Funciones polinomiales y racionales - Departamento de Matemáticas

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesÁlgebra y TrigonometríaClase 3 – Funciones polinomiales y racionalesCNM-108Departamento de MatemáticasFacultad de Ciencias Exactas y NaturalesUniversidad de AntioquiaCopyleft2009. Reproducción permitida bajo lostérminos de la licencia de documentación libre GNU.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionales1 Funciones polinomialesFunciones polinomiales de grado mayor que 2Teorema del valor intermedio2 Propiedades de la divisiónAlgoritmo de la divisiónTeoremas del residuo y del factorDivisión sintética3 Ceros de polinomiosTeorema fundamental del álgebraNúmero de ceros de un polinomio4 Funciones racionalesTerminologíaAsíntotas

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2DefiniciónSe dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n sif(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 con a n ≠ 0.Ejemplos:1 f(x) = a 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el gradode f es 0.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2DefiniciónSe dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n sif(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 con a n ≠ 0.Ejemplos:1 f(x) = a 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el gradode f es 0.2 f(x) = a 1x + a 0 corresponde a la recta con pendiente a 1 y el gradode f es 1.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2DefiniciónSe dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n sif(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 con a n ≠ 0.Ejemplos:1 f(x) = a 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el gradode f es 0.2 f(x) = a 1x + a 0 corresponde a la recta con pendiente a 1 y el gradode f es 1.3 f(x) = a 1x 2 + a 1x + a 0 es una parábola con eje vertical, el gradode f es 2.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2DefiniciónSe dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n sif(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 con a n ≠ 0.Ejemplos:1 f(x) = a 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el gradode f es 0.2 f(x) = a 1x + a 0 corresponde a la recta con pendiente a 1 y el gradode f es 1.3 f(x) = a 1x 2 + a 1x + a 0 es una parábola con eje vertical, el gradode f es 2.Observación:Todas las funciones polinomiales son funciones continuas(no tienen cortes ni interrupciones).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones polinomiales de grado mayor que 2DefiniciónSe dice que f es una función polinomial con coeficientes reales de grado n sif(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 con a n ≠ 0.Ejemplos:1 f(x) = a 0 se conoce como la recta horizontal, observe que el gradode f es 0.2 f(x) = a 1x + a 0 corresponde a la recta con pendiente a 1 y el gradode f es 1.3 f(x) = a 1x 2 + a 1x + a 0 es una parábola con eje vertical, el gradode f es 2.Observación:Todas las funciones polinomiales son funciones continuas(no tienen cortes ni interrupciones).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalespar:Caso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo impar: Si n es un entero positivof 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3y4321x−3 −2 −1−1−2−3−41 2 3f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalespar:Caso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo impar: Si n es un entero positivof 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3y4 f 1321x−3 −2 −1−1−2−3−41 2 3f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalespar:Caso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo impar: Si n es un entero positivof 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3yf 2 4 f 1321x−3 −2 −1−1−2−3−41 2 3f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalespar:Caso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo impar: Si n es un entero positivof 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3y f 3f 2 4 f 1321x−3 −2 −1−1−2−3−41 2 3f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalespar:f 3Caso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo impar: Si n es un entero positivof 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 yf 2 4 f 1321x−3 −2 −1−1−2−3−41 2 3f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCaso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo par:f 3Si n es un entero positivo impar:f 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 yf 2 4 f 1y32431x2−3 −2 −1 1 2 3−11−2−3−3 −2 −1 1 2 3−4−1f 1(x) = x 2 , f 2(x) = x 4f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3f 3(x) = x 8 , f 4(x) = x 16x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCaso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo par:f 3Si n es un entero positivo impar:f 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 yf 2 4 f 1y342f 131x2−3 −2 −1 1 2 3−11−2−3−3 −2 −1 1 2 3−4−1f 1(x) = x 2 , f 2(x) = x 4f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3f 3(x) = x 8 , f 4(x) = x 16x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCaso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo par:Si n es un entero positivo impar:f 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 y f 3f 2f 2 4 fy1342f 131x2−3 −2 −1 1 2 3−11−2−3−3 −2 −1 1 2 3−4−1f 1(x) = x 2 , f 2(x) = x 4f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3f 3(x) = x 8 , f 4(x) = x 16x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCaso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo par:Si n es un entero positivo impar:f 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 y f 3f 2f 2 4 fy1f 3342f 131x2−3 −2 −1 1 2 3−11−2−3−3 −2 −1 1 2 3−4−1f 1(x) = x 2 , f 2(x) = x 4f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3f 3(x) = x 8 , f 4(x) = x 16x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCaso particular: f(x) = ax n para alguna a = a n ≠ 0.Si n es un entero positivo par:Si n es un entero positivo impar:f 3(x) = 2x 3 , f 4(x) = −2x 3f 4 y f 3f 2f 2 4 fy1f 4f 3342f 131x2−3 −2 −1 1 2 3−11−2−3−3 −2 −1 1 2 3−4−1f 1(x) = x 2 , f 2(x) = x 4f 1(x) = 1 2 x3 , f 2(x) = − 1 2 x3f 3(x) = x 8 , f 4(x) = x 16x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeorema del valor intermedioTeorema (TVI)Si f es una función polinomial y f(a) ≠ f(b) para a < b, entonces f tomatodo valor entre f(a) y f(b) en el intervalo [a, b].yf(b)ky = kf(a)a c b xObservación:Si k es cualquier número entre f(a) y f(b), por lo menos hay unnúmero c entre a y b tal que f(c) = k.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemplo de aplicaciónEjemplo:Sea f(x) = x 3 − x 2 − 12x, encontrar los valores de x donde f(x) > 0 yf(x) < 0, además trazar la gráfica de f.Solución:Factoricemos a f(x) comof(x) = x 3 − x 2 − 12x= x(x 2 − x − 12)= x(x + 3)(x − 4),

