Hace quince años se invirtieron las ganancias de un negocio en una cuenta que pagaba un 8% de interés anual con pagos trimestrales. Si ahora el saldo de la cuenta es de 7.218,27 €, ¿cuál fue la inversión inicial SOLUCIÓN: Método 1: Si a n es el capital al cabo del trimestre n, resulta que a n = a n-1 + (0,08/4)a n-1 , es decir una relación de recurrencia a n – 1,02 a n-1 = 0 que es una geométrica de razón 1,02 y cuya solución general es a n = c(1,02) n Si el saldo de la cuenta al cabo de 15 años (60 trimestres) es 7.218,27 resulta que 7218,27 a 60 = 7.218,27, de donde podemos averiguar c, ya que c = = 2200 60 (1,02) La inversión incial es a 0 = 2200 Método 2: Para deducir la fórmula que me da el capital, hagamos lo siguiente. Llamemos C 0 al capital inicial y C i al que tenemos al cabo del trimestre i. Al cabo del primer trimestre tendremos C 1 =C 0 +(0,08/4)C 0 = C 0 (1+(0’08/4)) Al cabo del segundo trimestre tendremos C 2 =C 1 +(0,08/4) C 1 =C 0 (1+(0’08/4)) 2 Al cabo de los 15 años (60 trimestres) tendremos C 60 =C 0 (1+(0,08/4)) 60 Es una progresión geométrica de razón 1+(0’08/4) =1,02. Aplicando los datos del ejercicio, tenemos: José Manuel Ramos González 49
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