Módulo de Lógica matemática

Módulo de Lógica matemáticaFavián Arenas A. y Amaury Camargo .Índice1. Generalidades. 51.1. Objetivos generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Introducción a la lógica matemática . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 101.6. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.7. Proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.8. Clases de proposiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 131.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 151.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y q . . . . . . . . 161.8.4. Proposiciones condicionales, p ! q . . . . . . . . . . . 161.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 171.8.6. Proposiciones negativas: p . . . . . . . . . . . . . . . 191.8.7. Validación de leyes lógicas . . . . . . . . . . . . . . . . 211

ÍNDICELógica Matemática3.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdad . . . . . . . . . 613.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634. Introducción al método de Karnaugh 654.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2. Competencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje . . . . . 674.4. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 674.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos . . . . 684.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanas 874.6. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964.7. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1004.8. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1014.9. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1024.9.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ q . . . . . . . . . . . . . 1034.9.2. Proposiciones disyuntivas, p _ q . . . . . . . . . . . . . 1044.9.3. Proposiciones condicionales, p ! q . . . . . . . . . . . 1054.9.4. Proposiciones bicondicionales, p $ q . . . . . . . . . . 1064.9.5. Negación de Proposiciones : p . . . . . . . . . . . . . 1064.10. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.11. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.12. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1094.13. Algebra de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1104.14. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.15. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1154.16. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115Favián Arenas. 3 Camargo Benítez.

ÍNDICELógica Matemática4.17. Clases de operaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1164.18. Álgebra de Boole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1174.18.1. Funciones reales y funciones booleanas . . . . . . . . . 1204.19. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1234.20. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.21. Recursos de aprendizaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1254.22. Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134Favián Arenas. 4 Camargo Benítez.

Lógica Matemática1. Generalidades.Nombre del curso:Programa:Area:Semestre:Créditos:Prerrequisitos:Favián Arenas. 5 Camargo Benítez.

1.1 Objetivos generales Lógica Matemática1.1. Objetivos generalesProporcionar una formación sólida en los fundamentos de la lógica deproposiciones.Desarrollar las habilidades y destrezas para la representación formaldel conocimiento y para la transcripción de frases del lenguaje naturalen lenguaje formal.Introducir el manejo simbólico de sistemas formales y la demostraciónde teoremasDescribir qué es una interpretación, cómo se calcula el valor de unafórmula en una interpretación y los tipos de fórmulas en función de lasdiferentes interpretaciones.Fomentar al alumno para que se enfrente a la resolución de problemasde forma lógica, analítica y estructurada.Comprender los mecanismos computacionales asociados a las problemáticasde la demostración automática de teoremas y la ProgramaciónLógica.Mostrar el contexto de la lógica en la Informática y captar su relacióncon ramas especí…cas como: Programación, Ingeniería del Software,Bases de Datos, Diseño de Circuitos, etc.Favián Arenas. 6 Camargo Benítez.

1.2 Introducción a la lógica matemática Lógica MatemáticaUNIDAD DE APRENDIZAJE I1.2. Introducción a la lógica matemáticaLa verdad y la mentira, palabras opuestas que utilizamos a diario para tomardecisiones, sean estas correctas o no. Debemos valorar cada cosa; pero esrazonable que no todas las expresiones se pueden valorar, o...¿Alguien seatrevería a contradecir a quien pregunte por la hora?, por supuesto que no, yaunque a usted no le guste algún color ¿signi…ca que por ello a nadie mas legustará?.¡Claro que no! En este caso podemos decir que es una situación subjetivao dependiente del individuo que lo exprese. También hay expresionesque para la mayoría de las personas tiene un valor único, por ejemplo .la rosaes una ‡or, en algunas tendremos que ser bien explícitos para evitar malosentendidos, por ejemplo: “Jesús tiene cinco letras”. ¿a quien nos referimos alhombre llamado Jesús ó a la palabra Jesús?. Por lo tanto una proposición esuna a…rmación de la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa. Paraexpresarnos con claridad utilizamos conjuntos de palabras con sentido “lógico”,sin embargo, ¿qué es en realidad lógica? Cuando escuchamos expresionescomo:“Su respuesta fue lógica”“Es ilógico pensar que no lo notarᔓLógicamente...”En realidad estamos expresando lo que la mayoría de las personas haríao escogería como correcto, o dicho de otra forma, el sentido común.¿será cierto que el sentido común es el menos común de los sentidos?Favián Arenas. 7 Camargo Benítez.

1.3 Objetivos Lógica Matemática1.3. ObjetivosEl alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguienteselementos básicos para la solución de un problema:Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción,disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposicionessimples.Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidirsi es una ley.Favián Arenas. 8 Camargo Benítez.

1.4 Competencias Lógica Matemática1.4. CompetenciasSustenta una proposición compuesta como una tautología a partir desu tabla de verdad.Identi…ca en un teorema el antecedente y el consecuente.Desarrolla el proceso de síntesis a partir de la construcción de proposicionescompuestas utilizando los conectivos lógicos.Favián Arenas. 9 Camargo Benítez.

1.5 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática1.5. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeMesa redonda.Presentación de trabajos.Sesión de Chat.Sesión Foro.TalleresEncuentro presencial1.6. Recursos de aprendizajeAula de clases,LaboratoriosAuditorios.VideobeamRetroproyector.Favián Arenas. 10 Camargo Benítez.

1.7 Proposiciones Lógica Matemática1.7. ProposicionesLa lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamientoson fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nosreferiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre elque se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido completode la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa.Ejemplo 1.1. “La sal es un compuesto químico”2. 10 < 143. “13 es un número impar”4. “El sol sale de noche”5. 45 + 5 = 306. “¿De que color es la pared?”Las a…rmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas sonverdaderas siguen siendo proposiciones.A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llamavalor de verdad.Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q,r, s, t,..Favián Arenas. 11 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática"Las rosas son rojas y las violetas azules"es un enunciado compuestopor los subenunciados "las rosas son rojas2"las violetasson azules"."El es inteligente o estudia todas las noches"es, implícitamente,un enunciado compuesto por los subenunciados "El es inteligente"estudia todas las noches".2La propiedad fundamental de un enunciado compuesto es que su valorde verdad está completamente determinado por los valores de verdadde sus subenunciados junto con la manera como están conectados paraformar el enunciado compuesto. Comenzamos con un estudio de algunasde estos conectivos.Utilizaremos las letras p; q; r(en minúsculas) para denotar proposiciones.Además una proposición puede tomar el valor de 1 si es verdadera,0 si es falsa, esto también se espera que ocurra en las proposicionescompuestas, por esto es necesario una tabla que de la oportunidadde veri…car todas las posibles combinaciones, la llamaremos T ablas deverdad1.8.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ qDos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra2"paraformar un enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciadosoriginales. Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p yq, que se lee "p y q".Favián Arenas. 13 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemáticael valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposicionesque la conforman sean verdaderas1. p : El dos es un número par (V)2. q : Siete es un número primo (V)3. r : El ocho es un número primo (F)así que :p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (V)En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntivalo será.r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (F)La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por la siguientetabla:p q p ^ q1 1 11 0 00 1 00 0 0Para ilustrarlo: en una tubería de acueducto se han colocado 2 grifosnumerados p y q respectivamente si se abre p escribimos 1, si la cerramosescribimos 0. la única forma en que salga agua es p = 1 y q = 1 en cualquierotro caso no saldrá agua.Favián Arenas. 14 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática1.8.2. Proposiciones disyuntivas, p _ qDos enunciados se combinan con la palabra . o "para formar un enunciadocompuesto llamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente,p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p oq".El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposicionesque la conforman sean no sean falsas.La tabla de verdad del enunciado compuesto p _ q está dada por la siguientetabla:p q p _ q1 1 11 0 10 1 10 0 0En este caso la única manera en que no salga agua es que ambos grifosestén cerradospqFavián Arenas. 15 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática1.8.3. Proposiciones disyuntivas exclusivas p Y qDos enunciados se pueden combinar con la palabra . o "para formar unenunciado compuesto llamado la disyunción de los enunciados originales.Simbólicamente, p Y q denota la disyunción de los enunciados p y q, quese lee "p o q".La tabla de verdad del enunciado compuesto p Y q está dada por la siguientetabla:p q p Y q1 1 01 0 10 1 10 0 01.8.4. Proposiciones condicionales, p ! qCuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se formauna proposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda esfalsa (solo en este orden).Ejemplo 2.Sea p : El canguro es marsupial ( 1 )q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales.en forma simbólicaFavián Arenas. 16 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemáticap q p ! q1 0 0En las proposiciones condicionales llamamos a la primera proposiciónque la compone “antecedente”y a la segunda “consecuente”. Cuando el antecedentetiene una relación directa con el consecuente podemos utilizar elsímbolo de la implicación “=)”La suma de dos números naturales es un número natural esto implica que2+3 es número naturalLa tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por lasiguiente tabla:p q p ! q1 1 11 0 00 1 10 0 1Ahora el grifo p tiene un problema, se encuentra mal y cuando alguienla abre esta se cierra, cuando alguien la cierra esta se abre, por eso la únicaforma en que no salga agua es que se abra p (en realidad se cierra) y se cierreq1.8.5. Proposiciones bicondicionales, p $ qCuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si”, se formauna proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.Favián Arenas. 17 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica MatemáticapqEjemplo 3.Sea p : todo número impar es primo ( 0 )q : 9 es menor que 6 ( 0 )Todo número impar es primo si y solo si 9 es menor que 6, es como decir:Todo número impar es primo única y exclusivamente si 9 es menor que 6Como ambas proposiciones son falsas se cumple la a…rmación compuestaLa tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por lasiguiente tabla:p q p $ q1 1 11 0 00 1 00 0 1La proposición bicondicional p $ q es equivalente por su tabla de verdad a(p ! q) ^ (q ! p)Favián Arenas. 18 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica MatemáticappqqCompruebe la tabla de verdad para este circuito de acueducto:p q (p ! q) ^ (q ! p)1 11 00 10 01.8.6. Proposiciones negativas: pAunque no es un conectivo lógico (como _; ^; Y ,=); ,) genera nuevasproposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo“”a la letra de la proposición:Ejemplos:p : todo número impar es primo p : no todo número impar es primoq : 9 es menor que 6 q : 9 no es menor que 6La tabla de verdad de la negación de p : p está dada por la siguiente tabla:Favián Arenas. 19 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica MatemáticaProblema 1.pp p1 00 1Problema 2. Supóngase que en este circuito de acueducto llamamos abrircon el 1 y cerrar con el 0. Si sale agua 1 y si no sale 0. Completa lasiguiente tabla de acuerdo a la grá…ca.rqpFavián Arenas. 20 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemáticagrifo p grifo q grifo r ¿Sale?1 1 11 1 01 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 01.8.7. Validación de leyes lógicasA partir de las tablas de verdad anteriores se pueden calcular la tabla deverdad de proposiciones mas complejas.Ejemplo 4. Hallar La tabla de verdad de la proposición: (p ! q) ^ (q_ p)para esto se determinan inicialmente las tablas de:p; q; p; p ! q; q_ py por último (p ! q) ^ (q_ p)p q p p ! q q_ p (p ! q) ^ (q_ p)1 1 0 1 11 0 0 0 00 1 1 1 10 0 1 1 1Favián Arenas. 21 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica MatemáticaLeyes conmutativasp ^ q , q ^ pp _ q , q _ pp Y q , q Y pp $ q , q $ pLeyes asociativasp ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ rp _ (q _ r) , (p _ q) _ rp $ (q $ r) , (p $ q) $ rLeyes distributivasp ^ (q _ r) , (p ^ q) _ (p ^ r)p _ (q ^ r) , (p _ q) ^ (p _ r)Leyes de absorciónp ^ (p _ q) , pp _ (p ^ q) , pLeyes de MorganFavián Arenas. 24 Camargo Benítez.