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemplo de aplicaciónEjemplo:Sea f(x) = x 3 − x 2 − 12x, encontrar los valores de x donde f(x) > 0 yf(x) < 0, además trazar la gráfica de f.Solución:Factoricemos a f(x) comof(x) = x 3 − x 2 − 12x= x(x 2 − x − 12)= x(x + 3)(x − 4),❵❵❵❵❵❵❵❵f(x)intervalo (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)x − − + +(x + 3) − + + +(x − 4) − − − +Signo f(x) − + − +

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemplo de aplicaciónEjemplo:Sea f(x) = x 3 − x 2 − 12x, encontrar los valores de x donde f(x) > 0 yf(x) < 0, además trazar la gráfica de f.Solución:Factoricemos a f(x) comof(x) = x 3 − x 2 − 12x= x(x 2 − x − 12)= x(x + 3)(x − 4),❵❵❵❵❵❵❵❵f(x)intervalo (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)x − − + +(x + 3) − + + +(x − 4) − − − +Signo f(x) − + − +

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemplo de aplicaciónEjemplo:Sea f(x) = x 3 − x 2 − 12x, encontrar los valores de x donde f(x) > 0 yf(x) < 0, además trazar la gráfica de f.Solución:Factoricemos a f(x) comof(x) = x 3 − x 2 − 12x= x(x 2 − x − 12)= x(x + 3)(x − 4),y = x 3 − x 2 − 12xy❵❵❵❵❵❵❵❵f(x)intervalo (-∞,-3) (-3,0) (0,4) (4,∞)x − − + +(x + 3) − + + +(x − 4) − − − +Signo f(x) − + − +−3 0 4x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosSean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), sif(x) es divisible por g(x):1 x 4 − 81 es divisible entre x 2 + 9, entre x 2 − 9, entre x+3 y entre x − 3.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosSean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), sif(x) es divisible por g(x):1 x 4 − 81 es divisible entre x 2 + 9, entre x 2 − 9, entre x+3 y entre x − 3.2 x 6 + 27 es divisible entre x 2 + 3 y entre x 4 − 3x 2 + 9.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosSean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), sif(x) es divisible por g(x):1 x 4 − 81 es divisible entre x 2 + 9, entre x 2 − 9, entre x+3 y entre x − 3.2 x 6 + 27 es divisible entre x 2 + 3 y entre x 4 − 3x 2 + 9.3 7x 2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1TeoremaSi f(x) y p(x) son polinomios y si p(x) ≠ 0, entonces existen polinomiosúnicos q(x) y r(x) tales quef(x) = p(x)q(x) + r(x)donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). Elpolinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conocecomo el residuo en la división de f(x) entre p(x).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosSean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), sif(x) es divisible por g(x):1 x 4 − 81 es divisible entre x 2 + 9, entre x 2 − 9, entre x+3 y entre x − 3.2 x 6 + 27 es divisible entre x 2 + 3 y entre x 4 − 3x 2 + 9.3 7x 2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1TeoremaSi f(x) y p(x) son polinomios y si p(x) ≠ 0, entonces existen polinomiosúnicos q(x) y r(x) tales quef(x) = p(x)q(x) + r(x)donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). Elpolinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conocecomo el residuo en la división de f(x) entre p(x).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosSean f(x) y g(x) polinomios en x. Decimos que g(x) es un factor de f(x), sif(x) es divisible por g(x):1 x 4 − 81 es divisible entre x 2 + 9, entre x 2 − 9, entre x+3 y entre x − 3.2 x 6 + 27 es divisible entre x 2 + 3 y entre x 4 − 3x 2 + 9.3 7x 2 + 3x − 10 es divisible entre 7x + 10 y entre x − 1TeoremaSi f(x) y p(x) son polinomios y si p(x) ≠ 0, entonces existen polinomiosúnicos q(x) y r(x) tales quef(x) = p(x)q(x) + r(x)donde r(x) = 0 o el grado de r(x) es menor que el grado de p(x). Elpolinomio q(x) se conoce como el cociente y el polinomio r(x) se conocecomo el residuo en la división de f(x) entre p(x).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 4

