FÍSICA ESTADÍSTICA-PCF TAREA 5 Fecha de entrega viernes 20 ...

FÍSICA ESTADÍSTICA-PCFTAREA 5Fecha de entrega viernes 20 de abril del 20121. Muestra que la ecuación de estado de un gas ideal de Bose puede ser escritacomo la expansión del virial:P l 3k B T = 1 − 1 ( ) 3 ( λ 14 √ +2 l 8 − 2 ( ) 6 λ9 3) √ + . . .ldonde l 3 ≡ V/N.2. Considera un gas ideal (no hay interacción entre partículas) de bosones de masam y con grados de libertad internos, de tal modo que cada bosón puede ser pensadocomo un átomo de dos niveles. En el estado de mínima energía los bosonestienen una energía ε 0 = p 2 /2m mientras que en los estados excitados tienen unaenergía ε 1 = p 2 /2m + ∆, donde p denota el momento de cada partícula y deltaes una energía característica constante. Suponga k B T ≪ ∆. Calcule la temperaturacrítica de condensación Bose-Einstein. Compara el resultado obtenidocon el caso cuando no existe el grado de libertad interno.3. Condesados de Bose-Einstein de gases atómicosConsideramos un gas ideal de bosones sin espín, de masa m y no relativista enun potencial externo U(r).a) Usa la aproximación semiclásica para calcular la densidad de estados deenergía de una partícula en el potencial U(r)∫g(ε) = 2π(2m)3/2 d 3 r √ ε − U(r) θ(ε − U(r))h 3donde θ(x) es la función de Heaviside. [Pista: escribe el HamiltonianoH(p, r) para una sola partícula]. En el caso de bosones confinados en unacaja de volumen V , ¿cuál es U(r)? En este caso encuentra la expresiónusual para g(ε).b) Considera U(r) como el potencial de un oscilador armónicoU(r) = 1 2 mω2 r 2 . (1)Calcula g(ε). La integral ∫ 10 du u2 (1 − u 2 ) 1/2 = π/16 puede ser de utilidad.c) Verificar que con una elección apropiada del cero de energía, el potencialquímico se puede elegir de tal modo que se anula en la transición de Bose-Einstein. Calcula la temperatura crítica de condensación Bose-Einstein. Enel experimento de Mewes et al. [Physical Review Letters, Vol. 77 pág. 416(1996)], N = 15 × 10 6 átomos de sodio están confinados en una trampamagnética, su energía potencial corresponde a la de un oscilador armónico

de tres dimensiones de frecuencia ω = 2π×122 Hz. ¿Cuál es la temperaturade transición? (En los experimentos la trampa es asimétrica y ω es un valorpromedio).d) Considerando ahora un potencial de energía arbitrario, muestra que paraT = T c la densidad de partículas como función de r está dada porn(r) = 2π(2m)3/2h 3∫ ∞U(r)dε[ε − U(r)]1/2.e βε − 14. La densidad de estados g(ε) para un gas ideal de Bose está dada por:g(ε) = ε 2 /ε 3 0, (2)donde ε 0 es una escala de energía característica del sistema. Calcula la temperaturacrítica de condensación Bose-Einstein.5. El gas de mesones π.En éste problema usamos un sistema de unidades donde = c = k B = 1El mesón π es un bosón sin espín, el cual puede existir en alguno de los tresestados de carga: π + , π 0 y π − . Suponga que su masa es cero, la cual es unabuena aproximación a temperaturas suficientemente altas. Por lo tanto, nosencontramos en el caso ultra-relativista donde la relación de dispersión es dadapor ε p = |p| = p. Se pretende estudiar las propiedades en equilibrio de un gasde mesones π a temperatura T = 1/β con potencial químico cero (¿Por qué elpotencial químico para un bosón sin masa es necesariamente cero?).a) Expresa el logaritmo de la gran función de partición en términos de T yV . (Pista: Integra por partes). Expresa la presión P (T ) y la densidad deenergía ɛ(T ) como función de T .b) Da la expresión para el calor específico a volumen constante por unidad devolumen. Obtén a partir de este resultado la densidad de entropía s(T ).Calcula la densidad de partículas n(T ) y muestra que las densidades enn(T ) y s(T ) son proporcionales, es decir,s(T ) =2π4 n(T ).45ζ(3)c) Calcula el promedio de energía por partícula y muestra que para este gas,la aproximación clásica, no es válida para toda temperatura.