COMBINATORIA - c.e.p.a. san francisco

COMBIINATORIIA
DEFINICIÓN DE COMBINATORIA
COMBINATORIA: La Combinatoria o Análisis Combinatorio, estudia de una forma general la formación y
propiedades de ciertas agrupaciones de elementos, teniendo en cuenta o no su orden de colocación y
siguiendo una determinada ley de formación.
Hay tres grupos fundamentales:
VARIACIONES
PERMUTACIONES
COMBINACIONES
I) VARIACIONES DE ORDEN n
Dado un conjunto de m elementos E = { a ,a ,..., }
VARIACIONES
1 2 am
, se llaman VARIACIONES DE ORDEN n, al número
de subconjuntos posibles de E con n elementos cada uno, de modo que un subconjunto es distinto de
otro si difiere en algún elemento o en el orden de colocación.
Notación:
Vm,
n ≡ Variaciones de m elementos tomados de n en n.
Se calculan: V m, n = m(m - 1)(m - 2)...(m - n + 1) (aparecen n factores)
Este cálculo puede hacerse razonando sobre un diagrama, llamado diagrama de árbol o de ramificación
de la forma siguiente:
1 er elemento
2º elemento
3 er elemento
n-ésimo elemento
a 1
a 2
...
a m
a 3
...
a m
... a 2
...
...
a m-1
...
...
...
...
...
a m
a 1
...
a m-1
a 2
...
a m-1
... a 1
...
a m-2
...
m · m – 1 · m – 2 · · m – (n – 1)
= m·(m – 1) ·(m – 2)·…·(m – n + 1)
m – n + 1
El primer elemento puede ser uno cualquiera de los m iniciales. Por cada una de las opciones anteriores,
el 2º elemento puede ser uno cualquiera de los m – 1 que quedan, a su vez, por cada una de éstas hay
m – 2 elementos entre los que elegir el 3º y así sucesivamente hasta el último (el n-ésimo elemento),
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que, como se han elegido ya n – 1 elementos, solo puede ser uno cualquiera de los m – (n – 1) que
quedan.
Siguiendo las ramas podrían escribirse todos los grupos.
Ejemplo 1.:
a) E = {a,b,c}, variaciones de orden 2: V 3,2 =3·2 = 6 ; {a,b},{b,a},{b,c},{c,b},{a,c},{c,a}
b) En un autobús caben 60 personas (incluido el conductor) y lo alquilan 52. ¿De cuántas maneras
pueden instalarse las 52 personas, suponiendo que el conductor es uno de los 52?.
V 59,51 = 59·58·...·9
(El asiento del conductor es uno de los 60 y como el conductor es uno de los 52, quedan para
colocarse en los 59 asientos restantes 51 personas).
c) ¿Cuántos números de dos cifras distintas se pueden formar con los
dígitos 5,7,9?. Si razonamos sobre un diagrama de ramificación,
tendríamos que:
Para la primera cifra tenemos 3 opciones y por cada una de éstas hay
dos a elegir para la segunda.
1ª cifra
5
7
9
2ª cifra
7
9
5
9
5
7
II) VARIACIONES CON REPETICIÓN
Son variaciones en las que se pueden repetir los elementos. Se denotan por
3 · 2 = 6
VR m, n , y se calculan:
VR
n
m, n = m
El razonamiento sobre un diagrama de árbol sería el siguiente:
1 er elemento
2º elemento
3 er elemento
n-ésimo elemento
a 1
a 1
...
a m
a 1
...
a m
... a 1
...
...
a m
...
...
...
...
...
a m
a 1
...
a m
a 1
...
a m
... a 1
...
a m
...
m · m · m · ... · m
= m·m ·m·…·m = m n
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El primer elemento puede ser uno cualquiera de los m iniciales. Por cada una de las opciones anteriores,
el 2º elemento puede seguir siendo cualquiera de los m (ya que se pueden repetir) y así sucesivamente
hasta el último (el n-ésimo elemento), que puede ser uno cualquiera de los m.
En este caso, sí puede ocurrir que el número de elementos m sea menor que el número n de veces que
se repiten.
Ejemplo 2.:
a) {a,b,c},
2
3,2 = 3
VR {a,a}, {b,b}, {c,c}, {a,b}, {b,a}, {b,c}, {c,b}, {a,c}, {c,a}.
b) Con las cifras del 1 al 9 (ambas inclusive) ¿cuántos números diferentes de 3 cifras se pueden
3
formar? VR9,3 = 9 = 27 .
c) En el lanzamiento de 3 monedas, ¿cuántos resultados posibles tenemos?
i.-
ii.-
Utilizando variaciones directamente: tenemos que formar grupos de 3 elementos,
con los dos que tenemos (cara o cruz), sabiendo que pueden repetirse y que
cambiando el orden obtenemos un grupo diferente. Por tanto, se trata de variaciones
3
con repetición de 2 elementos tomados de 3 en 3: VR = 2 8
2,3 =
Utilizando un diagrama de ramificación: pensamos en las opciones que tenemos
para cada moneda por cada una de las opciones de la moneda anterior
1ª moneda
2ª moneda
3ª moneda
c
c
+
c
+
c
+
+
c
+
c
+
c
+
Podríamos escribir todas las
posibilidades, que son:
(c,c,c)
(+,c,c)
(c,c,+)
(+,c,+)
(c,+,c)
(+,+,c)
(c,+,+) (+,+,+)
2 · 2 · 2
= 2 3 = 8
I) PERMUTACIONES DE m ELEMENTOS
Dado un conjunto = { a ,a ,..., }
PERMUTACIONES
E 1 2 am
de m elementos, se llaman PERMUTACIONES de E a las distintas
ordenaciones que se pueden hacer con los m elementos.