1.8 Clases de proposiciones Lógica Matemática (p ^ q) , p_ q (p _ q) , p^ qLeyes de Involución ( p) , pProblema 3. aplica la validación de tablas para probar las anteriores leyes.Tambien hay ocasiones en que lo que se desea probar es que dos proposicionesno pueden ser simultáneamente verdaderas. veamosEjemplo 7. pruebe que las proposiciones p es excluyente con pse debe validar (p^ q)p q q (p^ q)1 1 0 01 0 1 00 1 0 00 0 1 0Ejemplo 8. pruebe que las proposiciones (p^ q) es excluyente con (p ! q)se debe validar (p^ q) ^ (p ! q)Favián Arenas. 25 Camargo Benítez.

1.9 Cuanti…cadores Lógica Matemáticap q q p ! q (p^ q) (p^ q) ^ (p ! q)1 1 0 1 0 01 0 1 0 1 00 1 0 1 0 00 0 1 1 0 0A casos como estos donde la tabla termina solo con ceros se le llamaCONTRADICCIÓN1.9. Cuanti…cadoresSi, en una condición dada p(x), atribuimos a la variable x los valoresde su dominio, obtendremos, como vimos, una proposición. Otra forma, extremadamenteimportante en Matemática, de obtener proposiciones a partirde una condición p(x), es anteponerle a esta los símbolos 8x; 9x y 9!x quese llaman cuanti…cadores (cuanti…cador universal , cuanti…cador existencialy cuanti…cador existencial de unicidad respectivamente).La proposición 8x : p(x) se lee “para todo x, tal que p(x)” y signi…caque p(x) es verdadera, atribuyendo a x cualquier valor de su dominio.La proposición 9x : p(x) se lee “existe un x, tal que p(x)”y signi…ca quep(x) es verdadera, para algún x de su dominio, ün"no signi…ca "único". porejemplo "María Teresa tiene una amiga que la quiere mucho"es posible quetenga más de una, es por esto que la proposición 9!x : p(x) se lee “existe unúnico x, tal que p(x)” y signi…ca que p(x) es verdadera si y solo si x tomaun único valor de su dominio.Favián Arenas. 26 Camargo Benítez.

1.9 Cuanti…cadores Lógica MatemáticaPor ejemplo, siendo x una variable real, son verdaderas las proposiciones:1) 8x : x 2 + 1 > 02) 9x : x 2 4 = 03) 9!x : 8x 4 = 0Justi…cación:1) Como ningún número al cuadrado es negativo8x : x 2 08x : x 2 + 1 0 + 18x : x 2 + 1 1 y como 1 > 08x : x 2 + 1 > 02) Mostremos los valores de x en los cuales:x 2 4 = 0 ;x 2 = 4x = p 4x = 2solo con lo valores2 y 2 la proposición es verdadera3) Se pide 8x 4 = 0 así que el valor de x es:8x 4 = 08x = 4x = 4 8x = 2y este es el único valor de x que lo hace verdaderoFavián Arenas. 27 Camargo Benítez.

1.10 Actividades Lógica Matemática1.10. ActividadesEjercicio 1. 1. ¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarsecomo proposicionesa) Si llueve es porque estamos en invierno.b) Un triángulo es una …gura plana con tres lados.c) Un triángulo es un polígono de tres ángulos.d) La …losofía es triangulare) 5 2 = 21f) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados.g) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectosh) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos.i) Medellín es ciudad de eterna primavera.j) Un rectángulo es una …gura verde.k) x 2 + 3x 4 = 0l) Todas las naranjas son amarillas.m) Algunas manzanas son rojas.2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso,x debe reemplazarse por:a) 2b) 3Favián Arenas. 28 Camargo Benítez.

1.10 Actividades Lógica Matemáticac) 4d) 53. En la proposición: “ Sí respetamos la vida entonces Colombia será unpaís feliz”. Podemos escoger:p : Respetamos la vidaq :Colombia será un país felizSe construyó la tabla de verdad para esta proposición compuesta, perotiene un error. Localízalo, marcando con x el renglón correctop q p ! q1 0 10 0 11 1 10 1 14. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llamapentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono”En el enunciado anterioridenti…ca todas las proposiciones cerradas.(Represéntalas con las letras p, q, r).5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe enpalabras las proposiciones compuestas siguientes:a) p ! qb) (p $ q)Favián Arenas. 29 Camargo Benítez.

1.10 Actividades Lógica Matemáticac) (p ! q ) ! (p ! r)6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor deverdad de las siguientes proposicionesa) p^ qb) (p ! q)c) (p _ q ) Y (p ! r)7. Completa las siguientes tablas de verdadp q q p p^ q p Y q (p Y q) _ ( p^ q)a)1 1 11 0 00 1 00 0 1p q q p $ q p^ q (p $ q) ! (p^ q)b)1 1 11 0 00 1 00 0 1Favián Arenas. 30 Camargo Benítez.

1.10 Actividades Lógica Matemáticap q r ((p ! r) ^ (q ! r)) ! r1 1 11 1 0c)1 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 08. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luegoniega las tres proposiciones.9. Ana y José apostaron al marcador entre sus equipos favoritos de fútbol.Al iniciarse el partido José le dice a Ana: “si mi equipo gana entoncesyo pago el almuerzo” La situación puede tener los resultados que semuestran en la tabla. ¿En cual de todos José habrá mentido? Escríbeloen la tabla.p q ¿José cumplió?Ganó el equipo de José v José pagó el almuerzo vGanó el equipo de José v José no pagó el almuerzo fPerdió el equipo de José f José pagó el almuerzo vPerdió el equipo de José f José no pagó el almuerzo f10. Encuentre una expresión que solo contenga ^; _ y la negación ;pararepresentar:Favián Arenas. 31 Camargo Benítez.

1.10 Actividades Lógica Matemáticaa) p ! qb) p $ qc) p Y q:11. En el siguiente circuito eléctrico cada interruptor está representado poruna letra , encuentra la tabla de verdad que representa este circuito ydiseña otro circuito que tenga la misma tabla de verdad.Favián Arenas. 32 Camargo Benítez.

Lógica MatemáticaUNIDAD DE APRENDIZAJE II2. Introducción a los ConjuntosLas ideas esenciales de la teoría de conjuntos fue introducida por George.Cantor, en la parte …nal del siglo XIX. Desde entonces la teoría dos conjuntosno ha dejado de desarrollarse intensamente, de tal forma que ahorapuede decirse que todas las ramas de la Matemática fueron profundamentein‡uenciados y enriquecidos por esa teoría. Procuraremos en esta unidad deaprendizaje introducir algunas de las ideas básicas de teoría de conjuntos,evitando un tanto una formulación demasiado abstracta, o rigurosa.La noción de conjunto es una de las que tiene la Matemática Moderna(¿recuerda que es un punto en geometría? eso también es una noción) , endonde los conceptos y no las de…niciones son adoptados como punto de partiday sirven base para la de…nición de otros conceptos introducidos en eldesarrollo de la teoría. Intuitivamente, un conjunto es entendido como unacolección de objetos de cualquier natureza , los cuales se dicen elementos delconjunto.Favián Arenas. 33 Camargo Benítez.

2.1 Objetivos Lógica Matemática2.1. ObjetivosEl alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicospara la solución de un problema:Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases.Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas.Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..2.2. CompetenciasDetermina conjuntos por extensión y comprensión.Mani…esta habilidad en la representación grá…ca de conjuntos y susoperaciones.Muestra interés participando en la construcción de proposiciones compuestasy nuevos conjuntos.Reconoce a partir de una proposición el conjunto equivalente.Comprende y demuestra las leyes logicas y de conjuntos.Favián Arenas. 34 Camargo Benítez.

2.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática2.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeMesa redonda.Presentación de trabajos.Sesión de Chat.Sesión Foro.TalleresEncuentro presencial2.4. Recursos de aprendizajeAula de clases,LaboratoriosAuditorios.VideobeamRetroproyector.Favián Arenas. 35 Camargo Benítez.

2.5 Teoría de conjuntos Lógica Matemática2.5. Teoría de conjuntosElementos: la mínima parte de un objeto se denomina elementos, sonelementos los integrantes de una familia, son elementos los días de la semana,son elementos los números de teléfonos de montería, son elementos las hojasde un árbol, claro está esta es una noción que has escuchado antes y estámuy relacionado con otro objeto matemático llamado CONJUNTO.Conjunto: se suele decir que una agrupación de elementos es un conjunto,pero también es conjunto aunque tenga solo un elemento o aunque notenga elementos; por lo tanto son conjuntos: la familia, la semana, el directoriotelefónico, un árbol, el grupo de presidentes de Colombia, el grupo demamíferos que ponen huevos.Símbolos: Los conjuntos se representan con letras mayúsculas: A; B; C;...Los elementos con letras minúsculas: a; b; c; :::Al representarlos , para agrupar los elementos utilizamos llaves f g, tambiénpodemos usar un diagrama de Venn, a veces es más fácil , por eso debesutilizar las dos formas.Ejemplo:Representa el conjunto de los números dígitosD = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9go tambiénRelación de pertenencia. Si se tiene un conjunto A y un elemento ay ocurre que a es un miembro de A, se dice, entonces, a pertenece a A y seescribe a 2 A (a es un elemento de A).Pero si se tiene un elemento c que no pertenece al conjunto A ,se escribeFavián Arenas. 36 Camargo Benítez.

