Potencias. Radicales - c.e.p.a. san francisco

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESPOTENCIAS DE EXPONENTE ENTEROAntes de proceder a la definición de potencia, haremos una pequeña introducción.El producto 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2abreviada como 2 5 .tiene sus cinco factores iguales. Este producto se puede indicar de forma2 5 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅2Esta forma abreviada se llama potencia y se lee dos elevado a cinco o dos a la quinta.Los elementos que definen una potencia son:2 5Base: es el factor que se repite.Si el exponente es :2, la potencia b 2 se lee b al cuadrado3, la potencia b 3 se lee b al cubo.Exponente: El número de veces que se repite el factor.Para los valores 4, 5, 6,……n del exponente, las potencias se expresarían como b a la cuarta,quinta, sexta ... y, en general, enésima potencia.Sea a un número real y n un número entero. Se define a n como:an=a ⋅ a ⋅ a ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ asin > 0nvecesa 0 = 1Cuando el exponente es negativo se escribe –n, siendo n > 0−na=1nacona ≠ 0C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 1/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 1.:5 4 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 6253 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 27( −3)= ( −3)⋅ ( −3)⋅ ( −3)= −273(−2)4 = ( −2)⋅ ( −2)⋅(−2)⋅(−2)= 164Fíjate que en (−2) el exponente es cuatro y debajo tiene un paréntesis,luego la base será lo que haya dentro del paréntesis− 2 4 = −(2⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2) = −164Observa que en − 2 el exponente es cuatro y debajo tiene un 2, luegola base será el 2, no -21 17− 2= =En la potencia 7 -2 el exponente es negativo -2, utilizando la definición2hemos conseguido que aparezca una potencia con exponente positivo7 49En la potencia 7 -2 el exponente es negativo -2, utilizando la definición2 1 1− 7− hemos conseguido que aparezca una potencia con exponente positivo.= − = −27 49 El signo menos que aparece delante de 7 -2 sólo indica que una vezcalculada esta potencia se multiplique por -1.PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO.• a 1 = a• El producto de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base lamisma y por exponente la suma de los exponentes.an⋅ am= an+m• El cociente de dos potencias de la misma base es otra potencia que tiene por base lamisma y por exponente la diferencia de los exponentes.anam= an−m• El producto de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por baseel producto de las bases y por exponente el mismo.C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 2/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESan⋅ bn= (a ⋅ b)n• El cociente de dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene por baseel cociente de las bases y por exponente el mismo.n na ⎛ a ⎞= ⎜ ⎟nb ⎝ b ⎠• La potencia de una potencia es otra potencia que tiene por base la misma y por exponenteel producto de los exponentes.mn⎜⎛a ⎟⎞⎝ ⎠n⋅m= aRAÍZ DE UN NÚMEROA partir de la definición de potencia n-ésima de a, siendo n un número natural sin-ésima de a y se escribena= x . Es decir:x n = a , x es la raízx =na⇔xn= anaAl símbolo n se Indicellama radical de índicen, y a se llama Radicando radicando.Dependiendo del valor del índice, los radicales se leen y se representan según se indica en la tablasiguiente.Índice Lectura Radical21 raíz cuadrada3 raíz cúbica 34 raíz cuarta 45 raíz quinta 5….. …. ….1 En el radical de la raíz cuadrada no se pone el 2 en el índice.C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 3/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 2.:3327 = 3 ⇔ 3 = 274 416 = 2 ⇔ 2 = 1633125 = 5 ⇔ 5 = 1253 2 = 9 ⇔ 9 = 3⎛⎜⎝2 ⎞2 4 4⎟ = ⇔3 ⎠ 9 9=23NÚMERO DE RAÍCES.Si el índice es par hay tres posibilidades:• Radicando positivo: existen dos raíces opuestas. 