tendencia y volatilidad del precio del cobre

ANDRÉS ULLOA
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TENDENCIA Y VOLATILIDAD
DEL PRECIO DEL COBRE
ANDRÉS ULLOA
INTRODUCCIÓN
La volatilidad de los precios de los recursos naturales constituye una
fuente de alta inestabilidad en el ingreso de los países en desarrollo
que por lo general tienen una estructura de exportaciones intensivas en
estos recursos y además poco diversificada; los ingresos fiscales son
altamente dependientes del desempeño de estos precios. Este es el caso
concreto de Chile donde el cobre tiene una participación cercana al 40%
de las exportaciones.
La variabilidad de corto plazo en el precio de los “commodities”
está explicada en parte por las bajas elasticidades de las curvas de oferta
y demanda. Para el caso de los metales, su capacidad de almacenamiento
permite amortiguar en algo las fuertes variaciones de la demanda y oferta
ya que el proceso de ajuste se da por cantidad y precio.
Las bruscas y muchas veces no anticipadas variaciones en la oferta
o demanda provienen de alteraciones en los ingresos, movimientos de
tasas de interés, en la variabilidad de los tipos de cambio o simplemente
en una variación de la disponibilidad del recurso o en un cambio
tecnológico. Una parte importante de la literatura relacionada con la
economía de los recursos naturales ha estudiado la relación entre
disponibilidad, formación y variabilidad de precios. Esto es lo que
examina la hipótesis de Hotelling la cual ha sido fuertemente cuestionada
desde el punto de vista empírico.
Otra vertiente de la literatura ha tratado de relacionar la variabilidad
del precio de los recursos naturales con los cambios en las variables
macroeconómicas que afectan la oferta y la demanda. Dada la alta
elasticidad ingreso de la demanda por metales, no es sorprendente que
existan ciertos “comovimientos” entre estas variables. Hay también

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TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
indicios que la mayor variabilidad del tipo de cambio aumentaría la
variabilidad de los “commodities”.
El papel de los mercados financieros también ha pasado a constituir
un elemento importante en el análisis de la determinación del precio de
algunos commodities y en su variabilidad. Esto es especialmente válido
a partir de los años 80 cuando las operaciones de las bolsas de metales
aumentan y una parte significativa de las transacciones se hacen en este
tipo de mercados; además, comienzan a tomar fuerza los futuros y
opciones. Adicionalmente la teoría muestra que los activos fácilmente
almacenables como ciertos productos agrícolas, metales o productos
energéticos son considerados como una inversión más dentro del
portafolio de los inversionistas. Por ello, es esperable que existan
relaciones entre los mercados financieros, específicamente los
accionarios, y los mercados para los metales.
Un tema de sumo interés es el análisis del uso de precios de
distribución o producción como contrapartida a los precios de bolsa y
el efecto sobre la mayor estabilidad de los precios de los metales. Aunque
hay algunos indicios sobre esto, no hay pruebas concluyentes. También
la literatura plantea que la existencia de futuros y opciones estabiliza
los precios corrientes. Sin embargo, los estudios empíricos tampoco
proporcionan resultados decisivos de manera tal que las opiniones están
divididas. La existencia de especuladores transando opciones o futuros
podría incluso hacer más variable el precio.
El objetivo de este documento es analizar los principales factores
que determinan el nivel y la variabilidad de precios del cobre. Para ello
se comienza con una breve revisión de la literatura. Posteriormente se
analizan distintas series de precio del cobre. Esto requiere especificar
con claridad la existencia de una tendencia estacionaria o de raíces
unitarias en las series de precio con el objeto de poder decidir si las
variaciones de los factores exógenos tienen impactos permanentes o
transitorios sobre esta serie o si existe alguna reversión a la media como
se infiere de la teoría de recursos naturales.
El análisis estadístico muestra que las series de precio del cobre
que incluyen un período largo de análisis son de tendencia estacionaria
y revierten hacia la media. Sin embargo esta media es cambiante en el
tiempo ya que depende de los cambios estructurales en las variables
económicas tales como la Gran Depresión, la II Guerra Mundial, el shock
(1973,1979) del precio del petróleo, etc. Para períodos de tiempo
inferiores a 50 años, existen fuertes indicios que el precio se comporta
como camino aleatorio.

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293
Posteriormente se calcula la volatilidad de las series de precio del
cobre usando modelos tipo GARCH. Finalmente se mide la volatilidad
histórica para el precio del cobre contado y en futuros y para otros
metales, commodities en general, e índices de acciones; luego se
comparan estas volatilidades.
I. VOLATILIDAD DEL PRECIO DE LOS METALES:
UNA REVISIÓN DE LA LITERATURA
La existencia de variabilidad o también llamada inestabilidad de los
precios de los commodities es un tema muy conocido. Una de las
explicaciones más recurrentes de este comportamiento es la forma
peculiar de sus curvas de oferta y demanda. Estas son altamente
inelásticas en el corto plazo, lo que provoca grandes fluctuaciones y
hace que ante un cambio de la oferta o la demanda el mecanismo de
ajuste sea un inmediato y fuerte movimiento de los precios. A su vez, si
a lo anterior se añade una alta elasticidad ingreso y un importante rezago
entre las decisiones de inversión y producción e inversión a gran escala,
se tiene un cuadro típico de precios altamente cíclicos. Siguiendo esta
lógica, la causa de estas fluctuaciones recae principalmente en la
variabilidad de la oferta y la demanda y en los factores exógenos que
las gobiernan como shocks macroeconómicos en la economía mundial,
clima, desastres naturales, agotamiento del recurso, nuevos
descubrimientos, demoras en los procesos de inversión, cambios en
gustos, variaciones de ingreso, etc.
Una importante distinción que conviene hacer y analizar es la
diferencia entre el comportamiento de los precios de los bienes perecibles
y aquellos almacenables (Gardner, 1987; Williams et. al., 1991). Cuando
los commodities pueden ser almacenados como es el caso de los
minerales, un factor adicional interviene en los cambios de precios y
corresponde al tamaño de los inventarios que los agentes almacenan ya
sea para suavizar los cambio de precio o para entrar a especular al
mercado. Luego, tanto los precios como los cambios en los inventarios
participan en el ajuste que se produce ante alteraciones de la demanda u
oferta. Por ello, no solo los consumidores y oferentes tendrán un
importante papel sino también los intermediarios, especialmente aquellos
que usan los instrumentos financieros como medio de cobertura, aquellos
que especulan con ellos y los gobiernos o privados que buscan a través
del almacenaje estabilizar los precios.
La consecuencia es que los precios de commodities que pueden
ser almacenados tienen un comportamiento distinto de aquellos que son

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TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
perecibles. Esta diferencia queda reflejada en el hecho de que los precios
de estos últimos se comportan como un puro ruido blanco cuando están
sujetos a perturbaciones independientes por el lado de la oferta o
demanda. A su vez los precios de commodities almacenables presentan
una marcada autocorrelación positiva y saltos abruptos. Esto fue
reportado por un conocido estudio del Banco Mundial (1989) que mostró
una alta correlación serial positiva para algunos commodities. Por
ejemplo, para aquellos en que los precios eran marcadamente altos, estos
permanecían altos por un buen tiempo. Lo mismo ocurría cuando éstos
caían abruptamente. La razón de esta estructura autoregresiva de los
errores está explicada por el carácter almacenable del bien que genera
variaciones en los inventarios frente a los excesos de demanda u oferta.
Como consecuencia de lo anterior, el contorno de la distribución
de errores tiene una cierta asimetría con una mayor cola para precios
altos. La razón de ello es que cuando los precios están muy bajos, los
productores prefieren guardar el producto para evitar una mayor caída
y esperar así hasta que éste suba; de esta manera el almacenaje sirve
como un “colchón”. Por otro lado, cuando el precio está muy alto ya no
hay stock y sin este “colchón” el precio se mantiene alto por un mayor
período. Por eso mismo, el almacenaje al servir como “colchón” reduce
la varianza de los movimientos de precios período a período y causa
una especie de heteroscedasticidad en la serie de precios.
Algunas de las variables que están fuertemente presentes en estos
shocks de oferta o demanda tales como la variación del ingreso, tasa de
interés o la variabilidad de los tipos de cambio ayudan a explicar en
parte la fuerte variabilidad de los precios de estos productos. De acuerdo
a la teoría, el precio del recurso natural, por el lado de la oferta, estaría
estrechamente relacionado al comportamiento de la tasa de interés,
mientras que por el lado de la demanda el ingreso sería uno de sus
principales determinantes.
Sin embargo, no se debe dejar de considerar la importancia que han
tenido los mercados financieros en la determinación del precio de algunos
commodities y en su variabilidad. Ello especialmente a partir de los años 80
cuando el intercambio en las bolsas de metales toma más fuerza y una parte
significativa de las transacciones se hacen en este tipo de mercados. Aquí la
teoría muestra que los activos fácilmente almacenables como ciertos
productos agrícolas, metales o productos energéticos son considerados como
una inversión más dentro del portafolio de los inversionistas. En tal caso, la
variabilidad de la economía financiera se sumaría a la variabilidad de la
economía real y podría incrementar o reducir la inestabilidad en el precio