2.6 Clases de conjuntos Lógica Matemáticac =2 A (c no es un elemento de A).2.6. Clases de conjuntosLos conjuntos se clasi…can según el número de elementos que posean,veamos:Conjunto vacío:Es aquel conjunto que no tiene elementos, como una bolsa vacía, se simbolizacon El conjunto de los números pares que terminan en 3Representémoslo así:P = flos números pares que terminan en 3 g = Conjunto unitario: es el que tiene un solo elemento.B = { la capital de Colombia}M = {Lucy}C = f0gConjunto …nito: es aquel que tiene un número …nito de elementos .También es …nito el conjunto unitario.Favián Arenas. 37 Camargo Benítez.

2.7 Determinación de un conjuntoLógica MatemáticaS = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}N = f3; 13; 23; 33; 34; 35gT = {Miguel, José}A = fa; b; c; d; :::; x; y; zgConjunto in…nito: si tiene tantos elementos que es imposible contarlosse le llama conjunto in…nito.N = f1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 21; :::g¿Conoces otro conjunto que sea in…nito? ¿Cuantos?¿Que signi…ca los puntos suspensivos?2.7. Determinación de un conjuntoPara determinar o identi…car un conjunto existen dos maneras:Por extensión, que consiste en escribir todos y cada uno de los elementosque lo conforman, así conociendo todos sus elementos conocemos el conjunto.Por comprensión, esta consiste en indicar una característica especial ycomún que tienen los elementos de un conjunto.Ejemplo 9.por extensión:V = fa; e; i; o; ugF = f1; 11; 21; 31; 41; 51; 61; 71; 81; 91; 101; 111; ::::gY = Por comprensión:Favián Arenas. 38 Camargo Benítez.

2.7 Determinación de un conjuntoLógica MatemáticaV ={las vocales}F ={los números naturales que terminan en 1}Y ={los números impares que terminan en 0}Subconjunto:Si un conjunto B está contenido en un conjunto A, es porque todos loselementos de B están en A; pero es posible que existan elementos en A, queno estén en B.Entonces B es un Subconjunto de A, o también se puede decir “ B estácontenido en A”. Se representa con los símbolos: B AAsí que:(B A) () (x 2 B =) x 2 A)Favián Arenas. 39 Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos Lógica Matemática2.8. Algebra de conjuntosUnión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ugse combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puedeestar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de Ay B.M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesM [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9gEn forma grá…ca la unión es la región resaltadaSimbólicamente la unión de A y B es:AUB = fx : x 2 A _ x 2 BgIntersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata deencontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos,veamos:M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesFavián Arenas. 40 Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos Lógica MatemáticaLa intersección la representamos por:M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten. En forma grá…ca la intersecciónes la región resaltadaSimbólicamente la intercepción de A y B es:A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 BgDiferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A =fa; e; ogLa diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de Vque no están en A así:V A = fi; ogM = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesLa diferencia la representamos por:M J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J.También se puede calcular J MJ M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M.Favián Arenas. 41 Camargo Benítez.

2.8 Algebra de conjuntos Lógica MatemáticaEn forma grá…ca la diferencia es la región sombreadaSimbólicamente es:M J = fx : x 2 M ^ x =2 JgJ M = fx : x 2 J ^ x =2 MgComplemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjuntoque nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamaráuniversal o referencial.Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3gLlamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementosde U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lodenotaremos con A0Notese que A0 = U AU = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29gSi B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23gSi C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29gSi D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = Simbólicamente es:A 0 = fx : x 2 U ^ x =2 AgFavián Arenas. 42 Camargo Benítez.

2.9 Propiedades de los ConjuntosLógica Matemática2.9. Propiedades de los ConjuntosExisten ciertas analogías entre los conectivos de las proposiciones y lasoperaciones con conjuntos, una de ellas consiste en que todos los operadoresde conjuntos se pueden poderse reducir a combinaciones de intercepcionesy uniones, así como los conectivos de proposiciones se pueden reducir a losconectivos2"(^), . o "(_) y la negación ().La intersección de conjuntos es análoga a la conjunción de proposiciones \ ^La unión de conjuntos es análoga a la disyunción de proposiciones [ _El complemento de conjuntos es análogo a la negación de proposiciones A 0 pLa contenencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposiciones A B p ! qLa diferencia de conjuntos es análoga a la implicación de proposicionesAp ! q , p _ qPor lo tanto gozan de propiedades semejantes a las proposiciones:B = A \ B 0 Leyes de IdempotenciaA \ A = AA [ A = ALeyes conmutativasFavián Arenas. 43 Camargo Benítez.

2.9 Propiedades de los ConjuntosLógica MatemáticaA \ B = B \ AA [ B = B [ ALeyes asociativasp ^ (q ^ r) , (p ^ q) ^ rp _ (q _ r) , (p _ q) _ rp $ (q $ r) , (p $ q) $ rLeyes distributivasA \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C)A [ (B \ C) = (A [ B) \ (A [ C)Leyes de absorciónA \ (A [ B) = AA [ (A \ B) = ALeyes de Morgan(A [ B) 0 = A 0 \ B 0(A \ B) 0 = A 0 [ B 0Leyes de Involución(A 0 ) 0 = AFavián Arenas. 44 Camargo Benítez.

2.10 Actividades Lógica MatemáticaVeamos grá…camente la ley de Morgan (A [ B) 0 = A 0 \ B 02.10. Actividades1. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada secciónde la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sinembargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exactaFavián Arenas. 45 Camargo Benítez.

2.10 Actividades Lógica Matemáticade personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguientediagrama de Venn.21 personas fueron a Francia17 personas fueron a España16 personas fueron a Inglaterra9 personas fueron a Francia y a España8 personas fueron a España y a Inglaterra6 personas fueron a Francia y a Inglaterra1. a) El número de personas que fue a Francia y España pero no aInglaterra es:_______b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Franciaes:________d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no aFrancia es:______2. Después de medir su peso en una balanza, se obtienen los siguientesresultados:Favián Arenas. 46 Camargo Benítez.

2.10 Actividades Lógica MatemáticaAndrés es más liviano que Fernando, pero más pesado que GabrielaEsteban es más liviano que Andrés, pero más pesado que GabrielaPedro es más liviano que Jorge, pero más pesado que MiguelJorge es más liviano que GabrielaOrdena los jóvenes según su peso, comenzando con el más pesado.(Paradoja de Russell) En un pueblo chico hay solo un barbero, y loshombres del pueblo, por lo que se re…ere a la rasurada, se dividen endos grupos: los que se rasuran con el barbero, y los que se rasuran solos.¿A cual de los dos grupos pertenece el barbero?Explica.Favián Arenas. 47 Camargo Benítez.

UNIDAD DE APRENDIZAJE IIILógica Matemática3. Introducción al Álgebra de BooleEn las dos unidades anteriores se vió que las leyes para las proposicionesy para los conjuntos son semejantes. Podemos ahora demostrar que cada unode estos sistemas es un álgebra de Boole. Esta estructura algebraica masgeneral es una de las partes del Algebra abstracta, que a pesar del nombre seaplica podríamos decir que "demasiado. a la computación y a la inteligenciaArti…cial. Esta unidad es fundamental, sobre todo para la simpli…cación decircuitos (Unidad 4 ).Favián Arenas. 48 Camargo Benítez.

3.1 Objetivos Lógica Matemática3.1. ObjetivosEl alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicospara la solución de un problema:Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba.Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones.Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.3.2. CompetenciasInterpretará las demostraciones de las leyes del álgebra de Boole.Compruebará si el conjunto en cuestión veri…ca las leyes del álgebra deBoole.Aplicará las leyes del álgebra de Boole para simpli…car funciones booleanas.Armonizará los conocimientos de Tablas de verdad con las funcionesbooleanas.Favián Arenas. 49 Camargo Benítez.

3.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática3.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeMesa redonda.Presentación de trabajos.Sesión de Chat.Sesión Foro.TalleresEncuentro presencial3.4. Recursos de aprendizajeAula de clases,LaboratoriosAuditorios.VideobeamRetroproyector.Favián Arenas. 50 Camargo Benítez.

3.5 Clases de operaciones Lógica Matemática3.5. Clases de operacionesHasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones yentre conjuntosVale la pena clasi…car en general las operacionesEl primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos,sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece alconjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA es una .operación tal que:si a; b 2 X,entonces también la es a bEjemplo 10. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binariapues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N:Ejemplo 11. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operaciónbinaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 =5 =2 N:Ejemplo 12. la división en el conjunto de los naturales no es una operaciónbinaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 9 y 2 tal que 9 2 =9=2 N:2Ejemplo 13. La operación > en el conjuntofa; b; cg se de…ne como sigue enla siguiente tabla:> a b ca a b ab b a cc a c aFavián Arenas. 51 Camargo Benítez.

3.5 Clases de operaciones Lógica MatemáticaEl segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidadtransforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNI-TARIA ' sobre un conjunto B es una .operación tal que:Si a 2 B, entonces '(a) 2 BEjemplo 14. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una operaciónbinariapues si m 2 Z;entonces m 2 Z:Ejemplo 15. la Radicación en el conjunto de los números reales es unaoperación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1p esuna operación binaria con n 2 Npero el operador 2np no es una operación binaria con n 2 Nnótese que 1 2 R pero 2np 1 =2 R:1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitariasa) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los númerosreales.b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los númerosenteros.c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"seauna operación unitaria.2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias:Favián Arenas. 52 Camargo Benítez.

3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemáticaa) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema.b) En el sistema de los números complejos.3.6. Álgebra de BooleUn conjunto B, junto con las operaciones binarias ; de…nidas sobre éles un álgebra de Boole,si se veri…can las siguientes Propiedades:Ley conmutativa1. a) 1) 8a; b 2 B; a b 2 B2) 8a; b 2 B; a b 2 BLey distributiva1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)2) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)Elementos neutros1. a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a e = a (Neutro Aditivo o cero)2) 8a 2 B; 9i 2 B; a i = a (Neutro Multiplicativo ounidad)Complementación1. a) 1) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = i (complemento a la unidad)Favián Arenas. 53 Camargo Benítez.