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 4

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 = (3x 2 + 2x − 4)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 = (3x 2 + 2x − 4)(x 2 + 1)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 = (3x 2 + 2x − 4)(x 2 + 1)−3x − 2o también3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6x 2 + 1=

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 = (3x 2 + 2x − 4)(x 2 + 1)−3x − 2o también3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6x 2 + 1= (3x 2 + 2x − 4) − 3x + 2x 2 + 1 .

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Divida 3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 entre x 2 + 1.Solución:3x 4 +2x 3 −2x 2 −x −6 x 2 + 1−3x 4 −3x 2 3x 2 + 2x − 40 2x 3 −4x 2 −x −6−2x 3−2x0 −4x 2 −3x −64x 2 40 −3x −2Por tanto, tenemos que3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6 = (3x 2 + 2x − 4)(x 2 + 1)−3x − 2o también3x 4 + 2x 3 − x 2 − x − 6x 2 + 1= (3x 2 + 2x − 4) − 3x + 2x 2 + 1 .

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!Teorema (Teorema del factor)Un polinomio f(x) tiene un factor x − c si y sólo si f(c) = 0.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!Teorema (Teorema del factor)Un polinomio f(x) tiene un factor x − c si y sólo si f(c) = 0.Ejemplo:Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor def(x) = x 3 − 8x 2 + 19x − 20.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!Teorema (Teorema del factor)Un polinomio f(x) tiene un factor x − c si y sólo si f(c) = 0.Ejemplo:Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor def(x) = x 3 − 8x 2 + 19x − 20.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!Teorema (Teorema del factor)Un polinomio f(x) tiene un factor x − c si y sólo si f(c) = 0.Ejemplo:Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor def(x) = x 3 − 8x 2 + 19x − 20.Solución: f(5) = 5 3 − 8(5) 2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeoremas del residuo y del factorTeorema (Teorema del residuo)Si un polinomio f(x) se divide entre x − c, entonces el residuo es f(c).Ejemplo:Calcular el residuo que se obtiene al dividir el polinomiof(x) = x 4 + 5x 3 + 5x 2 − 4x − 7 entre x + 3.Solución:f(−3) = (−3) 4 +5(−3) 3 +5(−3) 2 −4(−3) −7 = 81 −135+45+12 −7 = −4.Se puede comprobar fácilmente el resultado efectuando la división ejercicio!Teorema (Teorema del factor)Un polinomio f(x) tiene un factor x − c si y sólo si f(c) = 0.Ejemplo:Por medio del teorema del factor, demostrar que x − 5 es un factor def(x) = x 3 − 8x 2 + 19x − 20.Solución: f(5) = 5 3 − 8(5) 2 + 19(5) − 20 = 125 − 200 + 95 − 20 = 0.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) +