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295
de estos commodities. Por esto, es esperable que existan relaciones entre
los mercados financieros, específicamente los accionarios, y los mercados
para los metales.
Además de lo anterior, en las últimas décadas han crecido en
importancia las transacciones de futuros y opciones; estos instrumentos
constituyen una herramienta de diversificación de cartera y además se
usan ampliamente para reducir el riesgo en la variabilidad de los precios,
especialmente en commodities. Sin embargo, debido a la existencia de
elementos especulativos en estas transacciones no es claro que su
utilización haya servido para estabilizar los precios contado de los
metales. Incluso en periodos de fuerte especulación estas transacciones
pudieron haber incrementado la variabilidad de corto plazo.
1. Relación de variables macroeconómicas y precio de los commodities
Algunos estudios han mostrado que los precios de los commodities
tienden a moverse juntos, lo que se ha llamado co-movimientos (Pyndick
y Rotemberg 1990, Leybourne et.al. 1993). La explicación de este
fenómeno se puede resumir en tres partes. Primero, las contracciones
de oferta y demanda en un mercado pueden afectar otros mercados
relacionados. Segundo, impactos negativos de variables
macroeconómicas como ingreso y tasa de interés pueden afectar los
precios en su generalidad. Tercero, los especuladores pueden sobrereaccionar
frente a nueva información y el exceso de transacciones en
un mercado puede contagiar otros mercados. Entonces el exceso de comovimientos
genera una volatilidad mayor que la que debiera ocurrir
en situaciones normales.
Leybourne at al, (1993) evaluaron el trabajo de Pindyck y
Rotemberg (1990) y concluyó que el exceso de co-movimiento está
raramente presente en series de precios de commodities. Labys et al.
(1999) analizaron la hipótesis de co-movimientos para los metales y la
relacionaron con los cambios en variables macroeconómicas utilizando
análisis de factores y cointegración. Su metodología consistió en separar
aquellos factores que son comunes a toda la serie de precios de los
metales de aquellos que no lo son. Posteriormente relacionaron los
factores comunes con variables macroeconómicas. Usando datos
mensuales para el período 1971-1995, encontraron que el precio del
cobre - transformado como el logaritmo natural medido en primeras
diferencias- está fuertemente correlacionado con el precio transformado
del aluminio. Además los factores comunes que influencian los precios
del conjunto de los metales explican el 71% de la variabilidad del precio

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TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
del cobre. Al correlacionar estadísticamente la variabilidad de los
factores comunes con variables macroeconómicas, se obtuvo que la
producción industrial y la tasa de cambio explicaban en gran medida la
variabilidad de los factores comunes. Por otro lado el precio de las
acciones tendría una relevancia menor.
Algunos investigadores que han estudiado el tema de la
inestabilidad del precio de los commodities han concluido que la
volatilidad de estos es del mismo orden de magnitud que la volatilidad
de la tasa de cambio o del precio de las acciones. Por ejemplo, Bui and
Pippenger (1990) encuentran que aquellos productos primarios que son
determinados en mercados de subastas bien organizados, como es el
caso del caucho o el estaño, son más volátiles que el tipo de cambio.
Por ello, se ha sugerido usar un modelo de overshooting de los precios
de los commodities en que el precio de estos productos es modelado
como un activo financiero más (Frankel 1986).
El precio nominal de los commodities puede ser concebido como
un indicador líder de la inflación en un modelo de equilibrio parcial
donde la demanda de estos es una demanda derivada de la producción
de bienes manufacturados (ver Borensztein & Reinhart (1994) para una
discusión). Sin embargo, este enfoque considera el tipo de cambio y la
producción mundial como exógenos cuando es sabido que estas
relaciones son endógenas y también son afectadas por los precios de
los commodities. Borensztein & Reinhart (1994) toman este punto y
analizan para el período 1971-1991 la varianza del precio de los
commodities con respecto a la varianza del tipo de cambio de la
economía de EEUU encontrando una fuerte asociación.
Cuddington & Liang (1997) investigan la relación entre tipos de
cambio y precio de los commodities para el período 1880-1996;
encuentran que la volatilidad del precio real de los commodities ha sido
mayor bajo tasas de cambio flexible. Los mismos autores (Cuddington
& Liang 2000), analizan la relación entre la estabilidad de los tipos de
cambio de países de la CEE (Comunidad Económica Europea) y su
relación con la volatilidad de los commodities en el período 1957-98.
Usando especificaciones GARCH encuentran una significativa relación
para fertilizantes, metales y petróleo.
2. Variabilidad y regímenes de precios
Existe alguna evidencia de que la variabilidad en el precio de los metales es
mayor cuando se está en un régimen de intercambio –como la Bolsa de

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Metales de Londres (LME), el COMEX o el NYMEX– que cuando se usa
un régimen de precios administrado por los mismos productores. Como es
sabido, hasta mediados de los ochenta gran parte de los metales eran transados
sobre la base de los precios establecidos por los productores. Estos precios
eran a menudo generados en base al poder de negociación de los
consumidores y en base a ciertos descuentos, con un listado que a menudo
era secreto. Esto era particularmente cierto en mercados más centralizados
como el del aluminio y del nickel donde el poder monopólico de los
productores era importante. El cobre ha sido transado desde principios de
siglo XX bajo ambos regímenes, y durante los sesenta hubo un intento de
las principales empresas productoras por controlar el precio en la LME
(McNicol 1975).
Los productores tienden a preferir el tipo de régimen de precio
establecido por los productores debido a que son más predecibles 1 . Como
predictibilidad no es necesariamente sinónimo de eficiencia, los
economistas tienden a preferir los precios bajo un régimen de
intercambio ya que evita las discriminaciones y en general el uso del
poder monopólico. Además, la mayor liquidez de los mercados de
intercambio permite a los agentes protegerse de la mayor variabilidad
haciéndola menos relevante. Sin embargo, hay una cuestión de costo de
administración, premios y comisiones que es necesario incluir en el
análisis.
Slade (1992) encontró evidencia de que el uso mayoritario del
sistema de precios de intercambio a partir de 1980 introdujo una mayor
variabilidad al precio de los metales. Usando datos mensuales para
comparar el período 1970-79 con el período 1980-86 encontró que el
segundo período – aquel que mayoritariamente usó más frecuentemente
precios de intercambio– tenía una mayor variabilidad.
Figuerola-Ferretti y Gilbert (2000a) revisaron el trabajo de
Slade(1992) e incorporaron otros dos períodos cubriendo los años 1987-
1993 y 1994-1997, justamente aquellos períodos donde el sistema de
precios de intercambio ha sido dominante. Ellos no encontraron una
marcada diferencia en la volatilidad entre los 4 períodos estudiados e
incluso plantean que esta variabilidad fue ligeramente más baja en los
dos últimos períodos cuando el régimen de intercambio fue mayor. A su
1
Este argumento de predictibilidad se ha utilizado para abogar por una
mayor concentración en la industria del cobre (a raíz del aumento en las
fusiones de grandes compañías productoras)

298
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
juicio, los resultados de Slade (1992) estaban influenciados por la inclusión
en la muestra del metal plata el cual sufrió manipulaciones en
los años 1979-1980; luego concluyen que la volatilidad de precios de
ambos regímenes ha tendido a converger en los últimos años. El argumento
es que mediante arbitraje los agentes compran en short o en long
en un mercado y venden en otro de manera que las diferencias se anulen.
Usando un test de Granger encuentran que la causalidad va de precio
de intercambio a precio de productor. Esto quiere decir que es la
variabilidad de los precios de intercambio la que hace más variable los
precios de productor y no al revés debido a que son los productores los
que están obligados a reajustar sus precios de acuerdo al mercado.
3. Variabilidad de los precios contado y el uso de futuros y opciones
El impacto del uso de instrumentos financieros como opciones o futuros
sobre la volatilidad de los activos es un área de creciente investigación
entre economistas financieros. Un área de la literatura considera el efecto
de la introducción de opciones sobre el mercado financiero y los
resultados no son concluyentes. Mientras algunos estudios han
encontrado una reducción en la variabilidad de los precios de las acciones
asociado con la utilización de opciones (Conrad 1989, Damodarn and
Lim 1991), otros han encontrado evidencia de que la introducción de
contratos de opciones no afecta la volatilidad (Bollen 1998).
Por el lado de los futuros, tampoco existe una evidencia clara en
favor de una u otra posición. Por una parte, algunos autores han reportado
una reducción o cero cambio en los precios contado después de la
introducción de los futuros (Choi and Subrahmanyam (1994), Edwards
(1988), Robinson (1994) entre otros). El argumento clásico que avala
esta posición lo proporcionó Friedman (1953) al plantear que la
especulación tenderá a reducir la volatilidad porque esta especulación
solo se producirá si genera beneficios para los especuladores. Además
los futuros proporcionarían más información al mercado, posibilitando
que ésta se expanda más rápidamente y facilitando el calce de valores
lo cual mejoraría la toma de decisiones por parte de los agentes.
Otros estudios reportan un incremento en la volatilidad después
de la introducción de los futuros (Antoniou y Holmes (1995), Damodaran
(1990), Tomek (1979;80)). Uno de los argumentos de quienes están en
esta posición es que la especulación puede producir burbujas indeseables.
La especulación es probablemente menos importantes en mercados de
materias primas donde muchas veces los inventarios son bajos. Sin
embargo, la especulación sin fundamentos hace que sea difícil para los

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299
agentes distinguir entre movimientos de precios provenientes de
información genuina y aquellos basados en pura especulación.
La existencia de diferentes posiciones respecto al efecto que tienen
las transacciones de futuros y opciones sobre los precios spot impide
que se puedan obtener conclusiones generales; éste es un tema que debe
ser analizado empíricamente y en forma particular para cada producto.
Para el caso de los metales, Martinot et., al (2000) en un estudio
preliminar, estimaron la relación entre precios spot y precios futuros
separando entre especulación y cobertura para metales no ferrosos
transados en el LME; los resultados obtenidos muestran que solo para
el caso del aluminio, los precios futuros entregaban información a los
precios spot. En el caso del cobre no se observa estadísticamente una
relación entre ambos mercados.
En la misma línea de investigación, Kocagil (1994), estudia si la
especulación en mercados de futuros estabiliza los precios spot en el
mercado de metales en los años ochenta; se rechaza la hipótesis de que
la especulación de futuros tenga algún efecto estabilizador sobre los
precios spot. Este tipo de resultados es preliminar porque incluye un
período en que recién los futuros estaban siendo usados; además fue
una época de alta variabilidad.
Figuerola-Ferretti y Gilbert (2000b) analizaron como el precio del
aluminio ha sido afectado por la existencia de transacciones de futuros.
Ellos toman dos series de datos mensuales, una previo a la introducción
de los futuros (70s) y otra con la introducción de los futuros (80s y
90s). Ellos encuentran que estadísticamente no es posible afirmar que
la volatilidad de ambos períodos es distinta.
El tema de la especulación en los mercados a futuros de metales
adquirió gran notoriedad con el caso Dávila (Codelco) y el caso
Sumitomo (Sumitomo Corporation). Esta última empresa llegó a poseer
el 5% de las ventas mundiales de cobre y se cree que empezó a manipular
el mercado del cobre desde 1985 y claramente en el período 1991-96.
La forma de operación del jefe de futuros de esta empresa era mediante
el establecimiento de posiciones “long” 2 dominantes en contado y en
futuros obligando a los “shorts” a distribuir o cerrar su posición. Así en
el período 95-96, Sumitomo llegó a controlar una gran proporción del
2
En teoría financiera una posición “long” es aquélla tomada por el agente
que acuerda comprar un determinado activo financiero. Por otro lado, la
parte que acuerda vender el activo se dice que tiene una posición “short”