16 = ± 4• Radicando igual a 0: tiene por raíz 0.• Radicando negativo: no tiene raíces, ya que todo número elevado a una potencia deexponente par es positivo.− 4= x⇒2x= −4IMPOSIBLESi el índice es impar, todo número tiene una sola raíz:• positiva, si el radicando es positivo38 = 2• negativa, si el radicando es negativo3− 8 = −2• nula si el radicando es 0.30 = 0COMPARAR RADICALES.De dos radicales con el mismo índice es mayor el que tiene mayor radicando.Supongamos que tenemos que ordenar3 35 , 7 .Llamemos x a 3 5 e y a 3 7 .35 = x ⇒ x7 = y ⇒ y = 7Entonces y tiene que ser mayor que x porque de no ser así y al cubo valdría menos que x al cubo.33= 5C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 4/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESRADICALES EQUIVALENTES.Los radicales que expresan el mismo número real son equivalentes.Por ejemplo 5 , 4 5 2 , 6 5 3 son equivalentes puesto que:54 2= 56 3= 5= 2.236067....Se puede obtener radicales equivalentes por:AMPLIFICACIÓN:Multiplicando el índice de un radical y el exponente del radicando por un mismo número naturaldistinto de cero.Cuando haya que calcular un radical de índice par, equivalente a un radical que tiene el índiceimpar y el radicando negativo hay que tener cuidado al aplicar la regla anterior.Ejemplo 3.:En el radical 3 − 8 , el radicando es -5. Si quisiéramos obtener un radical equivalente de índice6, deberíamos multiplicar el exponente del radicando por 2.3− 8 =6 2( −8)=664⇒− 2 = 2IMPOSIBLEPara evitar estos errores procedemos de la siguiente forma:3 3 6 2− 8 = − 8 = − 8Recurriremos a la amplificación de índices cuando necesitemos poner el mismo índice adistintos radicales: multiplicación o división de radicales y comparación de radicales.Ejemplo 4.:Calcula un radical equivalente a cada uno de los siguientes radicales, con el índice común:3 43 , 5, 11 .Tenemos que buscar un índice que sea múltiplo de 2, 3 y 4 que son los índices de los radicalesque nos han dado. De todos los múltiplos buscamos el más pequeño, es decir, el mínimocomún múltiplo. Calculando el mínimo común múltiplo trabajaremos con números máspequeños y así los cálculos que tengamos que hacer serán más sencillos.m.c.m. (2, 3, 4) = 12C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 5/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESPonemos a todos los radicales el índice 12 y modificamos el exponente del radicando según seexplicado antes.Ejemplo 5.:12 6312 43 = 3 5 = 5 11 =412 311Ordena los radicales343 , 5, 11 .Para ordenarlos buscamos radicales equivalentes a los dados de forma que los tres tengan el12 612 412 2mismo índice. Por el ejemplo anterior sabemos que estos son 3 , 5 , 11 .Como todos tienen el mismo índice, será mayor el que mayor radicando tenga.SIMPLIFICACIÓN:2114< 56< 3⇒12 211

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 7.:1 2 3 57 3 = 7 6 = 7 9 = 715⇔3 6 27 = 79 3= 715 5= 7Ejemplo 8.:3 37= 7331= 7 = 7416 =42 = 2 2 2= 233 3 3− 27 = − 27 = − 3= −333= −3ó3− 273 3= ( −3)3= ( −3)3 =1( − 3) = −3PROPIEDADES DE LOS RADICALES.n n• a = a si n impar;n y an = a si n par•••••nnn ba ⋅ b = a ⋅si n impar, o si n par con a,b ≥ 0nna a = si n impar, o si n par con a,b ≥ 0b nbm na =m·na si m,n impares, en otro caso tiene que ser a ≥ 0(nm n ma ) = aEjemplo 9.:3 3a. 5 = 5b. 4 ⋅ 3 = 4 ⋅ 3 = 2 3c.d.3339 9 =7 373 2 614 = ⋅ 14 = 1425 =e. (3 3 2)5C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 7/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 10.:Para multiplicar o dividir radicales que no tienen el mismo índice, hay que conseguir radicalesequivalentes de índice común.129 726 ⋅4 35=36 3636 282⋅36 275=3663228⋅ 527=36332⋅ 2283⋅ 