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8Ejemplo: Sea p(x) = x 4 − 3x 2 + 2x − 1. Utilice división sintética parahallar f(2).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8Ejemplo: Sea p(x) = x 4 − 3x 2 + 2x − 1. Utilice división sintética parahallar f(2).Solución:

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8Ejemplo: Sea p(x) = x 4 − 3x 2 + 2x − 1. Utilice división sintética parahallar f(2).Solución:1 0 −3 2 −1 2↓ 2 4 2 81 2 1 4 7

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8Ejemplo: Sea p(x) = x 4 − 3x 2 + 2x − 1. Utilice división sintética parahallar f(2).Solución:1 0 −3 2 −1 2↓ 2 4 2 81 2 1 4 7Teorema del residuo =⇒ f(2) = 7

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAlgoritmo de la división para polinomiosEjemplo: Halle el residuo de dividir 2x 3 + 3x 2 − 4x − 12 entre x − 2.Solución:2 3 −4 −12 2↓ 4 14 202 7 10 8x 3 + 3x 2 − 4x − 12 = (2x 2 + 7x + 10)(x − 2) + 8Ejemplo: Sea p(x) = x 4 − 3x 2 + 2x − 1. Utilice división sintética parahallar f(2).Solución:1 0 −3 2 −1 2↓ 2 4 2 81 2 1 4 7Teorema del residuo =⇒ f(2) = 7

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeorema fundamental del álgebraTeorema (Teorema fundamental del álgebra)Todo polinomio f(x) de grado positivo con coeficientes complejos posee almenos un cero complejo.Polinomio f(x) Forma factorizada Ceros de f(x)5x 3 − 30x 2 + 65x 5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i)) 0, 3 ± 2i−6x 3 − 2x 2 − 6x − 2„−6 x + 1 «(x + i)(x − i) − 1 33 , ±i

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeorema fundamental del álgebraTeorema (Teorema fundamental del álgebra)Todo polinomio f(x) de grado positivo con coeficientes complejos posee almenos un cero complejo.Polinomio f(x) Forma factorizada Ceros de f(x)5x 3 − 30x 2 + 65x 5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i)) 0, 3 ± 2i−6x 3 − 2x 2 − 6x − 2„−6 x + 1 «(x + i)(x − i) − 1 33 , ±iTeorema (Teorema de factorización completa para polinomios)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n númeroscomplejos z 1, z 2, . . . , z n tales que f(x) = a(x − z 1)(x − z 2) . . . (x − z n),donde a es el coeficiente principal de f(x). Notemos que cada número z k esun cero de f(x).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesTeorema fundamental del álgebraTeorema (Teorema fundamental del álgebra)Todo polinomio f(x) de grado positivo con coeficientes complejos posee almenos un cero complejo.Polinomio f(x) Forma factorizada Ceros de f(x)5x 3 − 30x 2 + 65x 5x(x − (3 + 2i))(x − (3 − 2i)) 0, 3 ± 2i−6x 3 − 2x 2 − 6x − 2„−6 x + 1 «(x + i)(x − i) − 1 33 , ±iTeorema (Teorema de factorización completa para polinomios)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0, entonces existen n númeroscomplejos z 1, z 2, . . . , z n tales que f(x) = a(x − z 1)(x − z 2) . . . (x − z n),donde a es el coeficiente principal de f(x). Notemos que cada número z k esun cero de f(x).