300
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
mercado mundial del cobre. El problema es que su posición (long) quedó
demasiada expuesta a las débiles condiciones del mercado de aquel
entonces. El LME comenzó una investigación que terminó por cambiar
al jefe de futuros de Sumitomo. El mercado interpretó esto como una
oportunidad para hacer bajar el alto precio del cobre, el cual cayó en
cerca de un 25% en un par de semanas haciendo perder a la empresa
Sumitomo alrededor de 4 mil millones de dólares.
Como reacción a estos hechos el LME comenzó un estudio para
analizar su capacidad de regulación y prevención de la manipulación
de precios
4. Conducta de los precios de los metales
El análisis econométrico de la conducta de los precios de los
commodities está basada en una variedad de procesos generados a partir
de fluctuaciones de corto plazo. Aunque a menudo, estos parecen
completamente aleatorios, se pueden encontrar argumentos para explicar
una cierta regularidad o ciclos en ellos. Uno de los modelos más básicos
y conocidos es el de la famosa telaraña, donde el precio de la ecuación
de oferta exhibe una correlación de primer orden que puede dar origen
a una oscilación continua, convergencia o divergencia.
La detección de regularidades ha sido una tarea compleja. Mientras
que una inspección visual de una serie de tiempo puede mostrar una
tendencia cíclica, probar estadísticamente esto puede ser muy difícil.
Los primeros estudios plantearon la propuesta del camino aleatorio que
en el caso de muy corto plazo puede incluso servir para predecir.
Samuelson (1965) contribuyó con esta teoría postulando que los precios
siguen un proceso de Martingala. Muchos de los tests empíricos del
camino aleatorio y la hipótesis de martingala examinan la correlación
serial y tendencias debido a que ambos procesos requieren que los
cambios en precios sean independientes.
Las primeras desviaciones de un camino aleatorio fueron
propuestas por Houthakker (1961) y Smidt (1965). Muchos otros trabajos
se han hecho al respecto. Algunos han encontrado que los precios siguen
conductas caóticas no lineales. Otros estudios más recientes han
analizado procesos dinámicos no lineales usando procesos ARCH y
GARCH 3 . Por ejemplo, los estudios de Yang y Brorsen (1992), Chavas
3
ARCH es Autoregressive Conditional Heterokedasticity. GARCH es
Generalized Autoregressive Conditional Heterokedasticity

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301
y Holt (1991), Barkoulas et al, (1997) han encontrado que la varianza
de los cambios de los precios no es constante, como lo predice la teoría
estándar de opciones.
Un modelo de conducta caótica de precios fue construido por
Kyrtsou et al, (2001). Ellos trataron de descubrir e interpretar la presencia
de procesos que generan conductas caóticas en los precios de metales
tales como el aluminio, nickel, cobre, plomo estaño y zinc. Han
encontrado la presencia de procesos estocásticos no lineales con
memoria de corto plazo; en algunos casos hay reversión a la media. En
general, encuentran que estos metales pueden ser modelados como
procesos caóticos con ruidos dinámicos. Los autores señalan que la causa
de esta conducta caótica sería la heterogeneidad en las expectativas de
los agentes o las interacciones entre agentes heterogéneos. Esta
heterogeneidad haría que los precios sean excesivamente sensibles o
especialmente volátiles. De este forma la volatilidad puede ser
interpretada endógenamente. Además, cuando la conducta de los retornos
es caótica es posible hacer predicciones en el corto plazo pero no en el
largo plazo.
III. TENDENCIAS HISTÓRICAS DEL PRECIO
DE LOS METALES: EL CASO DEL COBRE
En el caso de los recursos no renovables la teoría económica señala que
estos deberían seguir una trayectoria de escasez acorde a la conocida
regla de Hotelling. Es decir, los precios netos de costos marginales –o
renta de escasez– deberían subir a la tasa de interés. Existe una gran
cantidad de literatura que ha tratado de analizar empíricamente si la
regla de Hotelling se ha ido cumpliendo.
La evidencia empírica no ha mostrados claridad respecto a la
tendencia que han seguido los precios de los metales y la regla de
Hotelling no ha podido ser probada. Uno de los primeros artículos sobre
el tema escrito por Barnett y Morse (1963) mostró cierta estabilidad en
los precios reales de los minerales. Más tarde, sin embargo, algunos
trabajos, entre los que se destacan el de Nordhaus (1974), mostraron
que estos habían caído sistemáticamente en términos reales. Smith
(1979) encontró una fuerte inestabilidad durante el siglo XX. Slade
(1982a) en un modelo que incluye cambio tecnológico sugiere que la
conducta de precios ha tenido una forma de U para 11 de los 12 minerales
estudiados. A su vez Slade (1982b), usando un análisis espectral muestra
que los metales tienen ciclos de precios que van de 10 a 13 años. Por

302
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
ejemplo, para el caso del cobre, se encuentra un ciclo de 10 años
acompañado por una fuerte variabilidad dentro de cada ciclo.
Respecto a la hipótesis de Hotelling, ésta no ha podido ser probada
empíricamente. Algunos autores como Farzin (1995) y Agbeyegre (1989)
han incluido el cambio técnico y la tasa de interés como variables
relevantes en sus modelos y han logrado al menos parcialmente sustentar
la regla de Hotelling. Otras aproximaciones usando funciones de
producción asociadas a reglas de optimización dinámica o usando
técnicas de optimización dual no han tenido resultados satisfactorios
en probar esta hipótesis (Farrow 1985, Young 1992, Halvorsen and Smith
1991). Miller and Upton (1985) usando un modelo de optimización que
incorpora reservas encontraron que sus estimaciones en el mercado del
gas y petróleo eran consistentes con esta regla. Sin embargo, otros tests
en la misma línea han encontrado que este principio sobrevalora los
activos mineros debido a que el stock se trata como un recurso norenovable
y no se incorporan las acciones de búsqueda, desarrollo y
descubrimientos de nuevos minerales (Adelman 1990). Otra
aproximación, ha sido la de tratar los activos mineros como un activo
financiero y analizar si estos se comportan como lo predicen modelos
tipo CAPM (Hartwick y Yeung (1988), Slade et. al.(1997)). Al contrario,
de los otros modelos que arrojan resultados pobres y disímiles para
probar esta regla, el modelo financiero ha tenido un mayor apoyo
empírico. Por ejemplo, el modelo de Slade et., al (1997) que unifica el
tradicional enfoque de Hotelling con el CAPM (modelo de precio de
activos financiero) de manera de incluir el riesgo y algunas variables
macroeconómicas, no rechaza las restricciones impuestas por los
modelos tipo Hotelling.
1. Modelando la tendencia del precio del cobre
La hipótesis más comúnmente aceptada para explicar la conducta de
los precios de los minerales, la regla de Hotelling, plantea que el precio
debiera crecer a la tasa de interés. Como ésta es positiva, se estaría
prediciendo que los precios de los minerales deberían constantemente
subir debido a su escasez. Sin embargo, en la práctica lo que se observa
es más bien una caída de éstos en términos reales. Una posible
explicación a este fenómeno ha sido la existencia de cambio tecnológico;
al incluir el progreso técnico en la función de costos, los costos
marginales debieran caer. Luego, la variación de precios de largo plazo
debería incluir dos efectos contrapuestos. Por una parte, un menor costo
marginal, producto de cambio tecnológico que reduce el precio y por

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303
otra, una mayor escasez que cambia de acuerdo a la tasa de descuento 4 .
Si el cambio técnico es lo suficientemente fuerte y permanente, el efecto
neto podría resultar en una caída en los precios (Slade,1982a). El efecto
final sobre los precios y sobre la renta de escasez sería una cuestión
más bien empírica.
Si la teoría de Hotelling fuese correcta y el precio estuviese determinado
por los costos marginales, el cambio técnico, la tasa de interés
y la renta de escasez –y aunque a priori no sería posible definir
una tendencia– los movimientos en los precios podrían aún ser sistemáticos
y ser modelados apropiadamente usando alguna tendencia
determinística. Sin embargo, es sabido que las firmas toman sus decisiones
bajo condiciones de incertidumbre respecto a los precios futuros.
Cambios bruscos en la demanda, descubrimientos de nuevos yacimientos,
cambios imprevistos en la ley del mineral, variaciones en
los impuestos y cambios en los precios de sustitutos y complementos,
entre otros factores, están continuamente afectando el precio futuro.
Cuando la información nueva es procesada, la trayectoria de precios
consistente con la regla de Hotelling es completamente alterada. Por
lo tanto, al tomar un período de tiempo de análisis se estarían observando
una infinidad de trayectorias consistentes con la regla de
Hotelling. En tal situación los precios de equilibrio observados podrían
ser perfectamente generados bajo procesos de camino aleatorio
(Slade, 1988) donde cada uno de ellos es un punto en la infinidad de
trayectorias existentes de Hotelling.
Por otro lado, también existe una relación entre activos financieros
y activos reales tales como en el caso del cobre. Cuando los retornos
de los activos financieros caen, algunos inversionistas tienden a
comprar activos reales como oro, plata, cobre y otros, acentuando con
ello la caída en el precio de los primeros y aumentando el retorno de
estos últimos. Como resultado de esta interconexión, la volatilidad de
los mercados financieros se transmite hacia el mercado de activos reales
y viceversa. La importancia de estos factores dependerá de la relevancia
que tengan las transacciones en los mercados de intercambio
como las bolsas respecto a la cantidad total transada del metal.
Los factores de riesgo y de diversificación de carteras de inversión
han sido incluidos en modelos que combinan el tradicional enfoque
dinámico a la Hotelling con el modelo de valoración de precios de
4
Ver anexo II para una derivación matemática de esta regla.