3.6 Álgebra de Boole Lógica Matemática2) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = e (complemento al cero)mas adelante se probará que a c es el mismo en ambos casos.Ejemplo 16. Sea D 26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivosdel 26; de…namos las operaciones binarias así:cero)a b = MCM(a; b)a b = mcd(a; b)( Mínimo Común múltiplo)( Máximo Común divisor)observe que para que a b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo oyunidad)para que a b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo opor otra parte:para que ab = 26; tiene que ser b = 26 (complemento de la unidad)ay para que a b = 1; depende de quien sea a así:si a = 1 entonces b = 26si a = 2 entonces b = 13si a = 13 entonces b = 2si a = 26 entonces b = 1Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a lasde la escuela. 1 2 13 261 1 2 13 262 2 2 26 2613 13 26 13 2626 26 26 26 13 1 2 13 261 1 1 1 12 1 2 1 213 1 1 13 1326 1 2 13 26Favián Arenas. 54 Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad Lógica Matemática3.7. Principio de dualidadSi en un teorema válido intercambiamos por y e por i, obtenemosotro teorema válido.La demostración de que esto es cierto se obtiene haciendo este intercambioen todos los pasos de la demostración del teorema original.Solo por comodidad cambiaremos los signos de las operaciones a b pora + b; a b por ab; aclaramos que estos signos representarán las dos operacionesdel álgebra de Boole las cuales pueden ser cualesquier operaciónbinaria. Ademas cambiaremos los elementos neutros e por 0; i por 1; sinquerer con esto confundirlos.A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole,se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra larealizará el estudiante con el principio de dualidad.Ley de idempotencia1. a) 1) 8a 2 B; a + a = a2) 8a 2 B; aa = aPrueba (i): Sea a 2 B a = a + 0 = a + (aa c ) = (a + a) (a + a c ) =(a + a) (1) = a + a Ley de acotamiento1. a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 1Favián Arenas. 55 Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad Lógica Matemática2) 8a 2 B; a0 = 0Prueba (i): Sea a 2 B a+1 = (a + 1) 1 = (a + 1) (a+a c ) = a+(1a c ) =a + a c = 1 Ley de absorción1. a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a2) 8a; b 2 B; a(a + b) = aPrueba (i): Sea a; b 2 BLey asociativaa + ab = a1 + ab = a(1 + b) = a(1) = a 1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)cPrueba (i): Sea a; b; c 2 Ba + (b + c) = 1 [a + (b + c)]= a c a [a + (b + c)]= a c [aa + a (b + c)]= a c [a + a (b + c)]= a c a= a c [a + ac]= a c [a (a + b) + ac]= a c a [(a + b) + c]= 1 [(a + b) + c]= (a + b) + c Favián Arenas. 56 Camargo Benítez.

3.7 Principio de dualidad Lógica MatemáticaUnicidad del complemento1. a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = a cPrueba (i): Sea a 2 B supóngase a + x = 1 y ax = 0a c = a c 1 = a c (a + x) = a c a + a c x = 0 + a c x = a c x = a c (x + 0) =a c x + ax = (a c + a)x = 1x = x Ley de involución1. a) 1) 8a 2 B; (a c ) c = aPrueba (i): Sea a 2 B a + a c = 1; esto signi…ca que a es elcomplemento de a c ; es decir a = (a c ) c Ley de Morgana) 1) 8a; b 2 B; (a + b) c = a c b c2) 8a; b 2 B; (ab) c = a c + b cPrueba (i): Sea a; b 2 B (a + b) + a c b c = a + (b + a c b c ) = a +(b + a c )(b + b c )= a + (b + a c )1 =a + b + a c = a + a c + b = 1 + b = 1con esto por la unicidad del complemento (a + b) c = a c b c Favián Arenas. 57 Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas Lógica Matemática3.8. Funciones booleanas3.8.1. Funciones reales y funciones booleanasHasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra deBoole y algunas de suspropiedades.Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas,que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbradospero con la particularidad de que las variables son booleanas yque los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, unafunción booleana sólo puede tomar los valores ’0’ó ’1’.Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una funciónmatemática de lasque todos conocemos. Por ejemplo esta:f(x) = 2x + 1Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir eldominio de f es RFavián Arenas. 58 Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas Lógica Matemáticay1050-5-2.502.55x-5hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene unain…nidad de puntos en forma de una recta.También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como porejemplo:f(x; y) = 2x + y 2f(x; y; z) = z 2 sen(x + y)f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; :::; x n ) = 3p x 1 + x 2 + x 3 + ::: + x nComo estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nosresultan claras. Ahoravamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente quetrabajaremos convariables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y delAlgebra de Boole.Favián Arenas. 59 Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas Lógica MatemáticaEjemplo 17. sea la siguiente función booleana de una variable:f(x) = x cEl valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable.Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’y ’1’.Los que la función F toma son:f(0) = 0 c = 1f(1) = 1 c = 0Ejemplo 18.Ejemplo 19. Sea la siguiente función booleana se dos variables:f(x; y) = x c (x + y)obtenemos:f(0; 0) = 0 c (0 + 0) = 1 0 = 0f(0; 1) = 0 c (0 + 1) = 1 1 = 1f(1; 0) = 1 c (1 + 0) = 0 1 = 0f(1; 1) = 1 c (1 + 1) = 0 0 = 0Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunaspropiedades para obtener una función más simpli…cada:del ejemplo anteriorf(x; y) = x c (x + y)= x c x + x c y (ley distributiva)= 0 + x c y (complemento al cero)= x 0 yFavián Arenas. 60 Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas Lógica Matemáticaen el cual también obtenemos:f(0; 0) = 0 0 0 = 1 0 = 0f(0; 1) = 0 0 1 = 1 1 = 1f(1; 0) = 1 0 0 = 0 1 = 0f(1; 1) = 1 0 1 = 0 0 = 03.8.2. Funciones booleanas y tablas de verdadExiste otra manera de representar una función booleana. es mediante lastablas de verdad, pero cambiando las proposiciones por expresiones booleanas:utilizaremos nuevamente el ejemplo anterior:f(x; y) = x c (x + y)su tabla es:x y f(x; y)1 1 01 0 00 1 10 0 0El número de …las de la tabla de verdad depende del número de variablesque usemos.consideremos h(x; y; z) = x + yzFavián Arenas. 61 Camargo Benítez.

3.8 Funciones booleanas Lógica Matemáticax y z yz x + yx1 1 1 1 11 1 0 0 11 0 1 0 11 0 0 0 10 1 1 1 10 1 0 0 00 0 1 0 00 0 0 0 0Favián Arenas. 62 Camargo Benítez.

3.9 Actividades Lógica Matemática3.9. ActividadesEjercicio 2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los métodosde:1. a) Tablas de verdad.b) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)ab c + a c b + a c b c = a c + b ca c b c + ac + bc c = a c c c + b c c + aba c b c + bd + ab c = d + d c b c(a + b c + ab)(a c + b)ab c = 0(a + b c + ab c )(ab + bc c + a c c) = ab + a c b c c(ab + c + d)(c c + d)(c c + d + e) = abc c + dEjercicio 3. 1. Demostrar las siguientes propiedades de la función lógicaO-exclusiva:f(p; q) = p Y qa) Asociativab) Conmutativac) Existencia de elemento neutro e tal que x Ye = xd) Existencia de Inverso (A todo elemento x se le puede hacer corresponderun elemento x tal que x Y y = eFavián Arenas. 63 Camargo Benítez.

3.9 Actividades Lógica Matemáticae) Distributiva del Producto respecto a la O-exclusivaf) que mediante la O-exclusiva y la función y : f(p; q) = p^q se puedenrealizar las otras dos operaciones fundamentales del álgebra de Boole:negación y suma(disyunción)Nota: Calcular el valor de 1 Yx y de1 Y ((1 Y x)(1 Y y))Una función de tres variables f(a,b,c) debe tomar el valor cero cuando lavariable b esté a uno y la variable a no está en estado uno. En los demáscasos posibles debe estar en estado uno.a) Realizar la tabla de verdad de la función.Discurso sobre los estudios de Informática en clase de Lógica:Señoras y señores, buenas tardes:Es hora de que recapacitemos sobre los estudios de informática en vísperasdel asentamiento de la titulación en nuestra Universidad. Se sabe que si losordenadores hablasen los informáticos no existirían. Por otra parte, en la últimareunión del Consejo de Universidades, éste a…rmó que: "...la Universidadtitulará informáticos mientras los ordenadores no hablen ..."; a…rmación quenos parece muy correcta, si bien lo cierto es que los ordenadores no hablanpero los informáticos existen.A la vista de todo ello nos preguntamos: ¿Es, por tanto, coherente que laUniversidad expida títulos de informática en la actualidad?.Demuestre las leyes del algebra de Boole que no se probaron aplicando elprincipio de dualidad.Favián Arenas. 64 Camargo Benítez.

UNIDAD DE APRENDIZAJE IVLógica Matemática4. Introducción al método de KarnaughEl método de Karnaugh convierte una expresión booleana a otra más simpli-…cada. En nuestro caso, convierte una suma de productos en otra minimal .Tiene como características:Un mínimo número de términos en la expresión.Un mínimo número de variables en cada término de dicha expresión.Inicialmente se tiene una expresión booleana constituida por una sumade productos de variables, que pueden tomar únicamente los valores de cero[0] o uno [1]. El resultado de esta expresión es un valor booleano para cadauno de los valores que tomen dichas variables.Favián Arenas. 65 Camargo Benítez.

4.1 Objetivos Lógica Matemática4.1. ObjetivosEl alumno conocerá, utilizará y aplicará los siguientes elementos básicospara la solución de un problema:Entradas y salidas de las compuertas lógicas.tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas.Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh4.2. CompetenciasDeduce la relación existente entre las entradas y salidas de las compuertaslógicas.Construye tablas de verdad a partir de mediciones en compuestos lógicos.Representa funciones lógicas mediante simbología electrónica normalizaday de uso tradicional.Reconoce por su símbolo, forma o nomenclatura las diferentes funcioneslógicas.Favián Arenas. 66 Camargo Benítez.