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.Ejemplo:f(x) = x 5 − x 4 − 2x 3 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.Ejemplo:f(x) = x 5 − x 4 − 2x 3 = x 3 (x 2 − x − 2)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.Ejemplo:f(x) = x 5 − x 4 − 2x 3 = x 3 (x 2 − x − 2) =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.Ejemplo:f(x) = x 5 − x 4 − 2x 3 = x 3 (x 2 − x − 2) = x 3 (x + 1)(x − 2)Ceros: 0, 0, 0, −1,2.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesNúmero de ceros de un polinomioDefiniciónSi un factor, digamos x − c, se presenta m veces en la factorización delpolinomio f(x), entonces decimos que c es un cero de multiplicidad m de laecuación f(x) = 0.Ejemplo:f(x) = x 6 − 14 x 5 + 73 x 4 − 172 x 3 + 176 x 2 − 64 x = x(x − 1) 2 (x − 4) 3Ceros: 0 es cero de multiplicidad 1, 1 es un cero de multiplicidad 2 y 4 es uncero de multiplicidad 3.Teorema (Número exacto de ceros de un polinomio)Si f(x) es un polinomio de grado n > 0 y si un cero de multiplicidad m secuenta m veces, entonces f(x) tiene precisamente n ceros.Ejemplo:f(x) = x 5 − x 4 − 2x 3 = x 3 (x 2 − x − 2) = x 3 (x + 1)(x − 2)Ceros: 0, 0, 0, −1,2.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =“ “x − 1 + √ ”” “ “2 x − 1 − √ ””2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =“ “x − 1 + √ ”” “ “2 x − 1 − √ ””2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =“ “x − 1 + √ ”” “ “2 x − 1 − √ ””2Teorema (Suma y producto de ceros)La suma y el producto de los ceros del polinomiop(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0 , a n ≠ 0vienen dados en términos de sus coeficientes por medio deSuma de ceros = − an−1a ny Producto de ceros = (−1) n a 0a n

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros irracionales conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son enteros y si c 1 = s + t √ u es un cero irracional de p(x) (u no escuadrado perfecto), entonces c 2 = s − t √ u también es un cero de p(x).Ejemplo:x 2 − 2 x − 1 =“ “x − 1 + √ ”” “ “2 x − 1 − √ ””2Teorema (Suma y producto de ceros)La suma y el producto de los ceros del polinomiop(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0 , a n ≠ 0vienen dados en términos de sus coeficientes por medio deSuma de ceros = − an−1a ny Producto de ceros = (−1) n a 0a n

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.Solución:Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4i

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.Solución:Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4iFactores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.Solución:Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4iFactores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),f(x) = [x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.Solución:Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4iFactores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),f(x) = [x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]= [x 2 + 6x + 13][x 2 − 2x + 16]= x 4 + 4x 3 + 17x 2 + 70x + 208

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros conjugadosTeorema (Ceros complejos conjugados)Si los coeficientes dep(x) = a nx n + a n−1x n−1 + · · · a 1x + a 0son reales y si z = a + bi es un cero cero complejo de p(x), entonces¯z = a − bi también es un cero de p(x).Ejemplo: encuentre un polinomio de grado cuatro que tenga coeficientesreales y ceros −3 + 2i, 1 − 4i.Solución:Ceros: −3 + 2i, −3 − 2i, 1 − 4i y 1 + 4iFactores: x − (−3 + 2i), x − (−3 − 2i), x − (1 − 4i) y x − (1 + 4i),f(x) = [x − (−3 + 2i)][x − (−3 − 2i)][x − (1 − 4i)][x − (1 + 4i)]= [x 2 + 6x + 13][x 2 − 2x + 16]= x 4 + 4x 3 + 17x 2 + 70x + 208

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiono tiene ceros racionales.f (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 =

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 ,

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1f(−1) = 3 ,

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1f(−1) = 3 , f(1) = 1 ,

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1f(−1) = 3 , f(1) = 1 , f(−2) = 4 ,

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1f(−1) = 3 , f(1) = 1 , f(−2) = 4 , f(2) = 24

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesTeoremaSi el polinomio f(x) = a nx n + a n−1x n−1 + . . . + a 1x + a 0 tiene coeficientesenteros y c/d es un cero racional de f(x) tal que c y d no posean un factorprimo común, entoncesel numerador c del cero es un factor del término constante a 0.el denominador d del cero es un factor del término constante a n.Ejemplo: Muestre que el polinomiof (x) = x 5 − 3 x 3 + 4 x 2 + x − 2no tiene ceros racionales.Solución:Posibles ceros racionales =factores de 2factores de 1 = ±1±1 , ±2±1f(−1) = 3 , f(1) = 1 , f(−2) = 4 , f(2) = 24

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±24

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 01 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)1 2 −9 −4 −4↓ −4 8 41 −2 −1 0

