El Filtro de Kalman - Departamento de Electrónica - Universidad de ...

Índice
Observadores de Estado en Procesos Estocásticos:
El Filtro de Kalman
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Sistemas Electrónicos de Control
5 o Ingeniería de Telecomunicación
Departamento de Electrónica, Universidad de Alcalá
Alcalá de Henares, Febrero 2009
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Índice
Índice
1 Observadores de estado en sistemas deterministas
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
2 Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Sistema lineal discreto de transición de estados
Todo sistema discreto, lineal e invariante en el tiempo se
puede describir mediante el siguiente sistema:
{
X k+1 = G · X k + H · U k
, (1)
Y k = C · X k + D · U k
donde:
k ∈ Æ := índice de tiempo.
X k ∈ Ê n := vector de estados.
U k ∈ Ê r := vector de control.
Y k ∈ Ê m := vector de medida.
G ∈ Ê n×n := matriz de transición de estados.
H ∈ Ê n×r .
C ∈ Ê m×n .
D ∈ Ê m×r .
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Sistema lineal discreto de transición de estados
D
U[k]
H
X[k+1]
1
z
X[k]
C
Y[k]
G
Figura: Esquema de bloques del sistema
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Estabilidad: Autovalores de la matriz G
⎛
⎞
λ 1 0 · · · 0
G = P ·
0 λ2 .
⎜ .
⎝ . .. ⎟ 0 ⎠ · P−1 (2)
0 · · · 0 λ n
Estable ↔ |λ i | < 1
Solución Temporal:
∑k−1
X k = G k · X 0 + G k−l−1 · H · U l (3)
l=0
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Controlabilidad en V.V.E.E: Regulador
Controlabilidad: ¿ Se puede controlar X k mediante U k ?
rango ( H G · H · · · G n−1 · H ) < n (4)
Sistema de Regulación: U k = −KX k , K ∈ Ê r×n
D
U[k]
H
X[k+1]
1
z
X[k]
C
Y[k]
G
K
Figura: Modelo de regulador
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Controlabilidad en V.V.E.E: Servo
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Controlabilidad:
ServoSistema de Regulación: U k = −K r X k + K i Y i ,
K r ∈ Ê r×n , K i ∈ Ê n×m X[k+1] X[k]
D
Ki
T
z−1
U[k]
H
1
z
C
Y[k]
Integrador
G
Kr
Figura: Modelo de servo
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Observabilidad en V.V.E.E
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Cualquier control requiere X k pero sólo se mide Y k .
Observabilidad: ¿ Es posible conocer X k a partir de Y k ?
⇔ rango ( C ∗ G ∗ · C ∗ · · · (G ∗ ) n−1 · C ∗) = n (5)
Esquema general de un observador de estados:
Figura: Observador
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Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Observadores de estado: Observador de Predicción
Observador de predicción:
Estimación-Corrección
ˆX k = G · ˆX k−1 + H · U
} {{ k−1
}
Estimación
+ K e (Y k−1 − C · ˆX k−1 )
} {{ }
Corrección
(6)
Ke ∈ Ê n×m := es la matriz de corrección.
El estado X k se obtiene como función de información en k −1.
Los autovalores de G − Ke · C controlan estabilidad y
velocidad de predicción.
La información Y k presente no se usa para estimar X k .
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Observadores de estado: Observador de Predicción
1
Y[k]
2
U[k]
H
X_e[k+1] X_e[k] C X[k]
1
C
z
G
Ke
1
X_e[k]
Figura: Observador de predicción
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Observadores de estado: Observador Actualizado
Observador actualizado:
Estimación-Corrección
Estimación:
Corrección:
˜X k = G · ˆX k−1 + H · U k−1 (7)
ˆX k = ˜X k + K e (Y k − C · ˜X k ) (8)
Ke ∈ Ê n×m := es la matriz de corrección.
El estado X k se obtiene como función de información en k.
Los autovalores de G − Ke · C · G controlan estabilidad y
velocidad de predicción.
La información Y k ’actualizada’ se usa para estimar X k .
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Observadores de estado: Observador Actualizado
1
Y[k]
2
H
Z[k+1]
1
z
Z[k]
C
C Z[k]
U[k]
G
Ke
1
X_e[k]
Figura: Observador actualizado
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Ruido aleatorio en la medida
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
¿ Qué ocurre cuando Y k está contaminada con ruido ?
Y k = C · X k + V k V k = N(0, Σ V ) (9)
Cualquier medida real siempre contiene ruido.
El ruido se suele modelar con una distribución Gaussiana
(Teorema Central Límite).