4.3 Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizaje Lógica Matemática4.3. Estrategias pedagógicas o actividades de aprendizajeMesa redonda.Presentación de trabajos.Sesión de Chat.Sesión Foro.TalleresEncuentro presencial4.4. Recursos de aprendizajeAula de clasesLaboratoriosAuditorios.VideobeamRetroproyector.Favián Arenas. 67 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática4.5. Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitosLas señales de tensión alta ( mas de 1 voltio) o bajas (menos de 1 voltio)han dado lugar a su vez a representaciones electrónicas que se utilizan en eldiseño de los circuitos integrados. Estos circuitos se conocen como çircuitoslógicos"pues basan su función en condiciones presenciales o no de los pulsosaltos o bajos.En los circuitos digitales todos los voltajes, a excepción de las fuentes dealimentación, se agrupan en dos posibles categorías: voltaje altos y voltajesbajos. Entre estos dos rangos de voltajes existen existe una denominada zonaprohibida o de incertidumbre que los separa. Una tensión alta signi…ca un 1binario y una tensión baja signi…ca un 0 binario. Todos los sistemas digitalesse construyen utilizando básicamente tres puertas lógicas básicas. Estas sonlas puertas AND, la puerta OR y la puerta NOT; o la combinación de estas.El recurso a las tablas para la simpli…cación de ecuaciones booleanases, como ya se ha dicho, fruto de su mayor simplicidad. Aunque existenotros métodos (como las tablas de Quine- McCluskey), nos limitaremos aexplicar someramente el método conocido como “mapas de Karnaugh”. Éstosse pueden utilizar para simpli…car funciones de dos a seis variables, aunquehabitualmente sólo se los emplee para funciones de dos a cinco variables.El método grá…co de Karnaugh, desarrollado en The Map Method forSynthesis of Combinatorial Logic Circuits (AIEE, vol. 72, 1953), se basa enotro de E. W. Veitch publicado en A Chart Method for Simplifying TruthFunctions (ACM, 1952). Esta técnica se convirtió rápidamente en la herramientamás potente entre los diseñadores de computadores y expertos enFavián Arenas. 68 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticalógica digital durante la década de los 50.LA COMPUERTAANDABEl esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuertaAND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderásolo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si unode los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no seenciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B semuestran en la tabla de verdad.A B Lampara1 1 11 0 00 1 00 0 0Favián Arenas. 69 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaLa tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dosinterruptores en serie se representan con la compuerta ANDPara representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguienteEsta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B yuna salida A B.El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra comooperan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método demostrar que ocurre en un circuito lógico.A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee . A ANDB igual a la salida Y"El punto () signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no laoperación de multiplicar como en el álgebra corriente.En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.la expresión A B C se lee " A AND B AND C" y se representa con la…gura:Favián Arenas. 70 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaLa tabla de verdad de esta última coincide con el conjuntivo múltiplep ^ q ^ res decir:p q r p ^ q ^ r1 1 1 11 1 0 01 0 1 01 0 0 00 1 1 00 1 0 00 0 1 00 0 0 0LA COMPUERTA OR El grá…co de este circuito ilustra el funcionamientode la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectadosen paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierraFavián Arenas. 71 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticacualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinacionesde los interruptores se muestran en la tabla siguiente.A B Lampara1 1 11 0 10 1 10 0 0La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dosinterruptores en serie se representan con la compuerta ORPara representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente:Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B yuna salida A + B.Favián Arenas. 72 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaA + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee . A ORB igual a la salida Y"El signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y nola operación de sumar como en el álgebra corriente.En caso de que el circuito lógico tenga tres variables.la expresión A+B +C se lee A OR B OR C y se representa con la …gura:COMPUERTA INVERSORAEn este circuito cuando se cierra el inter-Favián Arenas. 73 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticaruptor A, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombillase enciende.La tabla es:A lámpara1 00 1Es la misma tabla de la negación p; a este esquema se le llama Lacompuerta inversora,esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su funciónes producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertirunos a ceros y ceros a unos.El círculo inversor puede estar en la parte de entrada o de salida delsímbolo triangular.Favián Arenas. 74 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticaeste tiene el mismo sentido de el complemento a la unidad del álgebra deBoole.con solo estas tres compuertas se pueden conformar otras como las siguientes:LA PUERTA NANDUna compuerta NAND es un dispositivo lógico queopera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregandouna salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientrasexista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas:En forma proposicional (p ^ q).En forma de expresión booleana (AB) 0 .Observar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculoa la salida.Favián Arenas. 75 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaLA PUERTA NORSe ha conectado un inversor a la salida de una puertaOR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo ORpara formar el símbolo NOR.Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y conla lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores estánabiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos esténcerrados.Símbolo lógico de una compuerta NOR es:Podemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamenteopuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas susentradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto enFavián Arenas. 76 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticacualquiera de ellas.En forma proposicional (p _ q).En forma de expresión booleana (A + B) c .LA COMPUERTA OR EXCLUSIVA O XOR La OR exclusiva, sedenomina la puerta comparadora OR, La tabla de verdad para la funciónXOR se muestra en la tablaA B A XOR B1 1 01 0 10 1 10 0 0la cual es equivalente a la disyunción exclusivaFavián Arenas. 77 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticap q p Y q1 1 01 0 10 1 10 0 0Note que XOR es combinación de los anteriores:apliquemos el calculo proposicional:p Y q = (p , q)= [(p ! q) ^ (q ! p)] aplicando la ley de Morgan= (p ! q)_ (q ! p) negación del condicional= (p^ q) _ (q^ p) ley distributiva= (p _ q) ^ (p_ p) ^ ( q _ q) ^ ( p_ q) siempre (p_ p) = 1= (p _ q) ^ 1 ^ 1 ^ ( p_ q) simplificando= (p _ q) ^ ( p_ q) Ley de Morgan= (p _ q)^ (p ^ q) c ley distributiva= (p^ p) _ (p^ q) _ (q^ p) _ (q^ q) complemento a cero= 0 _ (p^ q) _ (q^ p) _ 0 suma del modulo= (p^ q) _ (q^ p) Listo!Con c probamos que p Y q equivale a tres compuertas una de (p _ q);otra de (p ^ q) y otra que las relacione con la conjunción ^; así pues: AXOR B equivale a: (A OR B) AND (A NAND B) es decir:(A + B)(AB) 0con la parte …nal del cálculo proposicional anterior A XOR B = A 0 B+AB 0VERIFICACIÓN:Favián Arenas. 78 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaA=1 y B=1A=1 y B=0A=0 y B=1A=0 y B=0Favián Arenas. 79 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaFavián Arenas. 80 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaEjemplo 20. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese lasiguiente función booleana de dos variables:Ejemplo 21. f(x; y) = x 0 + xy + xy 0se comienza con cada sumandox 0XX’YYxyXXYYxy 0Favián Arenas. 81 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaXXY’YXX’+XY+XY’YFavián Arenas. 82 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaLa suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas:El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana esuna tautología:Observación: debido a que xyz = (xy)z = x(yz) y quex + y + z = (x + y) + z = x + (y + z)una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertasOR de dos entradasasí:es equivalente a:De manera semejante ocurre para la compuerta AND.Ejemplo 22. Encuentre un circuito de compuertas lógicas para: F (x; y; z) =xyz + x0z0Ejemplo 24. Encontrar una representación booleana del siguiente circuitode compuertas lógicas.Favián Arenas. 83 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática(X+Y)+ZEjemplo 23.xyzxyz+x’y’Favián Arenas. 84 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticaxyzxyzxyz(xyz)NOR(yz c +y c z)=[(xyz)+(yz c +y c z)] cy cy c XOR z c =(y c ) c (z c )+(y c )(z c ) c=yz c +y c zz cFavián Arenas. 85 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticasolución: en cada parte del circuito hay un mensaje:en conclusión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] cEs posible que la expresión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] c se puedasimpli…car mas para lo cual se aplicarán todas las propiedades del álgebra deBoole veamos:[xyz + (yz c + y c z)] c = (xyz) c (yz c + y c z) c ley de Morgan= (x c + y c + z c )((yz c ) c (y c z) c ) ley de Morgan= (x c + y c + z c )((y c + (z c ) c )((y c ) c + z c ) ley de involución= (x c + y c + z c )(y c + z)(y + z c ) ley distributiva= (x c + y c + z c )(yz + yy c + zz c + y c z c ) Complemento al cero= (x c + y c + z c )(yz + 0 + 0 + y c z c ) ley de Morgan= (x c + y c + z c )(yz + y c z c ) ley de Morgan= yzx c + yzy c + yzz c + x c y c z c + y c z c z c + z c y c y c ley distributiva= yzx c + 0 + 0 + x c y c z c + y c z c z c + z c y c y c Complemento al cero= yzx c + x c y c z c + z c y c ley de idempotencia= yzx c + z c y c ley de absorciónExisten métodos más prácticos y rápidos para simpli…car expresionesbooleanas:Favián Arenas. 86 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática4.5.1. Método Karnaugh de simpli…cación de expresiones booleanasEntrando en materia, los mapas están constituidos por una cuadrícula enforma de encasillado cuyo número de casillas depende del número de variablesque tenga la función a simpli…car.Caso de dos variablesSe utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en laprimera …la, la otra variable y su complemento va en la primera columnaxx cyy cEjemplo 25. : Simpli…ca la función de dos variables f(x; y) = x c y+xy c +xyLo primero que se debe hacer es representarlo en un mapa de dos variables.Se representa como una tabla. Para llenar la tabla, se coloca un uno (1) dondela intersección forme un producto de la función, así:para el primer término de la función: x c y, se marca con el uno (1) en latabla.para el segundo término de la función: xy c , se marca con el uno (1) enla tabla.por ultimo el tercer término de la función: xy, se marca con el uno (1)en la tabla. y lo demás con cerosFavián Arenas. 87 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaFavián Arenas. 88 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticaformando grupos con los unos se observa que: se ocupa todo el renglón de lax y toda la columna de la y; no mas.la función f(x; y) = x c y + xy c + xy; se simpli…ca f(x; y) = x + yReglas de simpli…cación(1)Las agrupaciones son exclusivamente deunos. Esto implica que ningún grupo puede contener ningún cero.CorrectaIncorrecta(2) Las agrupaciones únicamente pueden hacerse en horizontal y vertical.Las diagonales están prohibidas.Favián Arenas. 89 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaCorrectaIncorrecta(3) Los grupos deben contener 1; 2; 4; 8; 9; :::; 2 n número de unos.CorrectaIncorrecta(4) Cada grupo ha de ser tan grande como sea posible.CorrectaIncorrectaFavián Arenas. 90 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemática(6) Pueden existir traslapamiento de grupos.CorrectaIncorrecta(7) La formación de grupos también se puede producir con las celdasextremas de la tabla. De tal forma que la parte inferior se podría agruparcon la superior y la izquierda con la derecha.Correcta(8) Tiene que resultar el menor número de grupos posibles (ser minimal) siempre y cuando no contradiga ninguna de las reglas anteriores.Caso de tres variablesFavián Arenas. 91 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaSe utiliza una tabla en donde una variable y su complemento va en laprimera columna, las otras dos variables y sus complementos se acomodancomo productos de ellas en la primera …laxx cyz y c z yz c y c z cF (x; y; z) = x c y c z c + x c y c z + x c yz c + xy c z c + xyz cLos pasos a seguir para conseguir reducir esta expresión son:1. Convertir la expresión a una suma de productos si es necesario.en este caso no lo es.2. se construye un mapa de karnaugh3. Cubrir todos los unos del mapa mediante rectángulos de 2 n elementos,donde n = 1; 2:::número de variables. Ninguno de esos rectángulos debecontener ningún ceroPara minimizar el número de términos resultantes se hará el mínimonúmero posible de rectángulos que cubran todos los unos.Favián Arenas. 92 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica MatemáticaPara minimizar el número de variables se hará cada rectángulo tan grandecomo sea posible.Para encontrar la suma de productos minimal preguntese lo siguiente:¿Cada rectángulo pertenece a un término producto?¿que variables hay en común en tal rectángulo? a estos se llamarán implicantesprimos.En el cubrimiento mas grande predominaEn el cubrimiento mas pequeño no predomina , pero contiene a x c y c z:entonces los implicantes primos son:z c y x c y c z:,sin embargo como z c contiene a x c y c z c ;no es necesario incluir enlos implicantes primos a x c y c z:; pues será su…ciente con x c y c ; : en conclusiónf(x; y; z) se simpli…ca en:z cf(x; y; z) = z c + x c y cCaso de cuatro variablesSe utiliza una tabla en donde dos variables se acomodan como productosde ellas y sus complementos en la primera columna, las otras dos variables ysus complementos se acomodan como productos de ellas en la primera …laFavián Arenas. 93 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticazw z c w zw c z c w cxyx c yxy cx c y cEjemplo 26. sea f(x; y; z; w) = xyzw + xyzw c + xyz c w + x c yzw c +x c yz c w+x c yz c w c +xy c zw c +x c y c zw+x c y c zw c +x c y c z c wprimero se marcan con unos las reguiones de la funciónahora se agrupan los unos con tal que tengan 2 n unosentonces los implicantes primos son:a) xyzb) zw cFavián Arenas. 94 Camargo Benítez.