304
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
activos (CAPM) en Slade et al., (1997). Aunque los resultados de estos
tests no han sido definitivos, ellos muestran que la inclusión de factores
financieros y variables macroeconómicas podrían ser relevantes para
explicar la variación de los precios sombra del recurso.
Si se incluyen los efectos de la incertidumbre en la determinación
de los precios de equilibrio de mercado, la trayectoria de precios
sería generada más bien por un proceso estocástico que uno
determinístico. En tal caso el precio podría ser modelado como un proceso
tipo Wiener o Brownian motion. Esto implicaría que el comportamiento
del precio seguiría un proceso Markov con incrementos independientes
5 . Por ejemplo, un proceso de Wiener para el precio del cobre
puede ser generalizado a uno tipo Brownian motion con drift:
dP=αdt+σdz
donde α es el parámetro drift , σ es el parámetro de varianza y dz
es el incremento del proceso Wiener dado por
Si este proceso
sigue una distribución normal estándar su valor esperado es
E(dP)=αdt y su varianza es σ 2 dt. 6 Si se asume que el proceso que da
origen al precio es determinístico, es decir, σ=0, se estaría en la presencia
del caso más simple de la regla de Hotelling donde α=ρ. Por otro
lado, al asumir que α=0 se estaría en presencia de una martingala típica
donde las variaciones de precios se deberían básicamente a especulaciones.
El proceso estocástico anterior y también su homólogo en forma
geométrica se usan comúnmente para modelar precios de acciones y
variables económicas y financieras. Una de las características de estos
procesos es que también pueden ser derivados como el límite en tiempo
continuo de un camino aleatorio en tiempo discreto 7 .
5
Un proceso de Markov implica que la distribución de probabilidades de
los valores futuros de una variable depende solamente de su valor corriente
no siendo afectada por los valores pasados. Por otro lado, incrementos
independientes significa que la distribución de probabilidades
para cambios en el proceso sobre un intervalo de tiempo es independiente
de cualquier otro intervalo.
6
Esto se debe a que si µ se distribuye normal estándar, entonces
7
Ver Dixit and Pindyck 1994, pp 68-70 para una derivación.

ANDRÉS ULLOA
305
En el caso de los commodities en los que el precio de largo plazo
está relacionado con el costo marginal de producción, a menudo se usan
procesos de reversión a la media. Aquí se supone que aunque el precio
fluctúa aleatoriamente durante un cierto intervalo de tiempo, en el largo
plazo debiera tender hacia un valor medio que puede estar dado por
los costos marginales de largo plazo. Un proceso simple de reversión a
la media para el precio es el conocido como proceso Ornstein-Uhlenbeck
y que viene dado por:
dP=Β( —P)dt+σdz
donde β es un parámetro que representa la rapidez de la reversión.
Este proceso en el caso límite cuando el cambio en el tiempo tiende a
cero puede ser modelado como un proceso autoregresivo de primer orden
(AR(1)). Para poder determinar si estos procesos estocásticos tienen
una forma geométrica o de reversión a la media es necesario examinar
los datos y usar un test de raíz unitaria.
Lo anterior implica que el precio del cobre bajo condiciones de
incertidumbre puede ser generado por procesos estocásticos tales como
camino aleatorio o autorregresivos. Esto reflejaría el hecho de que el
precio del recurso se puede formar en base a actividades de arbitraje
más que a las usuales características de escasez de un recurso natural
no renovable.
Como conclusión, la modelación del precio del cobre requiere
determinar si la serie de precios es determinística o estocástica y si
ésta tiene un comportamiento estacionario. Los primeros trabajos que
se hicieron en esta área como el de Slade (1982a), partieron suponiendo
que la serie era determinística, pero otros como Slade (1986,
1997) y Aherns et al., (1997) mostraron la importancia de considerar
tendencias estocásticas en la modelación de los precios de los
commodities.
2. Estimación de la tendencia histórica del precio real del cobre
Con el objeto de analizar con más detalle las tendencias de largo plazo
del precio del cobre se estimará la tendencia histórica del precio real
del cobre. Para ello se utilizarán dos series de datos. La primera
corresponde a los precios del cobre publicado por Robert Manthy para
los años 1870-1973 actualizados hasta 1998 utilizando la información
del Metal Week. Estos precios fueron deflactados por el índice de
precios de productor de U.S.A. La segunda serie corresponde al precio
promedio anual del cobre publicado por la US Geological Survey

306
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
deflactado por el índice de precios al consumidor para los años 1850-
1998 8 .
Para examinar el comportamiento de la serie de tiempo, uno de los
primeros análisis estadísticos que se debe efectuar es la determinación
de su estacionariedad; en caso que sea estacionaria hay que ver si es de
tendencia estacionaria o diferencia estacionaria. La importancia de saber
si la serie es de tendencia estacionaria o bien si tiene raíz unitaria radica
en su capacidad de predicción, la persistencia de los errores y las
transformaciones requeridas para convertir la serie en una estacionaria.
En una serie que sigue una tendencia lineal estacionaria al componente
estocástico simplemente se le agrega el componente determinístico con
el objeto de efectuar una predicción. Por lo general, el error de predicción
crece a medida que aumenta el período (para la predicción) pero este
error está acotado. Por el contrario en el proceso de raíz unitaria el
componente asociado al drift –en el caso de un camino aleatorio con
drift– cambia con cada nueva observación agregada. Además el error
de predicción de un camino aleatorio incrementa en forma lineal con el
horizonte de predicción a una tasa mayor que el proceso de tendencia
estacionaria.
Una segunda diferencia importante es la referida a la persistencia
de los errores o innovaciones, es decir a cambios en los errores que
generan efectos permanentes o solo temporales respecto a un valor
medio. Por ejemplo, si el precio del cobre fuese un proceso de raíz
unitaria, se podría aseverar que impactos exógenos podrían tener efectos
permanentes sobre la conducta del precio, es decir una caída o un alza
permanente. Por otro lado, si este proceso es estacionario, se podría
argumentar que los impactos exógenos solo tendrían efectos de corto
plazo y luego el precio volvería a un cierto nivel. En el caso del precio
del cobre pareciera razonable suponer que los shocks exógenos sólo
tendrían efectos de corto plazo y en el largo plazo el precio debería
acercarse a su valor de escasez o hacia su costo marginal.
La primera etapa para responder estas interrogantes es examinar
las funciones de autocorrelación (ACF). Cuando una serie es
estacionaria, su función de autocorrelación tenderá rápidamente a cero
cuando aumenta el número de rezagos. Como muestra el cuadro 1 para
8
Se usó un IPC y no IPP debido a que la serie del IPC es más larga y
permite utilizar una mayor cantidad de datos. La serie de IPP que se
dispuso parte de 1913. Sin embargo, la tendencia del precio no cambió
mucho usando uno u otro índice.

ANDRÉS ULLOA
307
el logaritmo natural del precio del cobre, el ACF no decae rápidamente
por lo que existen presunciones de que se podría estar en la presencia
de alguna raíz unitaria. Usando Box & Jenkins (1970) se toman las
primeras diferencias de la serie y se obtiene su ACF; sin embargo, la
suma de los coeficientes de autocorrelación tiende a -0,5 lo cual es una
evidencia de que la diferenciación de la serie es redundante.
Para verificar por estacionariedad se recurrirá a los tradicionales
test de Dickey-Fuller Aumentado (ADF) y el de Phillips-Perron (PP).
La forma como estos tests operan se muestra en el anexo I. Se analiza la
hipótesis nula de que la serie tiene raíz unitaria con drift contra la
hipótesis de que el proceso es estacionario. Los resultados del cuadro 2
permiten concluir que si se consideran solo los dos primeros rezagos
del proceso AR el test ADF permite rechazar la hipótesis de raíz unitaria
con un 95% de confianza. Con el test PP que no es sensible al número
de rezagos también se rechaza la hipótesis nula por lo cual hay indicios
de que el proceso del precio del cobre sería estacionario.
Cuadro 1. Función de autocorrelación para el precio del cobre
Período 1870-1998 Período 1850-1998
Rezago Nivel de precio Primeras Primeras
diferencias Nivel de precio diferencias
1 0,86 ** 0,04 0,93 ** 0,11
2 0,71 ** -0,12 0,85 ** -0,21 **
3 0,59 ** -0,23 ** 0,79 ** -0,16 **
4 0,54 ** -0,11 * 0,75 ** -0,14 **
5 0,52 ** -0,12 ** 0,74 ** -0,13 **
6 0,52 ** 0,09 * 0,73 ** 0,06 **
7 0,51 ** -0,01 0,72 ** 0,01 **
8 0,49 ** 0,02 0,71 ** 0,06 **
9 0,48 ** 0,05 0,69 ** 0,02 **
10 0,46 ** -0,03 0,67 ** -0,02 *
**, * indican significancia al 5% y 10% respectivamente para el Box-Pierce Q estadístico
Uno de los problemas de estos tests es que son sensibles al período
muestral considerado; por ejemplo, al tomar series de datos mas cortas
como el período 1870-1970 o el período 1910-1998, el test ADF ya
no permitiría rechazar la hipótesis de raíz unitaria al 5% aun cuando se