Densidad de Probabilidad
1.5
1
0.5
σ=0.5
σ=1
σ=1.5
σ=2
σ=2.5
σ=3
σ=3.5
σ=4
Densidad de Probabilidad
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
3
0
−10 −8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8 10
Valor
2
1
0
−1
Valor eje y
−2
−3 −3
−2
1
0
−1
Valor eje x
2
3
(a) Gaussiana 1D
(b) Gaussiana 2D
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Sea un sistema en V.V.E.E definido por:
( ) ( 0,65 0,05 1
G =
H = C =
0,05 0,65 0)
( 1 0 ) ( 1
X 0 =
0)
λ1 = 0,6 y λ 2 = 0,7 el sistema es estable.
( ) 1 0,65
(C ∗ , G ∗ · C ∗ ) = , rango= 2 ⇒ observable.
0 0,05
Diseño observador actualizado.
( )
1
Configuración ’dead-beat’, λ e 1 = λe 2 = 0 K e =
13
( ) 0,79
Configuración λ e 1 = λe 2 = 0,3 , K e =
3,79
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados observador ’dead beat’ sin ruido en la medida
40
Error absoluto en la estimación
|error 1
|
|error 2
|
45
40
Estado vs Estimación de X 2
X 1
X 1
Est
X 2
X 2
Est
35
35
30
30
Valor de X
25
20
Valor de X
25
20
15
15
10
10
5
5
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo k
(c) Error de estimación
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo k
(d) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados observador λ e 1 = λe 2 = 0,3
sin ruido en la medida
Error absoluto en la estimación
Estado vs Estimación de X 2
35
|error 1
|
|error 2
|
30
X 1
X 1
Est
30
20
X 2
X 2
Est
25
10
Valor de X
20
15
Valor de X
0
−10
10
−20
5
−30
0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo k
(e) Error de estimación
−40
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Tiempo k
(f) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados observador ’Dead beat’ con ruido en la medida Σ v = 2
Error absoluto en la estimación
Estado vs Estimación de X 2
|error 1
|
60
100
|error 2
|
40
90
80
20
70
0
Valor de X
60
50
Valor de X
−20
−40
40
30
20
−60
−80
X 1
X 1
Est
X 2
X 2
Est
10
−100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(g) Error de estimación
−120
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(h) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados observador λ e 1 = λe 2 = 0,3 con ruido en la medida
Σ v = 2
Error absoluto en la estimación
Estado vs Estimación de X 2
|error 1
|
60
100
|error 2
|
40
90
80
20
70
0
Valor de X
60
50
40
Valor de X
−20
−40
X 1
X 1
Est
X 2
X 2
Est
−60
30
20
−80
10
−100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(i) Error de estimación
−120
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(j) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados observador λ e 1 = λe 2 = 0,6 con ruido en la medida
Σ v = 2
Error absoluto en la estimación
Estado vs Estimación de X 2
|error 1
|
60
100
|error 2
|
40
90
80
20
70
0
Valor de X
60
50
40
Valor de X
−20
−40
X 1
X 1
Est
X 2
X 2
Est
−60
30
20
−80
10
−100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(k) Error de estimación
−120
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(l) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Observador con ruido en la medida
Recordatorio V.V.E.E
Análisis de sistemas en V.V.E.E
Diseño de Observadores de Estado
Ejemplos:
Influencia de K e y Σ v
Cuanto más rápido es el observador λ 1 = λ 2 → 0, mayor error
en la estimación.
¿Existe un valor óptimo para K e ?
¿ Como se puede calcular ese valor en función de Σ V ?.
FILTRO DE KALMAN
El filtro de Kalman obtiene K e tal que:
Minimiza la covarianza de la estimación
E[(X k − ˆX k )(X k − ˆX k ) T ].
Es la solución de Máxima Verosimilitud de K e .
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes del Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
El Filtro de Kalman es llamado por el nombre de su autor
Rudolph E. Kalman.
En 1960 publica su famoso artículo [Kal60] ’A New Approach
to Linear Filtering and Prediction Problems ’.
Desde entonces ha sido ampliamente usado en diversos
campos científicos.
Navegación.
Aplicaciones en visión por computador.
Localización en robótica.
Economía.
Biología.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Proceso a estimar
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Proceso Estocástico Lineal.
{
X k+1 = G · X k + H · U k + W k
Y k = C · X k + V k
, (10)
donde:
k ∈ Æ := índice de tiempo.
X k ∈ Ê n := vector de estados.
U k ∈ Ê r := vector de control.
Y k ∈ Ê m := vector de medida.
W k ∈ Ê n := ruido aleatorio del proceso. N(0, Σ W )
V k ∈ Ê m := ruido aleatorio de medida. N(0, Σ V )
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Proceso a estimar
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Condición de partida importante
Todos los procesos estocásticos involucrados deben tener
distribución gaussiana.
W k = N(0, Σ W y V k = N(0, Σ V ).