4.5 Método de Karnaugh para la Simpli…cación de circuitos Lógica Matemáticac) yz c wd) x c y c ze) x c yz cf) x c y c zwPor lo tanto f(x; y; z; w) se simpli…ca en:f(x; y; z; w) = xyz + zw c + yz c w + x c y c z + x c yz c + x c y c zwFavián Arenas. 95 Camargo Benítez.

4.6 Actividades Lógica Matemática4.6. ActividadesEjercicio 4.. Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizandomapas de Karnaughab0(a + b0)c0 + ba + b + (a0 + b + c)0bc + da + c + (dc(ab + dc))Ejercicio 5. Mostrar con un ejemplo que el mínimo en dos niveles no esúnico Sugerencia: utilizar mapas de Karnaugh.Ejercicio 6. Un misionero está perdido en alguna esquina de Punta Carretas.Enfrente de él tiene dos calles que nacen de la esquina de la cual seencuentra. En este lugar también hay dos pescadores uno de los cuales siempredice la verdad y el otro siempre miente. El misionero quiere saber comollegar al tren fantasma que se encuentra en el Parque Rodó. ¿Qué preguntadebe realizar para llegar correctamente a destino? .Ejercicio 7. Probar que los dos circuitos siguientes realizan la misma funciónlógica:Ejercicio 8.siguientes expresiones:. Obtenga una forma minimal en suma de productos las(a)(b)(c)(d)f(a; b; c) = (ab + ac)(ab)f(x; y; v; w) = xy(v + w)[(x + y)v]f(x; y; z) = x + yzf(a; b; c) = (a + b + c)(d + a) + bc + acFavián Arenas. 96 Camargo Benítez.

4.6 Actividades Lógica MatemáticaEjercicio 9. Obtenga la tabla de verdad de las siguientes expresiones:1. (a) f(x; y; z; w) = wyz + xy + wy(b) f(x; y; z; w) = (w + x + y)(x + z)(w + x)(c)Las funciones del problema anterior.Ejercicio 10. Construya un circuito de compuertas lógicas que esté representadopor la función:1. (a) f(x; y; z) = x + y c + z(b)(c)f(x; y) = [(x + y) c (x + y)] cf(x; y; z; w) = (xy + yzw c ) c + x c zw cEjercicio 11. Simpli…que los circuitos anteriores aplicando el método deKarnaughEjercicio 12. A partir de las tablas de verdad de las siguientes funciones,obtenga las expresiones algebraicas de dichas funciones y los circuitos lógicosque las realizan:1.Favián Arenas. 97 Camargo Benítez.

4.6 Actividades Lógica Matemáticax y f(x; y)1.1 1 11 0 00 1 10 0 0x y f(x; y)1 1 01 0 00 1 00 0 1x y f(x; y)1 1 01 0 10 1 10 0 0Ejercicio 13. Construya un circuito de compuertas lógicas para cada una delas tablas anteriores.Favián Arenas. 98 Camargo Benítez.

4.6 Actividades Lógica MatemáticaEjercicio 14. Dibuja el diagrama de un circuito para una función OR dedos entradas utilizando solamente1. (a) compuertas NAND(b) compuertas NOR.Ejercicio 15. Convertir el siguiente circuito en uno que solo utilice compuertasNAND1.Ejercicio 16. Convertir el circuito anterior a uno que solo contenga compuertasNAND de dos entradasEjercicio 17. Encuentre los implicantes primos de este mapa de KarnaughFavián Arenas. 99 Camargo Benítez.

4.7 Objetivos Lógica MatemáticaGuía de trabajo 14.7. ObjetivosEl alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguienteselementos básicos para la solución de un problema:Resolver proposiciones compuestas utilizando los conectivos lógicos.Hallar el valor de verdad de una proposición a través de la conjunción,disyunción, condicional, bicondicional y negación a través de proposicionessimples.Construir la tabla de verdad de una proposición compuesta, y decidirsi es una ley.Favián Arenas. 100 Camargo Benítez.

4.8 Recursos de aprendizaje Lógica Matemática4.8. Recursos de aprendizajeAula de clases,Auditorios.VideobeamRetroproyector.ForoChatCorreo electrónicoProposicionesLa lógica es toda una disciplina en la que las re‡exiones y el razonamientoson fundamentales. Es estudiada también por la …losofía, pero, aquí nosreferiremos por lógica a la Lógica matemática. El elemento básico sobre elque se desarrolla toda esta teoría se llama proposición.De todo lo anterior una proposición es una a…rmación con sentido completode la cual se puede a…rmar que es cierta o que es falsa.Ejemplo:1. “La sal es un compuesto químico”2. 10 < 143. “13 es un número impar”4. “El sol sale de noche”Favián Arenas. 101 Camargo Benítez.

4.9 Actividades Lógica Matemática5. 45 + 5 = 306. “¿De que color es la pared?”Las a…rmaciones 1, 2, 3, 4 y 5. son proposiciones aunque no todas son verdaderassiguen siendo proposiciones.A esta propiedad de las proposiciones de ser verdadera o falsa se le llamavalor de verdad.Las proposiciones se representan con letras minúsculas, usualmente p, q, r,s, t,..Existen casos donde el sujeto del que se habla en la proposición no estáde…nido o no se conoce, por lo que tiene una incógnita.A estos casos les llamamos frases proposicionales. (Suele llamarles proposicionesabiertas)1. x + 12 = 202. “Alguien es un ingeniero famoso”4.9. Actividades¿Cuáles de los enunciados siguientes pueden considerarse como proposicionesEjercicio 18. 1. a) Un triángulo es un polígono de tres ángulos.b) La …losofía es triangularc) 5 2 = 21d) Un cuadrado es una …gura plana de cuatro lados.e) Un cuadrado es un polígono de cuatro ángulos rectosFavián Arenas. 102 Camargo Benítez.

4.9 Actividades Lógica Matemáticaf) Un rectángulo es un polígono de cuatro ángulos rectos.g) Medellín es ciudad de eterna primavera.h) Un rectángulo es una …gura verde.i) x 2 + 3x 4 = 0j) Todas las naranjas son amarillas.k) Algunas manzanas son rojas.2. Para que la proposición abierta x + 5 < 10 tenga valor de verdad falso,x debe reemplazarse por:a) 2b) 3c) 4d) 54.9.1. Proposiciones conjuntivas, p ^ qDos enunciados cualesquiera se pueden combinar con la palabra2"para formarun enunciado compuesto llamado la conjunción de los enunciados originales.Simbólicamente, p ^ q denota la conjunción de los enunciados p y q,que se lee "p y q".El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposicionesque la conforman sean verdaderas,es decir, que solo es verdadera si lasdos proposiciones son verdaderasnota: recordemos que V es simbolizado por (1) y F por (0)La tabla de verdad del enunciado compuesto p ^ q está dada por:Favián Arenas. 103 Camargo Benítez.

4.9 Actividades Lógica Matemáticap q p ^ q1 1 11 0 00 1 00 0 01. p : El dos es un número par (1)2. q : Siete es un número primo (1)3. r : El ocho es un número primo (0)así que :p ^ q : El dos es un número par y siete es un número primo (1)En caso de que una de las dos sea falsa entonces toda la proposición conjuntivalo será.r ^ q : El ocho es un número primo y siete es un número primo (0)4.9.2. Proposiciones disyuntivas, p _ qDos enunciados se combinan con la palabra . o "para formar un enunciado compuestollamado la disyunción de los enunciados originales. Simbólicamente,p _ q denota la disyunción de los enunciados p y q, que se lee "p o q".El valor de esta proposición conjuntiva dependerá de que las dos proposicionesque la conforman sean no sean falsas,es decir, que solo es falsa si lasdos proposiciones son falsas.La tabla de verdad del enunciado compuesto p _ q está dada por:Favián Arenas. 104 Camargo Benítez.

4.9 Actividades Lógica Matemáticap q p _ q1 1 11 0 10 1 10 0 04.9.3. Proposiciones condicionales, p ! qCuando se unen dos proposiciones con el conectivo “entonces”, se forma unaproposición que solo es falsa si las primera es verdadera y la segunda es falsa(solo en este orden).La tabla de verdad de la proposición compuesta p ! q está dada por:p q p ! q1 1 11 0 00 1 10 0 1Ejemplo 27.Sea p : El canguro es marsupial ( 1 )q : America es habitat de todos los marsupiales ( 0 )El canguro es marsupial entonces América es habitat de todos los marsupiales.(0)Favián Arenas. 105 Camargo Benítez.

4.9 Actividades Lógica Matemática4.9.4. Proposiciones bicondicionales, p $ qCuando se unen dos proposiciones con el conectivo “si y solo si” , se formauna proposición que solo es falsa si las dos tienen valores de verdad diferentes.La tabla de verdad del enunciado compuesto p $ q está dada por:p q p $ q1 1 11 0 00 1 00 0 14.9.5. Negación de Proposiciones : pAunque no es un conectivo lógico (como _; ^; Y ,=); ,) genera nuevasproposiciones con solo cambiarle el valor de verdad y se simboliza anteponiendo“”a la letra de la proposición:Ejemplos:p : todo número impar es primo p : no todo número impar es primoq : 9 es menor que 6 q : 9 no es menor que 6La tabla de verdad de la negación de p : p está dada por:p p1 00 1Favián Arenas. 106 Camargo Benítez.