308
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
usen procesos de simulaciones de Monte Carlo para corregir por la reducción
en el tamaño de la muestra. Sin embargo, si se escogen arbitrariamente
otros períodos de tiempo como el período 1870-1930, 1931-
1970, 1971-1998 es posible encontrar alguna evidencia de tendencia
como se aprecia en el cuadro 2.
Cuadro 2: Test de raíz unitaria
Orden del rezago
Serie Test 1 2 3 4 5 16
1870-1998 ADF -3,72** -3,54** -2,86 -2,57 -2,19 -1,65
PP -24,95** -25,16** -23,67** -22,32** -20,98** -24,27**
1870-1970 ADF -3,3 -,2,98 -2,19 -1,96 -1,33 -0,86
PP -21,81**
1910-1998 ADF -3,32 -2,90 -2,75 -2,48 -2,59 -1,53
PP -13,62
1870-1930(1) ADF -3,66** -3,68**
PP -18,20**
1931-1970(1) ADF -3,06** -2,21 -2,75** -2,19**
PP -18,45
1971-1998(1) ADF -2,48* -2,38 -1,59
PP -9,40
1850-1998 ADF -3,94** -3,27** (1) -2,99** (1) -2,55* (1) -2,24* (1) -2,23* (1)
PP -25,34** -23,24**
**,* Rechaza hipótesis nula (Ho) al 5% y al 10% respectivamente de que la serie
sea un proceso de raíz unitaria con drift en favor de una tendencia lineal estacionaria.
Para el test ADF el valor critico de rechazo de Ho es -3,45. Para el test Phillips-Perron
(PP) el valor critico de rechazo de Ho es –21,78
Para muestras más pequeñas se usaron simulaciones de Montecarlo
Una explicación al fenómeno anterior lo proporciona Perron
(1989); cuando algunas series de tiempo tienen quiebres de tendencia
que no han sido considerados en el análisis es posible obtener evidencia
de raíz unitaria aún cuando ésta no exista. Por ejemplo, en el caso de
muchos commodities, el precio cayó bruscamente durante la Gran
Depresión de los años 30. Usando un test tipo ADF se podría considerar

ANDRÉS ULLOA
309
esta situación como un shock permanente y por lo tanto se estaría en
presencia de una raíz unitaria; sin embargo, si se elimina el quiebre se
podría estar en presencia de un proceso estacionario donde el precio
puede revertir hacia una tendencia o hacia su media. Para analizar esto
se usará el método propuesto por Perron(1989) y arbitrariamente se
escogerán los períodos 1930, 1945 y 1971 como períodos de cambios
en la tendencia. Para ello se estima la siguiente ecuación por OLS
(mínimos cuadrados ordinarios):
Donde
son los residuos estimados de la siguiente regresión:
Donde es el estimador mínimo cuadrático, DU es una variable
dummy que toma el valor 1 para t>T q y DT=t si t>T q . En el anexo I se
presenta este modelo y se definen las variables con más detalle. En el
cuadro 3 se muestran los resultados de aplicar quiebres en los períodos
1930 (la Gran Depresión), 1945 (fin de la II Guerra Mundial) y 1971
(alza en el precio del petróleo). El valor t α corresponde al estadístico t
del parámetro estimado de la regresión anterior. Este valor se compara
con los valores determinados en Perron (1989). En general se observa
que al incorporar los quiebres la tendencia lineal estacionaria es aceptada
por el test ADF en todos los casos e incluso en aquel que considera una
muestra más pequeña en la cual la hipótesis de raíz unitaria no pudo ser
rechazada, como lo muestra el cuadro 2.
Cuadro 3: Test ADF con quiebres en la tendencia lineal
Período Quiebre Test ADF (t )
α
1870-1998 1931 -4,55**
1870-1998 1945 -4,87**
1870-1998 1971 -4,32**
1910-1998 1945 -4,21**
Valores críticos: –4,23 para l=0,45;-4,24 para l=0,58;–4,07 para l=0,78;
-4,21 para l=0,39. ** significativo al 5%.
Otros tests son presentados en el cuadro 4. En la primera columna
se muestran los resultados del test de raíz unitaria para un proceso de

310
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
autocorrelación de orden mayor a uno. Para los dos períodos muestrales
considerados se estaría nuevamente rechazando la hipótesis de camino
aleatorio. En la segunda columna se presenta un test que generaliza la
idea de quiebres de tendencia propuesta por Perron. Este test propuesto
por Bierens (1997) usa polinomios de Chebishev para construir una
tendencia de tiempo no lineal. Los resultados muestran que al 95% de
confianza se rechaza la hipótesis nula de raíz unitaria.
La última columna del cuadro 4 presenta los resultados de cambiar
la hipótesis nula para examinar estacionariedad contra una hipótesis
alternativa de camino aleatorio. Se proporcionan dos tests; uno tipo PP
y uno conocido como KPSS propuesto por Kwiatkowski, et al. (1992).
El cuadro muestra que al 95% de confianza se acepta la hipótesis nula.
Como estos tests tienen como hipótesis nula una tendencia estacionaria
contra una tendencia estocástica, su aceptación proporciona mayor
evidencia de un comportamiento de tendencia estacionaria para ambas
series de precio del cobre.
Dadas las consideraciones anteriores y bajo los test ya especificados
es posible para el período muestral completo rechazar la hipótesis nula
de tendencia estocástica o raíz unitaria en favor de un modelo de
tendencia lineal estacionaria. Por lo tanto se estima el siguiente modelo
AR(1)
Y t = α +β*T+ γY t-1 + µ t
;
donde T y β son vectores.
Cuadro 4: Otros Test de raíz unitaria
Tendencia
Período HOAC (ta) (1) ADF no linear (2) estacionaria
HOAC (1,1) HOAC (2,2) t(m) A(m) F(m) KPSS (4) B-G (5)
1870-1998 -113,51** -89,06 ** -6,98** -98,5** 4,8* 0,137 6,22
1850-1998 -77,43** -69,89** -3,97** -33,0** 5,8** 0,122 5,82
(1) HOAC es test de Bierens de autocorrelación de orden mayor. La hipótesis nula es
raíz unitaria con drift contra tendencia lineal estacionaria
(2) Test ADF no linear propuesto por Bierens.
(3) Para evitar sesgo por reducción del tamaño de la muestra se usaron simulaciones
(4) Test de Kwiatkowski, D., P. Phillips, P. Schmidt, and Y. Shin (1992)
(5) Test de Biernes-Guo
** significativo al 5%, * significativo al 10%

ANDRÉS ULLOA
311
Usando el método de MV (máxima verosimilitud) los resultados se
presentan en los cuadros 5 y 6 y en las figuras 1 y 2. En el cuadro 5 se
muestran los valores de los parámetros estimados considerando tanto una
situación sin quiebres en tendencia y otra con quiebres en tendencia. En el
cuadro 6 y figura 2 se muestran los resultados de ajustar un polinomio
Chebishev de orden 5 a la variable tendencia. Como el parámetro que
acompaña a la variable autoregresiva (γ) o AR(1) es en todos los casos menor
a uno y siempre se rechazó la hipótesis de raíz unitaria, el proceso de la
serie del precio del cobre revierte a una media dada por α* +β*T en el caso
del polinomio lineal.
Figura 1. Proceso AR(1) con tendencia lineal para precio real del cobre
4.5
4.0
0.6
0.4
0.2
0.0
3.5
3.0
2.5
-0.2
-0.4
1880 1900 1920 1940 1960 1980
Residual Actual Fitted

312
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
Cuadro 5: Estimación de modelo AR(1)
No quiebre Quiebre
Período 1930 Período 1930 y 1971
Const 3,838** 3,881** 3,97**
ConstxD1 -0,817** -2,035**
ConstxD2 3,414**
Tend -0,004** -0,006* -0,009**
TendxD1 0,009* 0,027**
TendxD2 -0,0342**
AR(1) 0,823** 0,76** 0,65**
R 2 Aj. 0,735 0,749 0,765
D.W. 1,75
N
129 129 129
**,* significativo al 5% y 10% respectivamente
D1 =1 si t>1930 y 0 en otros casos. D2=1 si t>1971 y 0 en otros casos.
(*) Se usó un polinomio de Chebishev de orden 5 para desestacionalizar los datos
Cuadro 6. Estimación del modelo AR(1) con tendencia no lineal (*)
Variable Valor parámetro Value t
Constante 3,792 57,189 **
Tend (P ) -0,004 -4,122 **
1
-0,009 -0,288
P
2
P
0,133 4,000 **
3
P
-0,034 -1,125
4
P
-0,138 -4,207 **
5
AR(1) 0,618 8,625 **
RSS: 0,027
s,e, 0,149
R 2 : 0,769
N: 129

ANDRÉS ULLOA
313
Figura 2. Proceso AR(1) con tendencia no lineal
Usando el valor medio de la regresión que incluye los quiebres en
tendencia se estima el precio de la libra de cobre de largo plazo. Este precio
corresponde a aquél que solo toma en cuenta la tendencia de largo plazo en
cada tramo eliminando la volatilidad de corto plazo. El cuadro 7 proporciona
este precio en centavos de dólar por libra. Por ejemplo, para el año 1998,
el precio real –base año 2000– sería de 1 dólar. No sorprende entonces que
un precio del cobre de largo plazo de 100 centavos la libra sea usado como
referencia por algunas firmas para evaluar un proyecto minero.
Adicionalmente, en el cuadro 8 se presenta un conjunto de tests para
probar la hipótesis de raíz unitaria para muestras más pequeñas (subperíodos
más cortos). Se usa para ello la información anual y también información
mensual. El objetivo de esto es ver si para muestras más cortas se sigue
aceptando la hipótesis de tendencia o si bien ahora es válida la hipótesis de
raíz unitaria. Si los procesos de menor memoria tuviesen raíz unitaria se
estaría en la presencia de shocks permanentes pero de corto plazo, dentro
del intervalo de la submuestra; pero a medida que la muestra crece en tamaño
la serie se volvería estacionaria con reversión a la media. En el cuadro 8
se observa que para la mayoría de las submuestras analizadas no es posible
rechazar la hipótesis de raíz unitaria. La última columna muestra que si se
cambia la hipótesis nula por una de estacionariedad, para la mayoría de
estas submuestras no es posible aceptar la hipótesis de tendencia lineal.
Esto quiere decir que existe evidencia de que los shocks tendrán efectos de
corto plazo pero posteriormente en un período largo de tiempo el precio del
cobre debería revertir hacia su media de largo plazo. En el intertanto, el
precio mostrará una fuerte variabilidad.