Notación: Pm
≡ permutaciones de m elementos.
Se calculan: P m = m!
Recuerda que m! significa factorial de m y se calcula mediante el producto: m! = m·(m-1)·(m-2)·…·3·2·1
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También pueden razonarse mediante un diagrama de árbol: el primer elemento puede ser uno cualquiera
de los m iniciales; para el 2º elemento sólo quedan m – 1 a elegir, para el 3º m – 2, etc., para el elemento
del lugar m – 1 sólo hay dos elementos entre los que elegir y para el del lugar m-ésimo sólo queda 1
opción, es decir, el número de ordenaciones posibles es m·(m – 1)·(m – 2)·....·2·1 que es, por definición,
m!.
Ejemplo 3.:
¿De cuántas maneras distintas se pueden sentar 7 personas en un banco?. P 7 = 7! = 5040 formas
II) PERMUTACIONES CON REPETICIÓN
Dado un conjunto = { a ,a ,..., }
E 1 2 ak
, tomamos k1elementos iguales a a 1, k 2 elementos iguales a a 2 ,
..., k k elementos iguales a a k de forma que k 1+ k 2 +...+ k k = m. El número de ordenaciones posibles de
estos m elementos, de forma que uno de ellos aparece k 1 veces, otro k 2 ,..., y otro k k veces es:
PR
k
1
,k
2
,...,k
k
m
m!
=
k ⋅k
⋅...
⋅k
1 !
2 !
k !
Ejemplo 4.:
¿De cuántas formas distintas pueden colocarse, con respecto a la encuadernación, 30 libros de los
cuales 10 están en cuero, 9 en tela, 6 en cartón y 5 en rústica?.
10,9,6,5 30!
15
P30 = = 2.3314 ⋅10
10!9!6!5!
(En este ejemplo sólo nos importa la encuadernación, es decir, si por ejemplo los dos primeros son en
cuero y el tercero en tela o 1º y 3º en cuero y 2º en tela, y no tenemos en cuenta el intercambiar además
el título de los libros)
COMBINACIONES Y NÚMEROS COMBINATORIOS
I) COMBINACIONES DE ORDEN n
Dado un conjunto E = { a ,a ,..., }
1 2 am
, se llaman COMBINACIONES DE ORDEN n a todos los posibles
subconjuntos de E con n elementos cada uno, de modo que un subconjunto es distinto de otro si difiere
en algún elemento.
Notación:
Cm,
n ≡ combinaciones de m elementos tomados de n en n.
Se calculan:
C
m(m −1)(m
− 2)...(m − n + 1) m!
=
n!
n! ⋅(m
n)!
m, n =
−
Podemos deducir esta expresión fácilmente ya que, si por cada uno de esos grupos buscados de n
elementos consideramos todas sus ordenaciones posibles, obtendríamos los grupos de m elementos
que se pueden formar teniendo en cuenta el orden, es decir, las variaciones de esos m elementos
tomados de n en n, por tanto: C ⋅ P =
m, n n Vm,
n
Entonces:
C
m,n
V
=
P
m,n
n
m−(n−1)
64748
m(m −1)(m
− 2)...(m − n + 1) m(m −1)(m
− 2)...(m − n + 1)(m − n)! m!
=
=
=
n!
n!(m ⋅ − n)!
n!(m ⋅ − n)!
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A la expresión anterior se le llama NÚMERO COMBINATORIO de m sobre n y se representa
⎛m
⎟ ⎞
⎜
⎝ n ⎠
⎛m⎞
m!
⎜ =
n
⎟
⎝ ⎠ (m - n)! ⋅n!
Ejemplo 5.:
a) ¿Cuántos productos diferentes se pueden formar con los números naturales del 3 al 17, ambos
inclusive, multiplicándolos de 4 en 4 sin repetir ninguno?.
Se trata de elegir 4 números entre los 15 que tenemos (del 3 al 17 son: 17 – 2 = 15 cifras) y como el
producto es conmutativo (2·3 = 3·2), no tenemos en cuenta el orden de colocación de los factores
elegidos:
C 15,4
⎛15⎞
15 ⋅14
⋅13
⋅12
=
⎜ =
= 1365
4
⎟
⎝ ⎠ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
b) ¿Cuántas apuestas posibles pueden hacerse en una Lotería Primitiva marcando 6 números de los
49 que aparecen en el cuadro?
⎛49
49!
C 49,6 = = = 13983816
6 ⎟ ⎞
⎜
⎝ ⎠ 6!·43!
II) COMBINACIONES CON REPETICIÓN
Son combinaciones en las que se pueden repetir los elementos.
CR
m, n
⎛m + n - 1⎞
=
⎜
⎟
⎝ n ⎠
Ejemplo 6.:
El ejemplo a) anterior con repetición: (m = 15 y n = 4 ⇒ m + n – 1 = 15 + 4 – 1 = 18)
CR 15,4
⎛18⎞
18!
=
⎜ = = 3060
4
⎟
⎝ ⎠ 14! ⋅4!
III) PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS
1) 0! = 1
2) Si m < n ⇒ m, n ⎛m ⎟ ⎞
⎜ = 0
⎝ n ⎠
3)
⎛m ⎟ ⎞ ⎛ m
⎜ =
⎝ n
⎟ ⎞
⎜
⎠ ⎝m - n⎠
⎛m 4) ⎟ ⎞ ⎛ m ⎜ +
⎝ n ⎟ ⎞ ⎛m +1
⎜ =
⎠ ⎝n +1 ⎟ ⎞
⎜
⎠ ⎝ n +1⎠
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