X 0 = N(X 0 , Σ 0 ).
Consecuencia
X k e Y k son también gaussianos.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Objetivos del filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
¿ Cual es el valor de K e para que ˆX k sea la ’mejor’ estimación
posible ?:
Estimador de Kalman
Estimación:
Corrección:
˜X k = G · ˆX k−1 + H · U k−1 (11)
ˆX k = ˜X k + K e (Y k − C · ˜X k ) (12)
La definición de ’mejor’ tiene dos respuestas:
Elegir K e minimizando la varianza del estimador.
mínE[(X k − ˆX k )(X k − ˆX k ) T ]. (Origen Computacional)
Elegir K e tal que el estimador y su varianza coinciden con las
de p(X k |Y 1:k ). (Origen Probabiĺıstico).
En el filtro de Kalman ambas coinciden.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Origen Computacional del Filtro
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Dado el sistema (10) se pretende:
Idea intuitiva
Encontrar K e tal que minimice Σ k = E[(X k − ˆX k )(X k − ˆX k ) T ]:
Σ k se obtiene en función de K E , Σ V , Σ W y Σ k−1 .
K e se obtiene así diferenciando ∂Σ k
∂K e
= 0
La matriz K e resultante es conocida como la ’Ganancia de
Kalman’:
donde ˜Σ k = GΣ k−1 G T + Σ W .
K e = ˜Σ k C T (C ˜Σ k C T + Σ V ) −1 , (13)
¡¡¡ K e no necesita autovalores para calcularse !!!
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Origen Probabiĺıstico del Filtro
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
¿Por qué la K e que minimiza E[(X k − ˆX k )(X k − ˆX k ) T ] es de
Máxima Verosimilitud ?
ˆX k y Σ k coinciden con la media y la varianza de la distribución
’a posteriori’:
p(X k |Y 1:k ) = N(ˆX k ,E[(X k − ˆX k )(X k − ˆX k ) T ]) (14)
Donde p(X k |Y 1:k ) corresponde con la distribución
condicionada de X k dadas todas las medidas hasta el presente.
Representa toda la información posible que se puede tener de
X k conocidas las medidas.
¡¡ El filtro de Kalman representa la mejor estimación
posible !!
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Descripción del proceso
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Se divide en dos fases:
Fase de Estimación:
Se calculan ˜X k y ˜Σ k sin incluir la última medida.
˜X k = G ˆX k−1 + HU k−1
˜Σ k = GΣ k−1 G T (15)
+ Σ W
Fase de Corrección:
Se calculan ˆX k , Σ k y K e .
K e = ˜Σ k C T (C ˜Σ k C T + Σ V ) −1
ˆX k = ˜X k + Ke(Y k − C ˜X k )
Σ k = (I − K e C)˜Σ k
(16)
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Consideraciones del Filtro
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
El estado inicial X 0 debe ir acompañado de un término de
varianza Σ 0 .
Σ 0 es intuitivamente la incertidumbre inicial que se tiene en
X 0 .
Σ W representa la incertidumbre que asociamos al modelo
(G,H,C,D).
El filtro de Kalman solo es óptimo para procesos gaussianos.
Σ k da una idea sobre la incertidumbre en la estimación.
Σ W y Σ V deben calcularse previamente a utilizar el filtro.
(métodos de identificación de ruido)
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Ejemplo:
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Sea un sistema en V.V.E.E definido por:
( ) ( 0,65 0,05 1
G =
H =
0,05 0,65 0)
X 0 =
( ( )
5 10 0
, Σ
5)
0 =
0 10
Consideramos ruido en el modelo nulo. P W =
C = ( 1 0 )
( ) 0, 0
0, 0
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Resultados Filtro de Kalman con ruido en la medida Σ v = 2
Error absoluto en la estimación
Estado vs Estimación de X 2
100
|error 1
|
|error 2
|
60
X 1
X 1
Est
90
40
X 2
X 2
Est
80
20
70
0
Valor de X
60
50
Valor de X
−20
−40
40
−60
30
20
−80
10
−100
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
−120
0 5 10 15 20 25 30 35 40
Tiempo k
(m) Error de estimación
(n) Evolución de la estimación
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Comparación Kalman con observador λ 1 = λ 2 = 0,6 y Σ v = 2
Estado vs Estimacion de X 1
Estado vs Estimacion de X 2
30
4.5
25
4
3.5
20
3
Valor de X
15
Valor de X
2.5
10
X 1
Observador 0.6
Kalman
2
X 2
Observador 0.6
Kalman
1.5
5
1
0
0 5 10 15
Tiempo k
(ñ) Estimación X(1)
0.5
0 5 10 15
Tiempo k
(o) Estimación X(2)
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Utilidad del ruido del modelo
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
La matriz Σ W permite otorgar inmunidad al filtro de Kalman
ante variaciones del modelo.