314
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
Cuadro 7: Estimación de precio de largo plazo usando un proceso de
reversión a la media (centavos de dólar por libra)
Año Real (*) Nominal Año Real(*) Nominal
1980 134,87 86,12 1990 114,70 99,21
1981 132,70 92,54 1991 112,86 99,66
1982 130,57 94,75 1992 111,04 99,27
1983 128,47 94,72 1993 109,26 98,87
1984 126,41 95,12 1994 107,50 97,90
1985 124,38 94,50 1995 105,77 98,17
1986 122,38 91,65 1996 104,08 99,16
1987 120,41 92,09 1997 102,40 97,94
1988 118,48 92,85 1998 100,76 95,56
1989 116,57 96,10
• En precios del año 2000
Cuadro 8: Test de raíz unitaria para submuestras
Período Periodicidad ADF PP KPSS (1)
1870-1930 anual -3,664** -20,4** 0,108
1931-1998 anual -2,56 -9,26 0,148**
1980-2000 mensual -2,81 -19,36 0,155*
1980-1989 mensual -2,11 -9,30 0,2026**
1990-2000 mensual -2,44 -12,89 0,118
*significativo al 10%; ** es significativo al 5%
(1) Aquí la hipótesis nula es la de estacionariedad.
Finalmente se presenta un análisis de cointegración entre el precio
real del cobre y la tasa de crecimiento del PIB real de la economía de Estados
Unidos para el período 1929-1998 y entre el precio de cobre y los niveles
de inventarios para el período 1989-2001 usando datos semanales. Existe
evidencia que la demanda de cobre está fuertemente influenciada por la
variable ingreso. Una reducción en el PIB tiene por lo general importantes
efectos sobre el precio de equilibrio tanto por el lado de los consumidores
de cobre como por el lado de los inversionistas financieros.

ANDRÉS ULLOA
315
Este cambio en el precio puede tomar algún tiempo dependiendo de
las condiciones de los inventarios. Si la información entregada por el PIB
estuviera cointegrada con la del precio del cobre, los analistas podrían utilizar
las predicciones en el crecimiento económico como un instrumento para
predecir el precio del cobre. Lo mismo ocurre con los inventarios; si la
variable inventario estuviese cointegrada con la variable precio, la información
obtenida sobre estos inventarios podría ser usada en la predicción del
precio del cobre.
Los resultados preliminares de aplicar el test de Bierens de
cointegración no lineal y el test de cointegración de Johansen muestran que
el precio del cobre y el PIB estarían integrados en orden uno o dos. Por otro
lado el precio del cobre estaría cointegrado con los inventarios en un orden
de cointegración de al menos 2. Claramente ésta es un área de investigación
futura que podría ser de mucha utilidad para obtener mayor información
para mejorar las predicciones del precio del cobre.
Figura 3. Tendencia de Largo Plazo
200
180
160
Pr
eci
o 140
re
al
Precio Real
120
100
80
60
1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000
Años
3. Estimación de la variabilidad en el precio del cobre
Las series financieras y los precios de los commodities se caracterizan por
tener una alta volatilidad. El precio del cobre no es la excepción y se ha
caracterizado por presentar una fuerte variabilidad que además crece en
algunos períodos (especialmente si se consideran precios diarios o semanales).
Es común por ejemplo que ante una caída en el precio bajo una cierta

316
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
tendencia, ésta se mantenga por un cierto período; lo mismo ocurre ante un
alza en el precio. Este comportamiento ha inducido a algunos investigadores
a suponer que las varianzas no son constantes y por lo tanto que existiría
una cierta estratificación de la volatilidad.
Una forma de enfrentar el problema antes mencionado es mediante
la corrección del modelo de predicción que incluya heteroscedasti–
cidad condicional en los errores. Esto es lo que hacen los modelos ARCH
y GARCH que se presentan en el anexo I. Por ejemplo, los modelos
ARCH típicamente asumen que existe una volatilidad de largo plazo
dada por un parámetro ν con un peso superior a cero. La volatilidad
corriente se asume que depende de las volatilidades pasadas usando un
modelo típico de series de tiempo. Esto conduce a especificar el modelo
de la siguiente forma:
donde se puede definir σ y u por:
Los pesos asignados a la ecuación anterior, es decir γ+Σα deben
sumar la unidad. Este modelo queda convertido en un modelo ARCH(q)
donde los parámetros α 0 y α i se pueden estimar usando un procedimiento
de máxima verosimilitud.
De la misma manera se puede especificar el GARCH como
donde nuevamente la suma de los parámetros es uno.
La especificación del modelo depende de la existencia de
estacionariedad o raíz unitaria en la serie de tiempo. Para el caso de
modelos de tendencia estacionaria el modelo estimado es de la forma:
Log P t = a + b*time +ε t

ANDRÉS ULLOA
317
Con ε siguiendo el proceso ARMA definido anteriormente y con ⎥
ρ ⎥

318
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
que el incremento de las transacciones financieras a partir del año 1996
no ha alterado la volatilidad del precio del cobre (Figueroa et al. (2000a))
Cuadro 10. Estimación de volatilidad usando un modelo
AR(1)- Garch(1,1)
Período Const Tend α o
α 1
AR(1) Volatilidad
Serie en primeras diferencias
1850-1998 -0.008 -0,18 0,02 0,73 0,11 0,074
(-20,4) ** (-5,7) (2,36)* ( 2,67)** ( 0,6)
1930-1998 -0,009 0,02 0,21 -0,03 0,02
(-0,5) (1,7)* (0,86) (-0,06)
1970-1998 0,0064 ( 0,29) 0,02 0,41 -0,39 0,02
(1,5)* (0,78) (-1,07)
Serie de nivel
1870-1998 3,87 -0,004 0,036 -0,235 0,756 0,075
(92,5) ** (-7,7) ** (3,9) ** (-2,2) ** (2,48) **
1930-1998 2,63 0,009 0,006 0,040 1,239 -0,023
(28,45) ** (9,2) ** (1,14) (0,41) (2,4) **
1950-1998 0,013 0,736 0,008 -0,040 0,713
(0,62) (2,3) ** (1,15) (-0,22)
Datos mensuales
1980-2000 -0,792 0,0035 0,21 -0,24 0,0044
(5,9)** ( 2,9)** (-1,5)
Datos semanales
1989-2001 -0,002 0,0007 0,24 0,007 0,0009
(-1,7)* ( 6,9)** (3,6)** (0,06)
1996-2001 -0,002 0,0009 0,09 -0,001 0,0009
(-1,1) (2,4)** (1,2) (-0,003)
*significativo al 10%;
** es significativo al 5% , valor t entre paréntesis
IV. VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE EN RELACIÓN CON
LA VOLATILIDAD DEL PRECIO DE OTROS COMMODITIES
En esta sección se analizan las series de precios reales de algunos
commodities seleccionados y se comparará su volatilidad respecto al
precio del cobre. Las series de datos fueron obtenidas del departamento
de Commodities del Fondo Monetario Internacional para el período
1980- 2001, en índices de datos mensuales. La información financiera
usada para el precio del cobre contado, futuros a 3 meses, 15 y 27 meses

ANDRÉS ULLOA
319
corresponde al promedio mensual de la LME para el período 1989-2001.
Los precios fueron deflactados por el índice de precios industriales
(MUV) del FMI.
Para efectos de la comparación se usarán los siguientes
commodities.
1. Indice de precios de alimentos
2. Indice de precios de bebidas
3. Indice de precios de materias primas
4. Indice de precios de metales
5. Indice de precios de fertilizantes
6. Indice de precios del petróleo
7. Precio del azúcar
8. Precio del caucho
9. Precio del aluminio
10. Precio del níquel
11. Precio del cobre contado
12. Precio del cobre futuro 3 meses
13. Precio del cobre futuro 15 meses
14. Precio del cobre futuro 27 meses.
15. Indice de precio de las acciones de Frankfurt (DAX)
16. Indice de precio de las acciones de Londres (FTSE100)
17. Indice de precio de las acciones de Tokyo (Nikkei).
18. Standard & Poor New York, (S&P 500),
Para efectos de verificar que se tiene una serie estacionaria se trabajará
con el logaritmo de las primeras diferencias. En el cuadro 11 se encuentra
un resumen estadístico con los principales indicadores de media, desviación
estándar, volatilidad anual histórica, skewness, kurtosis, test Jarque-Vera
de normalidad. Se observa que en general las series no son normales. Esto
es probablemente debido a que la muestra es relativamente pequeña (se han
usado datos mensuales). Sin embargo, es frecuente encontrar estas situaciones
con datos financieros.
El parámetro que más interesa estudiar es la volatilidad. Se toma un
indicador de volatilidad anual para comparar las series de tiempo. Usando
este indicador de volatilidad histórica y mirando la figura 4 se puede observar

