MEDIDA DE ÁNGULOS - c.e.p.a. san francisco

MEDIIDA DE ÁNGULOS
DEFINICIONES Y SISTEMAS DE MEDIDA
ÁNGULO: Un ángulo es la porción del plano comprendida entre dos semirrectas
que tienen un origen común. Las semirrectas se llaman lados del ángulo, y el
origen de éstas es el vértice del mismo.
Ángulo recto: El ángulo más pequeño comprendido entre dos semirrectas perpendiculares
Ángulo agudo: Cuando un ángulo es menor de 90º
Ángulo obtuso: Cuando un ángulo es mayor de 90º
Ángulo llano o extendido: El ángulo de 180º
Ángulo completo: El ángulo de 360º
Ángulo nulo: El ángulo de 0º
El sistema de medida de ángulos más utilizado en geometría elemental es el sexagesimal, cuya unidad
principal es el grado sexagesimal. También se utilizan los radianes.
GRADO SEXAGESIMAL: Un grado sexagesimal es la noventava parte de un ángulo recto.
GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS ( º ‘ ’’ ): Un grado se divide en 60 minutos, y un minuto, en 60
segundos. Se denotan de la forma siguiente: grados (º), minutos (‘), segundos (‘’)
La equivalencia es análoga a la que existe entre horas, minutos y segundos:
1º ↔ 60’ ; 1’ ↔ 60’’
Un ángulo se puede expresar en forma decimal o en forma compleja. Por ejemplo, el ángulo 47,8º está
expresado en forma decimal; el ángulo 20º 5’ 32’’ está en forma compleja y se diría que este ángulo mide
20 grados, 5 minutos y 20 segundos.
La conversión de una forma a otra, se puede realizar de forma sencilla utilizando reglas de tres.
Ejemplo 1.:
a) ¿Cuántos grados son 12º 48’ 30’’? (habrá que pasar todo a grados)
C.E.A. San Francisco – Medida de ángulos

12º 48’ 30’’ = 12º + 48’ en grados + 30’’ en grados
minutos grados
48’ en grados: segundos minutos 30’’ en minutos:
60 1
60 1
48 x
30 x
minutos grados Los 0,5’ en grados:
60 1
0,5 ⋅1
x = = 0,0083333... ≅ 0,0083º
0,5 x
60
También se puede usar la equivalencia directa grados-segundos: 1º = 3600’’
para transformar los 30’’
48 ⋅1
30 ⋅1
x = = 0,8º x = = 0,5'
60
60
Entonces: 12º 48’ 30’’ = 12 + 0,8 + 0,0083 = 12,80083º
b) Escribe en forma compleja 265,63º
265,63º = 265º + 0,63º (hay que ir pasando la parte decimal a la unidad siguiente)
0,63º a minutos:
grados minutos
1 60
0,63 x
0,63 ⋅ 60
x = = 37,8' (37,8’ = 37’ + 0,8’ pasamos 0,8’ a segundos)
1
0,8’ a segundos:
minutos segundos
1 60
0,8 x
0,8 ⋅ 60
x = = 48'' Entonces: 265,63º son 265º 37’ 48’’
1
USO DE LA CALCULADORA: Las calculadoras científicas permiten la transformación directa
de una forma a otra por medio de la tecla que aparece en la imagen derecha. El modo de
utilización dependerá del modelo, pero bastará con consultar las instrucciones de la
calculadora para saber cómo ir introduciendo los valores.
Ejemplo 2.:
Practica comprobando si son correctas las transformaciones de los apartados a y b del ejemplo 1
anterior.
RADIÁN: Un radián es el equivalente al ángulo que abarcaría un sector circular para
el que la longitud de su arco mide lo mismo que el radio. Se denota por rad.
Veamos cuántos radianes corresponden al ángulo completo de 360º. Para ello,
usaremos una sencilla regla de tres entre las longitudes de los arcos y los radianes.
Recuerda que la longitud de una circunferencia de radio r es 2πr.
1 rad
r
r
longitud radianes
r 1
2πr x
2πr·1
x = ⇒ x = 2π
radianes
r
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Luego, 360º son 2π radianes. Para la conversión de grados a radianes y viceversa, podemos utilizar esta
equivalencia o bien, ésta simplificada para 180º: la mitad de 360º, que son 180º, equivaldrán a la mitad
de los 2π radianes, que son π radianes. Por tanto:
π rad ↔ 180º
Cada π radianes estamos considerando un ángulo de 180º, es decir, medio círculo.
Nota: para los radianes se trabaja con el número π como π, sin sustituirlo por ningún valor
Ejemplo 3.:
a) ¿Cuántos grados son 3
π rad?
Cada “bloque” de π, equivale a 180º (o medio círculo) ⇒ 3
π rad significa que estamos
dividiendo ese sector en 3 partes ⇒ hacer 3
π en rad es lo mismo que hacer, en grados
180 π 180 º
⇒ rad = = 60º
3 3 3
9π 9π 9 ⋅180º
b) ¿Cuántos grados son rad? rad = = 324º
5
5 5
Ejemplo 4.:
a) ¿Cuántos radianes son 45º? (utilizaremos una regla de tres)
Grados Radianes
180º π
45º x
Entonces:
45 ⋅ π π
x = = rad
180 4
Simplificando la fracción 45/180
b) ¿Cuántos radianes son 280º?
Grados Radianes
180º π
280º x
Entonces:
280 ⋅ π 14π
x = = rad
180 9
Simplificando la fracción 280/180
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