527=3633225⋅ 527m.cm. (9, 4 y 12) = 36CÁLCULO CON POTENCIAS Y RAÍCES.Como hemos dicho antes, las potencias de exponente fraccionario verifican las mismas propiedadesque las potencias de exponente entero.Las operaciones con radicales se simplifican si se pasan a potencias de exponente fraccionario.2 1 2 1 11an⋅ am= an+m+5 3 5 3 155 ⋅ 5 = 5 = 55 212251 2+2 59107 ⋅ 7 = 7 ⋅ 7 = 7 = 7 =10 97anam= an−m25132 1−5 35 : 5 = 5 = 51155 212251 2−2 51103 : 3 = 3 : 3 = 3 = 3 =1033 3 3 3an⋅ bn= (a ⋅ b)n5 5 5 52 ⋅ 3 = (2 ⋅ 3) = 633n n3a ⎛ a ⎞ 6 5 ⎛ 6 ⎞ 5= ⎜ ⎟= ⎜ ⎟ = 2 5nb ⎝ b ⎠3⎝ 3 ⎠52mn n⋅m⎜ ⎛ ⎛ 1 ⎞ 3 1 2 2a ⎟⎞= a ⎜3⎟ ⋅3 3⎝ ⎠5 = 5 = 5 93⎜⎝⎟⎠33131313138 ⋅ 9 = 8 ⋅ 9 = (8 ⋅ 9) = 72 =310=323 2110 312 3⎛10= ⎜⎝ 2121⎞ 3⎟⎠= 5133= 5⎛ 2 ⎞ 2 1 2 1⎜3⎟ ⋅5 = 5 = 5 3 2 = 5 6 = 5 3⎜ ⎟=⎝ ⎠33725C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 8/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESSUMA Y RESTA DE RADICALES.La suma y resta de radicales sólo se puede efectuar si los radicales tienen el mismo índice y el mismoradicando.Ejemplo 11. :5 + 3 5 = 45Ejemplo 12.:4 3 − 2 7 − 2 3 = 2 3 − 2Ejemplo 13.:73 7es el equivalente a 6 2737− 3610 3= −52 3 349 + 7 = 7 − 352 3 8 37 + 7 = − 75 56 272+537=37 − 3327 +537= −2327 +53710= −5327 +537=Observación: La raíz de una suma o resta NO se puede separar en suma o resta de raíces( 8 + 16 ≠ 8 + 16 )RACIONALIZACIÓN.Cuando hay raíces en el denominador de una fracción, racionalizar dicha fracción consiste enencontrar otra expresión equivalente en la que ya no aparezcan las raíces del denominador.Para ello se multiplica el numerador y el denominador por la expresión adecuada, de forma que aloperar, aplicando la propiedad 1, desaparezca la raíz deseada.Casos:Cuando es una raíz cuadrada: se multiplica numerador y denominador por la raíz de dichodenominador.C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 9/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 14.:Propiedad 173=7 33 ⋅ 3= 7 3= 237 3382=8 22 ⋅ 2=8 22= 42Cuando es una raíz de índice distinto de 2: se multiplica numerador y denominador por una raíz delmismo índice que el denominador, pero con un radicando elevado a un exponente que complete lapotencia existente hasta el índice de dicha raíz.Ejemplo 15.:5343 25 4=3 3 24 ⋅ 43 25 4=3 343 25 4=435 16=4Para que al aplicar la propiedad 1 “desaparezca” la raíz,necesitamos que la potencia del radicando coincida con elíndice, es decir, que sea 3. Entonces, habrá que multiplicarpor 3 4 22ya que al multiplicar los radicandos ( 4 ⋅ 4 ) yjuntar el denominador en una única raíz, las potencias se3suman, y resulta 4Se trata de ver cuánto le falta a la potencia del radicandopara conseguir el índice, basta restar: índice – potencia.En este ejemplo: 3 – 1 = 295 4359 3=5 4 53 ⋅ 359 3=5 5359 3=35= 3 3Simplificando5 – 4 = 1 ⇒ la potencia del radicando por la que hay que multiplicar es 1,es decir, multiplicamos numerador y denominador por 5 3Cuando el denominador sea un binomio con raíces cuadradas: se multiplican numerador ydenominador por lo que se conoce como el conjugado del denominador, que es la misma expresiónpero cambiando la suma por resta o la resta por suma. Por ejemplo, el conjugado de ( 5 − 3)es( 5 + 3) y viceversa.Ejemplo 16.:12 −31⋅(2 + 3)=(2 − 3) ⋅ (2 +=3)22 +2−332=2 + 34 − 3=2 +13= 2 +3C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 10/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 17.:35 +7=(3 ⋅ (5 −5 + 7) ⋅ (7)5 −=7)(3 ⋅ ( 5 −5 + 7) ⋅ (7)5 −=7)3 ⋅ (525 − 7)=2− 73 ⋅ ( 5 −5 − 77)=3 ⋅ (5 −− 27) 3 ⋅ (= −5 −27)EJEMPLOS DE APLICACIÓNPueden utilizarse las definiciones y propiedades anteriores para realizar simplificacionesdescomponiendo el radicando en producto de potencias, agrupar raíces de índices distintos y otrastransformaciones y operaciones.Ejemplo 