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)1 2 −9 −4 −4↓ −4 8 41 −2 −1 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x 2 −2x−1)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)1 2 −9 −4 −4↓ −4 8 41 −2 −1 0x 2 − 2x − 1 = 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x 2 −2x−1)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)1 2 −9 −4 −4↓ −4 8 41 −2 −1 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x 2 −2x−1)x 2 − 2x − 1 = 0x = −(−2) ± √ 82= 2 ± 2√ 22= 1± √ 2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesCeros racionalesEjemplo: Halle todas las soluciones racionales de la ecuaciónf(x) = x 6 + 3x 5 − 13x 4 − 25x 3 + 50x 2 + 24x = 0Solución:f(x) = x(x 5 + 3x 4 − 13x 3 − 25x 2 + 50x + 24)Posibles ceros racionales : ±1 , ±2 , ±3 , ±4 , ±6 , ±8 , ±12 , ±241 3 −13 −25 50 24 2↓ 2 10 −6 −62 −241 5 −3 −31 −12 0f(x) = x(x−2)(x 4 +5x 3 −3x 2 −31x−12)1 5 −3 −31 −12 −3↓ −3 −6 27 121 2 −9 −4 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x 3 +2x 2 −9x−4)1 2 −9 −4 −4↓ −4 8 41 −2 −1 0f(x) = x(x−2)(x+3)(x+3)(x 2 −2x−1)x 2 − 2x − 1 = 0x = −(−2) ± √ 82= 2 ± 2√ 22= 1± √ 2

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones racionalesUna función f es una función racional si f(x) = g(x) , donde g(x) y h(x)h(x)son polinomios, con h(x) ≠ 0 para todo x ∈Dom f.Ejemplos:1 f(x) = 8 , Dom (f) = {R −{x = 3}}.x − 3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones racionalesUna función f es una función racional si f(x) = g(x) , donde g(x) y h(x)h(x)son polinomios, con h(x) ≠ 0 para todo x ∈Dom f.Ejemplos:1 f(x) = 8 ,x − 3Dom (f) = {R −{x = 3}}.2 f(x) = x + 1 ,9x 2 − 4Dom (f) = {R −{x = ±2/3}}.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones racionalesUna función f es una función racional si f(x) = g(x) , donde g(x) y h(x)h(x)son polinomios, con h(x) ≠ 0 para todo x ∈Dom f.Ejemplos:1 f(x) = 8 ,x − 3Dom (f) = {R −{x = 3}}.2 f(x) = x + 1 ,9x 2 − 4Dom (f) = {R −{x = ±2/3}}.Notaciónx −→ c −x −→ c +f(x) −→ ∞f(x) −→ ∞Terminologíax se aproxima a c por laizquierdax se aproxima a c por laderecha.f(x) aumenta sin cotaf(x) disminuye sin cota

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesFunciones racionalesUna función f es una función racional si f(x) = g(x) , donde g(x) y h(x)h(x)son polinomios, con h(x) ≠ 0 para todo x ∈Dom f.Ejemplos:1 f(x) = 8 ,x − 3Dom (f) = {R −{x = 3}}.2 f(x) = x + 1 ,9x 2 − 4Dom (f) = {R −{x = ±2/3}}.Notaciónx −→ c −x −→ c +f(x) −→ ∞f(x) −→ ∞Terminologíax se aproxima a c por laizquierdax se aproxima a c por laderecha.f(x) aumenta sin cotaf(x) disminuye sin cota

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas verticalesDefiniciónLa recta x = c es una asíntota vertical para la gráfica de la función f sij ∞ si x −→ c + o x −→ c − , óf(x) −→−∞ si x −→ c + o x −→ c −Gráficamente, tenemos lo siguiente:

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas verticalesDefiniciónLa recta x = c es una asíntota vertical para la gráfica de la función f sij∞ si x −→ c + o x −→ c − , óf(x) −→−∞ si x −→ c + o x −→ c −Gráficamente, tenemos lo siguiente:yx = cyx = cy = f(x)y = f(x)cxcx

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas verticalesDefiniciónLa recta x = c es una asíntota vertical para la gráfica de la función f sij∞ si x −→ c + o x −→ c − , óf(x) −→−∞ si x −→ c + o x −→ c −Gráficamente, tenemos lo siguiente:yx = cyx = ccxcxy = f(x)y = f(x)

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas horizontalesDefiniciónLa recta y = c es una asíntota horizontal para la gráfica de la función f sif(x) −→ c cuando x −→ ∞ o x −→ −∞Gráficamente, tenemos lo siguiente:

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas horizontalesDefiniciónLa recta y = c es una asíntota horizontal para la gráfica de la función f sif(x) −→ c cuando x −→ ∞ o x −→ −∞Gráficamente, tenemos lo siguiente:yyy = cy = f(x)y = cy = f(x)xx

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesAsíntotas horizontalesDefiniciónLa recta y = c es una asíntota horizontal para la gráfica de la función f sif(x) −→ c cuando x −→ ∞ o x −→ −∞Gráficamente, tenemos lo siguiente:yyy = f(x)y = cy = cy = f(x)xx

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemploy8x 2 − x − 6 . 7654321−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5Trazar la gráfica def(x) = x − 1−1−2−3−4−5−6−7−8x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemployTrazar la gráfica def(x) = x − 1x 2 − x − 6 .Solución:Asíntotas verticales:x 2 − x − 6 = 0(x − 3)(x + 2) = 0Así, x = 3 y x = −2 son lasasíntotas.−6−5−4−3−287654321−1 −1−2−3−4−5−6−7−81 2 3 4 5x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemployTrazar la gráfica def(x) = x − 1x 2 − x − 6 .Solución:Asíntotas horizontales:f(x) → 0 cuando x → +∞f(x) → 0 cuando x → −∞Luego, y = 0 (el eje x), esuna asíntota horizontal.−6−5−4−3−287654321−1 −1−2−3−4−5−6−7−81 2 3 4 5x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemployTrazar la gráfica def(x) = x − 1x 2 − x − 6 .Solución:f(x) → −∞ si x → −2 −f(x) → 0 si x → −∞−6−5−4−3−287654321−1 −1−2−3−4−5−6−7−81 2 3 4 5x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemployTrazar la gráfica def(x) = x − 1x 2 − x − 6 .Solución:f(x) → −∞ si x → −2 −f(x) → 0 si x → −∞f(x) → +∞ si x → −2 +f(x) → −∞ si x → 3 − −6 −5 −4 −3 −2 −1 −1 1 2 3 4 5−2−3−4−5−6−7−887654321x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesEjemployTrazar la gráfica def(x) = x − 1x 2 − x − 6 .Solución:f(x) → −∞ si x → −2 −f(x) → 0 si x → −∞f(x) → +∞ si x → −2 +f(x) → −∞ si x → 3 −f(x) → +∞ si x → 3 +f(x) → 0 si x → +∞−6−5−4−3−287654321−1 −1−2−3−4−5−6−7−81 2 3 4 5x

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcularw cuando x = 5, v = 4 y z = 2.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcularw cuando x = 5, v = 4 y z = 2.Solución:w = kxv2 (k es la cte de proporcionalidad),z 3

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcularw cuando x = 5, v = 4 y z = 2.Solución:w = kxv2z 3 (k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,8 = k · 2 · 623 3 , así k = 3.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcularw cuando x = 5, v = 4 y z = 2.Solución:w = kxv2 (k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,z 38 = k · 2 · 62, así k = 3. Por tanto, w = 3xv2 y para x = 5, v = 4 y z = 2,3 3 z 3tenemos w = 5.

Funciones polinomiales Propiedades de la división Ceros de polinomios Funciones racionalesVariacionTerminologíay es directamenteproporcional a xy es inversamenteproporcional a xFórmulageneraly = kxy = k xRecomendaciones para resolver problemasEjemplo: V = R T P , Ecuacióncaracterística de un gas.V es directamente proporcional a Tcuando P permanece constante.V es inversamente proporcional a Pcuando T permanece constante.Escriba la fórmula de variación proporcional con la cte k.Determine la constante de proporcionalidad k usando los datos.Ejemplo:w es directamente proporcional a x y al cuadrado de v y es inversamenteproporcional al cubo de z. Si w = 8 cuando x = 2, v = 6 y z = 3. Calcularw cuando x = 5, v = 4 y z = 2.Solución:w = kxv2 (k es la cte de proporcionalidad), sustituyendo los valores dados,z 38 = k · 2 · 62, así k = 3. Por tanto, w = 3xv2 y para x = 5, v = 4 y z = 2,3 3 z 3tenemos w = 5.