320
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
que el precio del cobre tiene un nivel de volatilidad intermedia respecto a
metales como el níquel o commodities como el azúcar que tienen una mayor
volatilidad en el período de análisis.
Cuadro 11: Estadísticos para series seleccionadas
Media Mediana Maxim Minim Desv. Volatili- Skew- Kur- Jarque- Observ.
Estándar dad (a) ness tosis Bera
Bebidas -0,005 -0,004 0,294 -0,186 0,060 0,206 0,776 6,117 126,770 251
Fertilizante -0,001 0,000 0,106 -0,119 0,027 0,094 -0,345 6,638 143,375 251
Alimentos -0,002 -0,004 0,168 -0,088 0,033 0,113 0,647 5,589 87,648 251
Metales -0,002 -0,003 0,132 -0,176 0,040 0,139 -0,039 4,804 34,097 251
Mat-Primas -0,001 -0,001 0,076 -0,130 0,029 0,102 -0,458 4,708 39,303 251
Caucho -0,004 -0,001 0,199 -0,153 0,052 0,179 0,362 4,713 36,176 251
Azúcar -0,003 -0,002 0,362 -0,263 0,103 0,355 0,419 3,923 16,251 251
Petróleo -0,003 -0,001 0,439 -0,320 0,082 0,283 0,396 7,860 253,556 251
Aluminio -0,002 -0,006 0,198 -0,288 0,060 0,207 -0,166 5,483 65,613 251
Niquel -0,001 -0,007 0,578 -0,243 0,080 0,277 1,683 13,986 1380,772 251
CU-CASH -0,004 -0,005 0,291 -0,203 0,063 0,132 0,377 6,312 68,746 143
FUTcu-3 -0,004 -0,007 0,257 -0,217 0,057 0,184 0,243 6,677 81,985 143
FUTcu-15 -0,003 -0,003 0,129 -0,137 0,038 0,196 0,026 4,648 16,203 143
FUTcu-27 0,003 -0,001 0,414 -0,135 0,053 0,218 3,934 32,739 4495,125 114
St-Frankfur 0,005 0,010 0,301 -0,280 0,061 0,213 -0,260 8,883 206,396 142
ST-Londres 0,006 0,008 0,187 -0,253 0,051 0,177 -0,721 7,643 139,841 142
ST-Japón -0,001 -0,001 0,168 -0,197 0,054 0,186 -0,443 4,094 11,712 142
ST-SP500 0,008 0,010 0,189 -0,157 0,041 0,141 -0,198 8,047 151,656 142
La volatilidad fue calculada en una base anual como la desviación
estándar mensual multiplicada por la raíz de 12. Esto es volatilidad
histórica
Si se compara la volatilidad de los metales con la volatilidad del índice
de precio de los bienes industriales (MUV) observamos que la primera es 5
o 6 veces mayor. En la figura 6 se ha graficado la volatilidad de ambas
series usando una misma escala para efectos de comparación.
La volatilidad de los índices de acciones es ligeramente inferior a la
del cobre. A su vez tomando en cuenta los instrumentos financieros que se
usan para transar cobre como futuros 3 meses, 15 y 27 meses se observa
que estos últimos presentan una menor volatilidad que el precio contado del
cobre. Aquí habría un indicio que los futuros en este período han reducido
la volatilidad de las transacciones de cobre. Sin embargo, considerando las
conclusiones de otros estudios, dado el bajo porcentaje de cobre transado
en futuros y opciones, esta menor volatilidad no habría afectado la volatilidad
del precio contado.

ANDRÉS ULLOA
321
Si se toma una muestra más grande de metales y acciones con una
base diaria se concluye que la volatilidad del cobre es alta comparada con
otros metales y que esta volatilidad se reduce para el caso de futuros como
se aprecia en la figura 5.
Figura 4. Volatilidad histórica de las series
ST-SP500
ST-Jap
ST-Lon
St-Frank
CU-CASH
FUTcu-3
FUTcu-27
Activo
FUTcu-15
Nickel
Alum
OIL
Azucar
Caucho
MAT-Primas
Metales
Alimentos
Fertiliz
Bebid
0.05 0.10 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40
Volatilidad anual

322
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
Figura 5. Volatilidad Histórica Base diaria para series
seleccionadas Período 1989-2001
Al27
Zi15
Ti15
SPCOMP
Cu15
Ti3
Al15
Ticash
FTSE100
Zi3
Cu27
A
C
T
I
V
O
S
FRCAC40
JAPDOWA
Le15
SNGALLS
Cu3
DAXINDX
Al3
Zicash
AMSTEOE
Alcash
Cucash
Le3
Ni15
HNGKNGI
Lecash
Ni3
Nicash
0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70
Volatilidad base diaria

ANDRÉS ULLOA
323
Figura 6. Volatilidad de Precio Metales y Precios Industriales
0.2
0.2
0.1
0.1
0.0
0.0
-0.1
-0.1
-0.2
-0.2
-0.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
LPMETAD1
-0.3
80 82 84 86 88 90 92 94 96 98 00
LMUVD1
A la izquierda Log de las primeras diferencias del índice de precios
de los metales. A la derecha el log de las primeras diferencias del
índice de precios industriales. Datos mensuales, 1980-2001. Ambas series
fueron graficadas en la misma escala para propósito de comparación.
V. CONCLUSIONES
Al analizar la tendencia del precio del cobre contado anual en el período
1850-1998 y 1870-1998 se concluye que estas series largas de tiempo
son de tendencia estacionaria. En particular esta tendencia no sería
lineal y estaría altamente influenciada por quiebres en tendencias producidas
por cambios estructurales en el desempeño económico. Esto
indicaría la existencia de reversión hacia una media no lineal. Usando
esto último fue posible determinar un precio de largo plazo que elimina
las variaciones de corto plazo.
Para analizar la variabilidad del precio del cobre se usaron datos
anuales, mensuales y semanales y se utilizó un modelo GARCH(1,1)
para corregir por heteroscedasticidad en los errores. Se concluyó que la
variabilidad de largo plazo para todo el período 1850-1998 es mayor
que si se toman subperíodos de tiempo. Por otro lado tomando datos
semanales se observa que la variabilidad ha sido más o menos constante
durante el período 1980-2001.
Al analizar la variabilidad del precio del cobre contado respecto a
precios del cobre en opciones y futuros, respecto al precio de otros
commodities y respecto al precio de los principales índices de acciones

324
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
se concluye que la volatilidad del precio del cobre está en un nivel intermedio.
La variabilidad de las opciones y futuros es menor que la del
cobre contado, sin embargo, no se puede concluir si esto ha afectado
positivamente al precio contado.
Para poder sacar conclusiones más relevantes respecto a la
volatilidad del precio del cobre sería conveniente efectuar un test de
cointegración entre la variación del precio del cobre contado y la
variación de los precios de otros activos (acciones, precio futuro,
opciones, inventarios y commodities relevantes). Además se podría
incluir en este análisis el impacto de la volatilidad del ingreso sobre la
variabilidad de los precios. Un análisis preliminar de cointegración
mostró que el precio del cobre estaría integrado al precio de los
inventarios y al ingreso real. La importancia de la cointegración radica
en la posibilidad de usar más información y en especial aquella con
menos volatilidad para predecir los niveles y la volatilidad del precio
del cobre.

ANDRÉS ULLOA
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ANDRÉS ULLOA
329
ANEXO I
VOLATILIDAD Y SERIES DE TIEMPO:
ASPECTOS CONCEPTUALES
El concepto de volatilidad
El concepto de volatilidad como se entiende hoy día tiene su
fundamentación en el trabajo seminal de Black y Sholes (1973) y en la
moderna teoría financiera. Aquí el concepto de volatilidad juega un papel
central en determinar el valor de una opción. Si bien es cierto este es
uno de los cinco parámetros básicos de la fórmula de opciones de Black
y Sholes (B&S) su importancia radica en que es el único no observable
y por lo tanto debe ser estimado. Para derivar la fórmula de opciones,
B&S usan un modelo de camino aleatorio de tiempo continuo. Ello da
origen al popular concepto de Brownian Motion con drift dado por la
siguiente expresión lognormal
(A1) ,
donde dS es el cambio en el precio del activo sobre un período
infinitesimal de tiempo, µ es el retorno medio del activo, dz es una
perturbación aleatoria independientemente distribuida con media cero
y varianza 1dt, siendo σ un parámetro de volatilidad 9 .
Este modelo ha sido el estándar en el último tiempo para el cálculo de
derivados y para la aplicación de modernos instrumentos financieros. Los
agentes de bolsas lo usan para el cálculo del precio de los activos financieros
después de incorporar una predicción sobre el valor de σ.
El modelo B&S establece que el parámetro de volatilidad σ que sigue
el proceso dado en (A1) es constante. Sin embargo, en el mundo real no lo
es, por lo tanto se hace necesario realizar periódicamente una predicción de
éste parámetro. La evidencia muestra que el modelo teórico tiene algunas
limitaciones importantes entre las que se puede destacar:
9
Dada la naturaleza lognormal de la expresión, el retorno acumulado en
un período de largo T tiene como valor esperado a µT, la varianza σ 2 T y
la desviación estándar

330
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
• la volatilidad cambia a través de tiempo
• los precios de las transacciones no son precios de equilibrio
• estos precios presentan correlación serial.
• los retornos no se comportan como lognormales y su distribución
tiene una cola mas larga.
• la existencia de reversión a la media .
Estas diferencias del modelo con el mundo real hace que el
problema de estimación de la volatilidad sea una cuestión empírica
relevante. La forma de estimación de la volatilidad depende del uso
que se quiera hacer y el método de estimación
La no-normalidad de los retornos
Los cambios en los precios observados se desvían consistentemente de
la log-normalidad. Usualmente la distribución de los precios de las
acciones tiene colas más grandes que las que tendría bajo normalidad.
En algunos casos los precios pueden variar inexplicablemente entre dos
fechas sin que existan transacciones importantes. La desviación de la
normalidad para algunos retornos es un fenómeno que comúnmente ha
sido detectado en los precios de los commodities ya que estos se ven a
menudo enfrentados a grandes saltos en sus precios debido a factores
exógenos (Deaton y Laroque 1990).
Para evaluar la normalidad de una serie a menudo se usan las
medidas estadísticas de skewness y kurtosis. La distribución normal es
simétrica y la medida estándar de su simetría viene dada por el
coeficiente de sknewness E(ε 3 )/σ 3 . La kurtosis es una medida de la
anchura de la cola de la distribución y está dada por β=E(ε 4 )/σ 4 . En el
caso de la distribución normal el valor de la kurtosis es 3.
Para chequear normalidad se puede comparar la skewness con zero
y la kurtosis con 3. En la práctica se usa lo que se conoce como el grado
de exceso dado por β-3. Un test tipo Wald con una distribución χ 2 (2)
puede ser usado. El test más común es el de Bera y Jarque –test de
multiplicadores de Lagrange–.
La estacionariedad o no estacionariedad de las series financieras 10
Existe una literatura extensa que ha mostrado que muchas series
económicas y financieras no tienen una estructura determinística no
10
Ver Hamilton para una cuidadosa discusión de estos y muchos otros temas
en series de tiempo