4.10 Actividades Lógica Matemática4.10. Actividades4. “Una …gura de 4 lados se llama cuadrilátero, si tiene 5 lados se llamapentágono, si tiene 6 lados se llama hexágono”En el enunciado anterioridenti…ca todas las proposiciones cerradas.(Represéntalas con las letras p, q, r).5. Con las proposiciones clasi…cadas en el ejercicio anterior. escribe enpalabras las proposiciones compuestas siguientes:a) p ! qb) (p $ q)c) (p ! q ) ! (p ! r)6. Supón que p es verdadera, q es falsa y r es falsa ¿cómo es el valor deverdad de las siguientes proposicionesa) p^ qb) (p ! q)7. Completa las siguientes tablas de verdadp q q p p^ q p Y q (p Y q) _ ( p^ q)a)1 1 11 0 00 1 00 0 1Favián Arenas. 107 Camargo Benítez.

4.10 Actividades Lógica Matemáticap q q p $ q p^ q (p $ q) ! (p^ q)b)1 1 11 0 00 1 00 0 1p q r ((p ! r) ^ (q ! r)) ! r1 1 11 1 0c)1 0 11 0 00 1 10 1 00 0 10 0 08. Construye 3 frases que no sean proposiciones, 3 proposiciones, luegoniega las tres proposiciones.Favián Arenas. 108 Camargo Benítez.

4.11 Objetivos Lógica MatemáticaGuía de trabajo 24.11. ObjetivosEl alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguienteselementos básicos para la solución de un problema:Generalidades sobre que es un conjunto y sus Clases.Generalidades sobre el álgebra de conjuntos y problemas.Razonamiento sobre cardinalidad de conjuntos..4.12. Recursos de aprendizajeAula de clases,Auditorios.VideobeamRetroproyector.ForoChatCorreo electrónicoFavián Arenas. 109 Camargo Benítez.

4.13 Algebra de conjuntos Lógica Matemática4.13. Algebra de conjuntosUnión de Conjuntos Los conjuntos A = fa; b; c; d; eg y B = fa; e; i; o; ugse combinan para formar un nuevo conjunto, donde ningún elemento puedeestar repetido fa; b; c; d; e; i; o; ug, a este conjunto lo llamaremos unión de Ay B.M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesM [ J = f1; 2; 3; 4; 5; 7; 9gSimbólicamente la unión de A y B es:AUB = fx : x 2 A _ x 2 BgIntersección de Conjuntos En esta operación de conjuntos se trata deencontrar los elementos comunes a ambos conjuntos, es decir los repetidos,veamos:M = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesLa intersección la representamos por:M \ J = f1; 3; 5g pues son los que se repiten.Simbólicamente la intercepción de A y B es:A \ B = fx : x 2 A ^ x 2 BgDiferencia de Conjuntos En los conjuntos V = fa; e; i; o; ug y A =fa; e; ogLa diferencia de V A es el conjunto formado por los elementos de Vque no están en A así:V A = fi; ogM = f1; 2; 3; 4; 5g y J = f1; 3; 5; 7; 9g entoncesFavián Arenas. 110 Camargo Benítez.

4.13 Algebra de conjuntos Lógica MatemáticaLa diferencia la representamos por:M J = f2; 4g pues son los que están en M y no en J.También se puede calcular J MJ M = f7; 9g pues son los que están en J y no en M.Simbólicamente es:M J = fx : x 2 M ^ x =2 JgJ M = fx : x 2 J ^ x =2 MgComplemento Para esta operación debemos de…nir primero un conjuntoque nos sirva como base o referencia, lo simbolizarán con la letra U, se llamaráuniversal o referencial.Si U = f0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9g y el conjunto A = f0; 1; 2; 3gLlamaremos complemento de A , al conjunto formado por todos los elementosde U que no están en A, o sea f4; 5; 6; 7; 8; 9g, a este conjunto lodenotaremos con A0Notese que A0 = U AU = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29gSi B = f1; 11; 29g entonces B0 = f3; 5; 7; 13; 17; 19; 23gSi C = f3; 5; 7; 17; 23g entonces C0 = f1; 11; 13; 19; 29gSi D = f1; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29g entonces D0 = Simbólicamente es:A 0 = fx : x 2 U ^ x =2 AgFavián Arenas. 111 Camargo Benítez.

4.14 Actividades Lógica Matemática4.14. Actividades1. Sea A el conjunto de los números naturales divisibles entre 6 menoresque 50, B el conjunto de los números naturales divisibles entre 2 menoresque 50 y C el conjunto de los números naturales divisibles entre 5menores que 50.Encuentre.a AUBb AUCc BUCd A \ Be A \ Cf B \ Cg Ah Ai BBCC2. Representar gra…camente las anteriores operaaciones3. Si A y B son dos conjuntos no vacios.Encuentra las condiciones quedeben cumplir para que se veri…quen las siguientes operaciones:a (AUB) Ab AUB = BFavián Arenas. 112 Camargo Benítez.

4.14 Actividades Lógica Matemáticac A \ B = Bd A (A \ B)e A (A B)4. Completa en el dibujo las cantidades correspondientes a cada secciónde la …gura y con esa información responde las preguntas a, b, c y d36 personas fueron a Europa, visitaron España, Inglaterra o Francia, sinembargo, no todas fueron a los tres lugares, para identi…car la cantidad exactade personas que fueron a cierto país, se especi…ca cada cantidad en el siguientediagrama de Venn.21 personas fueron a FranciaFavián Arenas. 113 Camargo Benítez.

4.14 Actividades Lógica Matemática17 personas fueron a España16 personas fueron a Inglaterra9 personas fueron a Francia y a España8 personas fueron a España y a Inglaterra6 personas fueron a Francia y a Inglaterra1. a) El número de personas que fue a Francia y España pero no aInglaterra es:_______b) El número de personas que fue a España o Inglaterra es:______c) El número de persona que fue a Inglaterra, España y Franciaes:________d) El número de personas que fue a España o Inglaterra pero no aFrancia es:______Favián Arenas. 114 Camargo Benítez.

4.15 Objetivos Lógica MatemáticaGuía de trabajo 34.15. ObjetivosEl alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguienteselementos básicos para la solución de un problema:Generalidades sobre que es un álgebra de Boole y como se prueba.Generalidades sobre las leyes del álgebra de Boole y demostraciones.Generalidades sobre las funciones de Boole con una o mas variables.4.16. Recursos de aprendizajeAula de clases,Auditorios.VideobeamRetroproyector.ForoChatCorreo electrónicoFavián Arenas. 115 Camargo Benítez.

4.17 Clases de operaciones Lógica Matemática4.17. Clases de operacionesHasta el momento hemos hablado de operaciones entre proposiciones yentre conjuntosVale la pena clasi…car en general las operacionesEl primer tipo se llama operación binaria, y no sólo enlaza dos elementos,sino que determina un tercero (el resultado de los otros dos) que pertenece alconjunto que consideramos. Por lo tanto una OPERACIÓN BINARIA es una .operación tal que:si a; b 2 X,entonces también la es a bEjemplo 28. la Suma en el conjunto de los naturales es una operación binariaEjemplo 29. pues si m; n 2 N;entonces m + n 2 N:Ejemplo 30. la Resta en el conjunto de los naturales no es una operaciónbinaria pues existen elementos de N; como por ejemplo 7 y 12 tal que 7 12 =5 =2 N:El segundo tipo de operación se llama operación unitaria, esta en realidadtransforma un número en otro, por lo tanto unaOPERACIÓN UNI-TARIA ' sobre un conjunto B es una .operación tal que:Si a 2 B, entonces '(a) 2 BEjemplo 31. el operador menos ( ) el conjunto de los enteros es una operaciónbinariapues si m 2 Z;entonces m 2 Z:Favián Arenas. 116 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica MatemáticaEjemplo 32. la Radicación en el conjunto de los números reales es unaoperación binaria si y solo si es raíz impar; es decir el operador 2n+1p esuna operación binaria con n 2 Npero el operador 2np no es una operación binaria con n 2 Nnótese que 1 2 R pero 2np 1 =2 R4.18. Álgebra de BooleUn conjunto B, junto con las operaciones binarias ; de…nidas sobre éles un álgebra de Boole,si se veri…can las siguientes Propiedades:Ley conmutativa1. a) 1) 8a; b 2 B; a b 2 B2) 8a; b 2 B; a b 2 BLey distributiva1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)2) 8a; b; c 2 B; a (b c) = (a b) (a c)Elementos neutros1. a) 1) 8a 2 B; 9e 2 B; a e = a (Neutro Aditivo o cero)2) 8a 2 B; 9i 2 B; a i = a (Neutro Multiplicativo ounidad)ComplementaciónFavián Arenas. 117 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica Matemática1. a) 1) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = i (complemento a la unidad)2) 8a 2 B; 9a c 2 B; a a c = e (complemento al cero)mas adelante se probará que a c es el mismo en ambos casos.Ejemplo 33. Sea D 26 = f1; 2; 13; 26g el conjunto de los divisores positivosdel 26; de…namos las operaciones binarias así:Ejemplo 34. a b = MCM(a; b) ( Mínimo Común múltiplo)cero)a b = mcd(a; b)( Máximo Común divisor)observe que para que a b = a; b tiene que ser 1(Neutro Aditivo oyunidad)para que a b = a; b tiene que ser 26(Neutro Multiplicativo opor otra parte:para que ab = 26; tiene que ser b = 26 (complemento de la unidad)ay para que a b = 1; depende de quien sea a así:si a = 1 entonces b = 26si a = 2 entonces b = 13si a = 13 entonces b = 2si a = 26 entonces b = 1Para representar estas operaciones utilizaremos tablas algo parecidas a lasde la escuela.Favián Arenas. 118 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica Matemática 1 2 13 26 1 2 13 261 1 2 13 26 1 1 1 1 12 2 2 26 26 2 1 2 1 213 13 26 13 26 13 1 1 13 1326 26 26 26 13 26 1 2 13 26A continuación se plantearán otras Propiedades de las Algebras de Boole,se realizarán las pruebas de estas propiedades para uno de ellas y la otra larealizará el estudiante con el principio de dualidad.Ley de idempotencia 8a 2 B; a + a = a1. a) 1) 8a 2 B; aa = aLey de acotamiento1. a) 1) 8a 2 B; a + 1 = 12) 8a 2 B; a0 = 0Ley de absorción1. a) 1) 8a; b 2 B; a + ab = a2) 8a; b 2 B; a(a + b) = aLey asociativa1. a) 1) 8a; b; c 2 B; a + (b + c) = (a + b) + c2) 8a; b; c 2 B; a(bc) = (ab)cUnicidad del complementoFavián Arenas. 119 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica Matemática1. a) 1) 8a 2 B; (a + x = 1) ^ (ax = 0) ) x = a cLey de involución1. a) 1) 8a 2 B; (a c ) c = aLey de Morgan1. a) 1) 8a; b 2 B; (a + b) c = a c b c2) 8a; b 2 B; (ab) c = a c + b c4.18.1. Funciones reales y funciones booleanasHasta ahora se ha mostrado en qué operaciones se basa el Algebra deBoole y algunas de suspropiedades.Utilizando expresiones booleanas, vamos a de…nir Funciones booleanas,que son muy parecidas a las funciones matemáticas a las que estamos acostumbradospero con la particularidad de que las variables son booleanas yque los valores devueltos por la función también son booleanos, es decir, unafunción booleana sólo puede tomar los valores ’0’ó ’1’.Como hemos hecho antes, vamos a ver un ejemplo utilizando una funciónmatemática de lasque todos conocemos. Por ejemplo esta:f(x) = 2x + 1Se trata de una función Real que tiene una variable Real (x) es decir eldominio de f es RFavián Arenas. 120 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica Matemáticay1050-5-2.502.55x-5hay una in…nidad de valores en el dominio de f por esto se obtiene unain…nidad de puntos en forma de una recta.También podemos de…nir funciones reales de 2 ó más variables, como porejemplo:f(x; y) = 2x + y 2f(x; y; z) = z 2 sen(x + y)f(x 1 ; x 2 ; x 3 ; :::; x n ) = 3p x 1 + x 2 + x 3 + ::: + x nComo estamos acostumbrados a trabajar con este tipo de funciones, nosresultan claras. Ahoravamos a de…nir funciones booleanas. Para ello hay que tener presente quetrabajaremos convariables booleanas y que por tanto usaremos las operaciones + y delAlgebra de Boole.Favián Arenas. 121 Camargo Benítez.