Las variaciones gaussianas en un modelo no es demasiado
realista.
El filtro de Kalman se comporta bien cuando no son
gaussianas.
En la práctica Σ W se usa para representar lo que se desconoce
del modelo. (G,H,C mal identificadas).
¡En ese caso Σ W se tiene que estimar heurísticamente !
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Ejemplo:
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Sea un sistema en V.V.E.E definido por:
( ) ( 0,65 0,05 1
G =
H =
0,05 0,65 0)
C = ( 1 0 )
Identificación ( errónea de)
G para el observador:
0,65 + 0,15 0,05
G =
0,05 0,65
( ( )
5 10 0
X 0 = , Σ
5)
0 =
0 10
Consideramos ruido aprox en el modelo. P W =
( σ 2 )
, 0
0, 0
¿ Para que valor de σ se consigue una mejor estimación ?
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Ejemplo de observador con ruido en la medida
Comparación Kalman con ruido en el modelo
Estado vs Estimacion de X 1
Estado vs Estimacion de X 2
40
5
35
4.5
Valor de X
30
25
20
Real
σ 2 =0.001
σ 2 =0.1
σ 2 =1
σ 2 =5
σ 2 =10
Valor de X
4
3.5
3
2.5
Real
σ 2 =0.001
σ 2 =0.1
σ 2 =1
σ 2 =5
σ 2 =10
15
2
10
1.5
5
1
0
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Tiempo k
(p) Estimación X(1)
0.5
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
Tiempo k
(q) Estimación X(2)
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Ejemplo: Sistema de Tracking
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Idea
Se pretende obtener la posición en un plano de un objeto a
partir de una medida contaminada con ruido Σ V :
En la mayoría de las aplicaciones reales no se conoce un
modelo de movimiento G y H desconocidas.
¿Cómo se utiliza el filtro de Kalman ?
Se utiliza un modelo de movimiento lineal para G y se estima
posición y velocidad X k = (x k ,y k ,v x ,v y )
⎛ ⎞
1 0 1 0
G = ⎜0 1 0 1
⎟
⎝0 0 1 0⎠
0 0 0 1
{
x k = x k−1 + v x
y k = y k−1 + v y
(17)
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Ejemplo: Sistema de Tracking
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Idea
X 0 = (x 0 , y 0 , v x,0 , v y,0 ) se inicializa con alguna estimación de
la posición y velocidad inicial (si existe). Suele ser la primera
medida Y 0 = HX 0 .
Σ 0 es la incertidumbre que esperamos inicialmente (Suele ser
diagonal).
Σ W se ajusta experimentalmente para velocidad de
convergencia.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Introduction
Filtro de Kalman
Ejemplo: Sistema de Tracking
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
Resultados de tracking
400
Trayectoria del Robot
Trayectoria Real
Velocidad
400
Trayectoria del Robot
Trayectoria Real
Trayectoria Medida
Estimación Kalman
200
200
0
0
Posición en Y (mm)
−200
Posición en Y (mm)
−200
−400
Incertidumbre inicial Σ 0
−400
−600
−600
−800
−800
−1800 −1600 −1400 −1200 −1000 −800 −600 −400 −200 0
Posición en X (mm)
(r) Posición en el plano real
−1000
−1800 −1600 −1400 −1200 −1000 −800 −600 −400 −200 0 200
Posición en X (mm)
(s) Posición en el plano estimada
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Conclusiones
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
El filtro de Kalman presenta una solución al observador de estado
que es óptima’ desde el punto de vista estadístico.
Sólo tiene validez teórica cuando el sistema es lineal y los procesos
aleatorios gaussianos.
En la práctica se usa en multitud de procesos de estimación que no
cumplen las condiciones de partida.
Se diseña mediante la descripción estadística de los procesos
involucrados. No necesita un diseño de autovalores.
Consta de una fase de predicción y otra de corrección donde además
de la estimación, se calcula la varianza de la estimación.
Su aplicación a diversas áreas científicas corroboran su aplicabilidad.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman

Bibliografía
Introduction
Filtro de Kalman
Orígenes
Descripción del Filtro de Kalman
Ejemplo:
Conclusiones
R. Brown and P. Hwang.
Introduction to Random Signals and Applied Kalman Filtering.
John Wiley and Sons, 1992.
Gary Bishop and Greg Welch.
An introduction to the kalman filter.
Technical report, University of North Carolina, Department of
Computer Science., 2001.
Rudolph Emil Kalman.
A new approach to linear filtering and prediction problems.
Transactions of the ASME–Journal of Basic Engineering,
82:35–45, 1960.
Profesor: Daniel Pizarro Pérez
Estimación estocástica: Filtro de Kalman