18.: (Extracción de factores del radicando)92222a) 512 = 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 2 = 16 2Descomponemos el radicando en factores y aplicamos la propiedad 1 para sacar fuera de la raízaquellos factores cuya potencia coincide con el índice de la raíz.Una forma más directa de buscar la potencia que sale fuera y la que queda dentro, es mediante ladivisión de la potencia del factor del radicando entre el índice de la raíz; el cociente será la potencia ala que queda elevado el factor fuera ya de la raíz y el resto de la división, la potencia a la que quedaráelevado como radicando dicho factor.9 4 1Aplicando esto al ejemplo de este apartado: 512 = 2 = 2 2 = 16 24912462b) 729 = 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 3 = 27223Si lo hacemos dividiendo la potencia entre el índice, el cociente de 6:2 es 3 y el resto es cero; comoun número elevado a cero es 1 y la raíz de 1 es 1, resulta: 729 = 3 = 3 3 = 3 = 276303c)33 103 3 3 33 11024 = 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 = 8De la otra forma:33 1033 11024 = 2 = 2 ⋅ 2 = 8323332d)33 5 413 22592 = 2 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 = 6312C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 11/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESPara el factor 2Cociente de 5:3 → 1Resto de 5:3 → 2Para el facto r 3Cociente de 4:3 → 1Resto de 4:3 → 1Ejemplo 19.: (Simplificación de raíces de índices distintos)a)2 16 23 = 3 6 = 3 3 3= 3b)36104 ⋅ 2=4101316⋅ 212=4102616⋅ 236=6 24610⋅6 32=64210⋅ 23=6(25 ⋅ 22)2⋅ 23=625 ⋅ 24⋅ 23=6256=6256 6=652Para poder hacer simplificaciones, necesitamos que todos los factores estén bajo la misma raíz, es decir, tenemos quebuscar un índice común para todas ellas y agruparlas después en una única. Esto puede conseguirse de una formasencilla si convertimos las raíces en potencias fraccionarias y reducimos a común denominador las fracciones de losexponentes, ya que el denominador del exponente corresponde al índice de la raíz.El denominador común será el mínimo común múltiplo de los denominadores.No debemos olvidar que al buscar una fracción equivalente a una dada, es necesario transformar también el numerador,teniendo en cuenta la cantidad por la que hemos multiplicado el denominador para hacer lo mismo con el numerador.7289 736 2828282 29236222c) = = == 36 = 36= 3612 4 3 1 3 3 27 36 3 36 27 3 27 3 3 276 ⋅ 56 5 3 2 512 4 36 366 ⋅ 5 ⋅⋅ ⋅6⋅ 56⋅ 533225⋅ 527Ejemplo 20.: (Introducción de valores dentro de una raíz)En algunas situaciones será necesario realizar transformaciones introduciendo números oexpresiones como factores dentro de una raíz; por supuesto, sin que cambie la cantidad de partida.Teniendo en cuenta, de nuevo, la propiedad 1, bastará con introducir la expresión deseada elevada alíndice de la raíz.a) 5 7 = 5 ⋅ 7 = 1752Ver ejemplo 11b)3263 1+x (x ) ⋅ (1 + x) x ⋅ (1 + x) 522x ⋅ === x ⋅ (1 + x) = x ⋅ x ⋅ (1 + x) = x ⋅ x + xxxx2Podremos simplificar cuando el factorno sea nulo. En este caso, para x ≠ 0C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 12/13

POTENCIIAS Y RAÍÍCES DE NÚMEROS REALESEjemplo 21.: (Racionalización)a)537 2 4⋅ 2=7 5 33 ⋅ 5 ⋅ 2 3 ⋅ 5 ⋅ 2=2 7 5 3 7 7 75 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 2 5 ⋅ 27 47 5 33 ⋅ 5=7 75 ⋅7 5 3⋅ 27 723 ⋅=7 5 35 ⋅ 25 ⋅ 23 ⋅=7 5 35 ⋅ 210Para el 5: 7 – 2 = 5 ; Para el 2: 7 – 4 = 3a + 3b) Racionaliza la expresión , con a > 3:a − 3a + 3a − 3=a + 3 ⋅a − 3 ⋅a − 3a − 3=(a + 3) ⋅ (a − 3)(a − 3)=2a − 9a − 3c)637 2 4⋅ 2=337 2 2 4⋅ 2⋅ 2=337 2 6⋅ 2=337 5⋅ 237 2 6⋅⋅ 27 53⋅ 2=37 533⋅ 27 7 7⋅ 2=37 737 53⋅⋅ 27 72=7 53 3 ⋅ 23 ⋅ 2=7 53 ⋅ 22Descomponemos el 6para agrupar los dosesPara el 3: 7 – 2 = 5 ; Para el 2: 7 – 6 = 1C.E.A. San Francisco – Potencias y raíces de números reales. 13/13