4.18 Álgebra de Boole Lógica MatemáticaEjemplo 35. sea la siguiente función booleana de una variable:f(x) = x cEl valor devuelto por la función es el complemento del valor de la variable.Como la variable x es booleana, sólo puede tomar los valores ’0’y ’1’.Los que la función F toma son:f(0) = 0 c = 1f(1) = 1 c = 0Ejemplo 36.Ejemplo 37. Sea la siguiente función booleana se dos variables:f(x; y) = x c (x + y)obtenemos:f(0; 0) = 0 c (0 + 0) = 1 0 = 0f(0; 1) = 0 c (0 + 1) = 1 1 = 1f(1; 0) = 1 c (1 + 0) = 0 1 = 0f(1; 1) = 1 c (1 + 1) = 0 0 = 0Antes de calcular los valores que toma la función, se pueden aplicar algunaspropiedades para obtener una función más simpli…cada:del ejemplo anteriorf(x; y) = x c (x + y)= x c x + x c y (ley distributiva)= 0 + x c y (complemento al cero)= x 0 yFavián Arenas. 122 Camargo Benítez.

4.19 Actividades Lógica Matemáticaen el cual también obtenemos:f(0; 0) = 0 0 0 = 1 0 = 0f(0; 1) = 0 0 1 = 1 1 = 1f(1; 0) = 1 0 0 = 0 1 = 0f(1; 1) = 1 0 1 = 0 0 = 04.19. Actividades1. Dígase cuáles de las siguientes son operaciones unitariasa) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los númerosreales.b) la operación "tomar el inverso de"en el conjunto de los númerosenteros.c) encuéntrese otro conjunto sobre el cual "tomar el inverso de"seauna operación unitaria.2. En qué circunstancias son +; ; ; ; operaciones binarias:a) En el sistema de los números reales o subconjuntos de este sistema.b) En el sistema de los números complejos.2. Probar las siguientes equivalencias de expresiones por los métodos de:a. Tablas de verdad.Ejercicio 19. 1.Favián Arenas. 123 Camargo Benítez.

4.19 Actividades Lógica Matemática2. a) Transformaciones algebraicas(propiedades del álgebra de Boole)ab c + a c b + a c b c = a c + b ca c b c + ac + bc c = a c c c + b c c + aba c b c + bd + ab c = d + d c b c(a + b c + ab)(a c + b)ab c = 0(a + b c + ab c )(ab + bc c + a c c) = ab + a c b c c(ab + c + d)(c c + d)(c c + d + e) = abc c + d1.Favián Arenas. 124 Camargo Benítez.

4.20 Objetivos Lógica MatemáticaGuía de trabajo 44.20. ObjetivosEl alumno estará en la capacidad conocer, utilizar y aplicar los siguienteselementos básicos para la solución de un problema:Entradas y salidas de las compuertas lógicas.tablas de verdad a partir de mediciones en compuertas lógicas.Simpli…cación Tabular mediante Mapas de Karnaugh4.21. Recursos de aprendizajeAula de clases,Auditorios.VideobeamRetroproyector.ForoChatCorreo electrónicoFavián Arenas. 125 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaABLA COMPUERTAANDEl esquema de la …gura, da una idea de funcionamiento de la compuertaAND. Examinando de cerca el circuito, notamos que la lámpara encenderásolo si ambos interruptores se cierran o se activan simultáneamente. Si unode los interruptores esta abierto, el circuito se interrumpe y la lámpara no seenciende. Todas las posibles combinaciones para los interruptores A y B semuestran en la tabla de verdad.A B Lampara1 1 11 0 00 1 00 0 0La tabla de esta …gura es la misma que la de la conjunción, es decir dosinterruptores en serie se representan con la compuerta ANDPara representar una compuerta AND se utilizará el símbolo siguienteFavián Arenas. 126 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaEsta compuerta AND es un dispositivo que posee dos entradas A y B yuna salida A B.El álgebra booleana es una forma de lógica simbólica que muestra comooperan las compuertas lógicas. Una expresión booleana es un método demostrar que ocurre en un circuito lógico.A B = Y es la expresión booleana de la compuerta AND se lee . A ANDB igual a la salida Y"El punto () signi…ca la función lógica AND en álgebra booleana, y no laoperación de multiplicar como en el álgebra corriente.LA COMPUERTA OR El grá…co de este circuito ilustra el funcionamientode la compuerta OR, en el cual los interruptores han sido conectadosen paralelo. El encendido de la lámpara se producirá si se cierracualquiera de los dos interruptores o ambos. Todas las posibles combinacionesde los interruptores se muestran en la tabla siguiente.Favián Arenas. 127 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaA B Lampara1 1 11 0 10 1 10 0 0La tabla de esta …gura es la misma que la de la disyunción, es decir dosinterruptores en serie se representan con la compuerta ORPara representar una compuerta OR se utilizará el símbolo siguiente:Esta compuerta OR es un dispositivo que posee dos entradas A y B yuna salida A + B.A + B = Y es la expresión booleana de la compuerta OR se lee . A ORB igual a la salida Y"Favián Arenas. 128 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaEl signo mas (+) signi…ca la función lógica OR en álgebra booleana, y nola operación de sumar como en el álgebra corriente.COMPUERTA INVERSORAEn este circuito cuando se cierra el interruptorA, la bombilla se apaga,(¿Por qué?), al abrir el interruptor la bombillase enciende.La tabla es:A lámpara1 00 1Favián Arenas. 129 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaEs la misma tabla de la negación p; a este esquema se le llama Lacompuerta inversora,esta posee una entrada y una salida como se muestra en la …gura. Su funciónes producir una salida inversa o contraria a su entrada es decir convertirunos a ceros y ceros a unos.LA PUERTA NANDUna compuerta NAND es un dispositivo lógico queopera en forma exactamente contraria a, una compuerta, AND, entregandouna salida baja cuando todas sus entradas son altas y una salida alta mientrasexista por lo menos un bajo a cualquiera de ellas:En forma proposicional (p ^ q).En forma de expresión booleana (AB) 0 .Favián Arenas. 130 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaObservar que el símbolo NAND es símbolo AND con un pequeño círculoa la salida.LA PUERTA NOR Se ha conectado un inversor a la salida de una puertaOR, obsérvese que se ha añadido un pequeño circulo inversor al símbolo ORpara formar el símbolo NOR.Debido a que los interruptores A y B están en paralelo entre si y conla lámpara (Y) esta ultima solo enciende cuando ambos interruptores estánabiertos y permanece apagada mientras cualquiera de ellos , o ambos esténcerrados.Símbolo lógico de una compuerta NOR es:Favián Arenas. 131 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica MatemáticaPodemos decir que este dispositivo lógico opera en forma exactamenteopuesta a una compuerta OR , entregando una salida alta cuando todas susentradas son bajas y una salida baja cuando existe por lo menos un alto encualquiera de ellas.En forma proposicional (p _ q).En forma de expresión booleana (A + B) c .Ejemplo 38. construya un circuito con compuertas lógicas que exprese lasiguiente función booleana de dos variables:Ejemplo 39. f(x; y) = x 0 + xy + xy 0se comienza con cada sumandox 0 xyxy 0La suma de todos ellas es una compuerta OR de tres entradas:El lector puede probar que la tabla de verdad de esta función booleana esuna tautología:Favián Arenas. 132 Camargo Benítez.

4.21 Recursos de aprendizaje Lógica Matemáticadebido a que xyz = (xy)z = x(yz) y que x+y +z = (x+y)+z =x + (y + z)una compuerta OR de tres entradas puede reemplazarse por dos compuertasOR de dos entradasasí:es equivalente a:(X+Y)+ZDe manera semejante ocurre para la compuerta AND.Favián Arenas. 133 Camargo Benítez.

4.22 Actividades Lógica MatemáticaEjemplo 40. Encontrar una representación booleana del siguiente circuitode compuertas lógicas.solución: en cada parte del circuito hay un mensaje:en conclusión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] cEs posible que la expresión F (x; y; z) = [xyz + (yz c + y c z)] c se puedasimpli…car más.4.22. Actividades1. Probar que los dos circuitos siguientes realizan la misma función lógica:Ejercicio 20. 1.Favián Arenas. 134 Camargo Benítez.

4.22 Actividades Lógica Matemática2. Simpli…car las siguientes expresiones booleanas utilizando mapas deKarnaughab0(a + b0)c0 + ba + b + (a0 + b + c)0bc + da + c + (dc(ab + dc))3. Construya un circuito de compuertas lógicas que esté representado porla función:Ejercicio 21. 1.2. (a) f(x; y; z) = x + y c + z(b)(c)f(x; y) = [(x + y) c (x + y)] cf(x; y; z; w) = (xy + yzw c ) c + x c zw c4. Simpli…que los circuitos anteriores aplicando el método de Karnaugh5. Convertir el siguiente circuito en uno que solo utilice compuertas NAND6. Encuentre los implicantes primos de este mapa de KarnaughFavián Arenas. 135 Camargo Benítez.

4.22 Actividades Lógica MatemáticaFavián Arenas. 136 Camargo Benítez.