ANDRÉS ULLOA
331
estacionaria sino que más bien su comportamiento es estocástico y las
series presentan raíces unitarias.
Un proceso estocástico es estacionario si su función de distribución
no cambia a través del tiempo. Por lo tanto las medias de la serie de
tiempo debieran ser iguales en los períodos k y k+l y las covarianzas
tienen que ser constantes. Cuando los momentos de orden uno y dos se
mantienen constantes se dice estar en presencia de un proceso
estacionario de orden dos. La mayoría de las series financieras no son
estacionarias. La media cambia en el tiempo y las varianzas rara vez
son constantes
Por ejemplo en el conocido modelo autorregresivo de orden uno
AR(1), dado por Y t =ρY t-1 +ε t , la estacionariedad está dada por el hecho
de que el valor absoluto de ρ sea menor a uno y que ε t –también llamada
innovación– sea un ruido blanco 11 . Aqui la E(Y t )=0, la varianza está
dada por σ 2 ε/1-ρ 2 y la covarianza es ρ t-s σ 2 ε/(1-ρ 2 ), las cuales son
indeterminadas si ρ 2 es mayor o igual a uno 12 . La autocovarianza para
un rezago k viene dada por λ k =Cov(y t ,y t-k ). La función de autocorrelación
(ACF) se obtiene al dividir la autocovarianza por la varianza , es decir:
ρ k =λ k /λ o -1≥ρ k ≤ 1
En la práctica para conocer la autocorrelación de una serie de
tiempo se obtiene la función de autocorrelación (ACF) o el correlógramo
y se hace un test de Box-Pierce o uno más refinado como el de Ljung-
Box
Las variables macroeconómicas y financieras exhiben
generalmente fuertes tendencias y por lo tanto no son estacionarias. Sin
embargo, muchas veces las primeras diferencias son estacionarias. Un
proceso muy popular es el camino aleatorio con drift dado por y t = µ +
y t-1 + ε t él cual , por tener varianza infinita no es estacionario. Sin
,
embargo, las primeras diferencias dadas por Z t = y t -y t-1 = µ + ε t son
estacionaria. Esta serie y t se dice que es integrada de orden I(d) ya que
al tomar sus “d” primeras diferencias se convierte en estacionaria. En
el ejemplo d=1.
11
Ruido blanco hace referencia a un proceso de variables aleatorias no
autocorrelacionadas
12
Para el caso más general, el proceso es estacionario si las raices de las
ecuaciones características de C(L)=1-r 1
L-r 2
L 2 -r 3
L 3 -............-r p
L p =0 tienen
módulo superior a uno o están fuera del círculo unitario.

332
TENDENCIA Y VOLATILIDAD DEL PRECIO DEL COBRE
Series con fuertes tendencias o alta autocorrelación tienden a estar
relacionadas entre sí en forma espuria, es decir aún cuando éstas sean
independientes. En macroeconomía o en finanzas las series de datos pueden
tener factores comunes que las hagan comportarse en forma similar aún
cuando no estén teóricamente relacionadas. Además existe fuerte evidencia
que estas series presentan componentes de raíces unitarias. La importancia
de esto último radica en que bajo la hipótesis de raíz unitaria los shocks
tendrían efectos permanentes sobre el comportamiento de la serie mientras
que si ésta es estacionaria los efectos serían transitorios. Para chequear este
comportamiento se han propuesto varios tests conocidos como tests de raíz
unitaria. Uno de ellos (uno de los más populares) es el test de Dickey and
Fuller (ADF) . Ellos definen el siguiente modelo:
(A2)
t = p+2,.....,n, y u t es ruido blanco.
La hipótesis nula H(0) es que z es raíz unitaria con drift y que a = 0.
t
Aquí se estaría en la presencia de un camino aleatorio con drift. La hipótesis
alternativa es que z(t) es un proceso de tendencia estacionaria con a < 0.
Otro test que se usa habitualmente es el de Phillips and Perron (1988). Los
tests de raíz unitaria son muy populares pero también han sido muy criticados
entre otras cosas por su poca potencia. Por ejemplo, aunque estos tests puedan
no rechazar la hipótesis nula a un 95% de confianza, eventualmente podrían
también no rechazar la hipótesis de que a=0.05, incluso a un 99% de
confianza. Por lo tanto, la evidencia de no rechazo de la hipótesis nula no
indica aceptación de un camino aleatorio.
En situaciones donde además existen cambios bruscos en la tendencia
de la serie y estos sean ignorados en el cálculo de los tests, se puede no
rechazar la hipótesis de raíz unitaria erróneamente (Perron ( 1989)). Por
ejemplo, en la depresión de los años 30 y en el año 1973 a raíz del alza del
precio del petróleo se produjeron cambios en los niveles y tendencias de
muchas series económicas. Si estos shocks no son considerados en los tests
de raíz unitaria, se podría concluir que la serie es estocástica cuando en
realidad puede que ésta tenga tendencia estacionaria. Para modelar estos
efectos Perron (1989) considera estimar la siguiente hipótesis nula en el
caso de un modelo que incorpore cambio en el nivel y en la pendiente.

333
donde T B se refiere al tiempo de quiebre de tendencia.
Modelos Arch y Garch para estimar volatilidad
Generalmente los datos de series de tiempo relacionados a fenómenos
macroeconómicos o financieros presentan algún tipo de inestabilidad en la
varianza de los errores. Engle (1982,1983) y Cragg (1982) encontraron
evidencia de este fenómeno en algunos estudios de inflación. Más tarde
otros estudios realizados con datos de variables macroeconómicas como
tipo de cambio y especialmente series financieras indican que esto es bastante
común. Los resultados de Engle sugieren que al analizar modelos de
inflación, grandes y también pequeños errores de predicción están
segmentados y por lo tanto la varianza de errores difiere en los distintos
segmentos y depende del tamaño de las perturbaciones precedentes. Para
evitar este problema Engle (1982) sugiere usar un modelo Autorregresivo
de Heteroscedasticidad Condicional (ARCH en su abreviatura en Inglés).
Una versión simple del modelo es:
(A3)
donde µ t es normal e idénticamente distribuida y cumple con todos
los supuestos clásicos de los modelos de regresión. Sin embargo, no

334
ocurre lo mismo con ε t ya que E(ε t )=0 ; Var (ε t ε t-1 )=α 0 +α 1 ε t-12 = σ 2 t. Una
expansión de este método a “p” rezagos muestra que σ 2 t=α 0 +α 1 ε 2 t-1
+α 2 ε 2 t-2+………………+α p ε 2 t-p
Un modelo más general propuesto por Bollerslev (1996) es el
llamado generalizado ARCH o también GARCH. Aquí la varianza de
las innovaciones está dada por el proceso ARMA(1,1) donde σ 2 t=α 0
+α 1 ε 2 t-1 +δσ 2 t-1 . 13
La estimación de este tipo de modelos bajo OLS aunque insesgada
no es la más eficiente, por ello se requiere utilizar mínimos cuadrados
generalizados. Para examinar la existencia de efectos Garch en un
modelo se usa un test ARCH. Bajo este test se verifica la hipótesis nula
de que los errores son ruido blanco contra la hipótesis alternativa que la
varianza de los errores son del tipo dado en ARCH(q) . El test ARCH es
un test de multiplicadores de Lagrange (LM).
13
El Garch (p,q) viene dado por : σ 2 t=α 0 +α 1ε 2 t-1 +........+α qε t-q
2
+ δ 1σ 2 t-1
+........................δ pσ t-p2 .

335
ANEXO II
Optima extracción de un recurso no renovable bajo condiciones de
certeza.
Supóngase el siguiente modelo de explotación de un stock de
recursos minerales, donde las variables son definidas como:
Q(t)=La producción de la industria en el tiempo t.
P(t) =Precio en el período t.
C(Q(t),t)=Costo de procesamiento y extracción que depende
positivamente de la producción y de un índice tecnológico dado por t.
X(t) = Stock del recurso en el tiempo t.
R(t)= Reservas en el tiempo t
λ(t)= Una variable de co-estado
Un punto sobre una variable indica tasa de cambio a través del
tiempo.
El problema de la firma es elegir la senda de extracción que
maximiza la suma descontada de sus ingresos suponiendo que el precio
está dado y los costos son crecientes en Q y decrecientes en R. El
problema a resolver es el siguiente:
La solución a este problema queda definido por la solución del
valor corriente del siguiente Hamiltoneano y sus condiciones de primer
orden y de transversalidad.

336
Reordenando ii) y derivando i) respecto al tiempo e introduciendo
ii) en i) se obtiene que:
La condición i) muestra que en equilibrio el precio debe igualar al
costo marginal más la renta del recurso. La condición ii) o iv) da origen
a la llamada condición de arbitraje o regla de Hotelling que muestra
que en el equilibrio la renta del recurso debe crecer a la tasa de interés
más el cambio en el costo respecto a variaciones en las reservas. La
ecuación v) muestra que la tasa de cambio del precio es igual a la renta
del recurso capitalizada a la tasa de descuento más el cambio de los
costos producto de la variación en las reservas más la tasa de cambio
del costo marginal producto de cambios en la tecnología y en las reservas.
Optima extracción de un recurso no renovable bajo condiciones de
incertidumbre
La incertidumbre en la explotación de un recurso natural se
manifiesta principalmente en los precios y en los costos de producción.
Para incluir esta incertidumbre en el modelo podemos asumir que el
precio sigue un proceso tipo Wiener dado por:
Donde µ p (t) es la tasa de apreciación del precio la que varía a través
del tiempo con cambios en las reservas o cambio técnico y σ p es la varianza.
Por otro lado los costos también son inciertos y dependen de la
función: , C=C(Q,R,θ(t)),donde θ(t) es un parámetro de productividad
aleatorio que también sigue un proceso Wiener dado por:

337
Este problema de control estocástico tiene una función valor dado por:
Usando una versión estocástica de la ecuación de Euler se tiene que:
Donde
Etd(.) es el operador diferencial de Ito. Derivando π con
respecto a Q y R y tomando la derivada con respecto a t se obtiene:
Donde λ = P-C Q. La ecuación vi) es la versión estocástica de la
regla de Hotelling. La última ecuación muestra la dinámica del precio,
la cual es similar a su versión determinística cuando la covarianza entre
el precio y el parámetro de productividad no están correlacionados y la
firma es neutral al riesgo.