Pruebas de hipótesis

Pruebas de Hipótesis página 6calcula la media X¯ de esa muestra de largos. Ya que la media muestral X¯ es un excelenteestimador de la media poblacional µ del largo de las hojas de los árboles que le interesan y esla única información que posee, debe comparar esa media obtenida de la muestra, X¯ , con lamedia poblacional presumida µ 0 de 10 centímetros. En realidad el biólogo desea rechazar suhipótesis nula a favor de la alternativa, lo cual demostrará su sospecha. Pero esta decisióndependerá exclusivamente de los datos que obtuvo.Si la hipótesis nula H 0 es cierta, la media muestral X¯ tendrá un valor cercano a µ = 10,aunque por la variabilidad natural de la naturaleza, por contar con una muestra y porque losinstrumentos tienen una precisión fija, este valor calculado de sus datos puede ser un pocomayor de 10 o incluso menor de 10. Un valor observado de la media muestral mayor de 10centímetros le dará alguna evidencia, que puede ser no muy contundente, para concluir que lamedia poblacional del largo de las hojas en ese lugar es mayor de 10 cm. En el caso en que lamedia muestral resulte ser menor de 10 cm. nunca podrá descartar la hipótesis nula, ya que laalternativa sólo incluye la posibilidad de que la media del largo de las hojas de la población deárboles en el bosque húmedo sea mayor de 10 cm.Ahora, ¿cuánto mayor de 10 debe ser el valor de la media muestral para concluir que lamedia poblacional del largo de la hojas en ese lugar es mayor de 10 cm.? Si presume que ellargo de las hojas tiene una distribución normal, tal como en el estudio, y si la mediapoblacional µ es realmente 10, ya que la distribución normal es simétrica alrededor de sumedia, la mitad de las veces observará valores de la media de la muestra que son mayores de10. Es decir, aún si la hipótesis nula es cierta, es muy común observar datos con una media X¯mayor de 10. El biólogo sólo rechazará la hipótesis nula en el caso que el valor calculado de X¯sea suficientemente mayor de 10 cm.Equivalentemente, para rechazar la hipótesis nula, X¯ debe ser mayor que un número wque a su vez es suficientemente mayor de 10. Así el biólogo rechazará H 0 si de sus datos,encuentra que X¯ > w > 10. Para encontrar el valor de w, el biólogo deberá seleccionar lasignificancia de la prueba, la probabilidad de error tipo I que es aceptable para su trabajo yutilizar una tabla de la distribución estadística apropiada, en este caso, la distribución normal.El biólogo lleva a cabo el estudio y obtiene un valor de la media muestral X¯ para ellargo de las 100 hojas igual a 10.2 cm. Una diferencia de 2 décimas de 1 centímetro en el largopromedio de las hojas parece ser muy pequeña, lo que posiblemente nos inclinaría inicialmentea no rechazar H 0 . Pero no debemos adelantarnos, pues la comparación tiene que tomar encuenta la variabilidad de los datos. Por ejemplo, si la varianza fuera muy pequeña y lahipótesis nula cierta, todas las hojas tendrían esencialmente el mismo largo por lo que seríaextremadamente raro observar hojas que tuvieran un largo mucho mayor que 10 cm. En elcaso de una diferencia de .2 cm., y si hay poca variabilidad, lo más seguro es querechazaríamos la hipótesis nula de que el largo promedio de las hojas es 10 cm. a favor de laalternativa de que el largo promedio es mayor de 10 cm.SI la varianza de los datos fuera muy grande y la hipótesis nula fuera cierta, podríamosobservar hojas con una gran variedad de largos, por lo que obtener una media para el largo de100 hojas mayor o igual a 10.2 sería un evento muy común. En esta situación norechazaríamos la hipótesis nula. La Gráfica I-1 muestra el significado que tiene el observar unvalor de X¯ igual a 10.2 cm., aún cuando ambas distribuciones tienen la misma media© 2004-2007 PJ Rodríguez Esquerdo