SERIE DE PROBLEMAS II FÍSICA ESTADÍSTICA-PCF Gases de ...

SERIE DE PROBLEMAS II FÍSICA ESTADÍSTICA-PCFGases de Bose1. Considera que la densidad de estados de energía de una partícula está dada porg(ε) = ε 2 /ε 3 0, (1)donde ε 0 es una escala de energía característica del sistema. Si se considera unsistema de N de estas partículas satisfaciendo la estadística de Bose-Einstein:a) ¿Existe una temperatura crítica de condensación Bose-Einstein distinta decero? En caso afirmativo calcule dicha temperatura.b) ¿Cómo espera que sea la dependencia de la fracción de partículas en elestado de mínima energía N 0 /N con la temperatura?c) ¿Qué valor del calor específico a volumen constante se espera en el límitede altas temperaturas?2. Muestra que la ecuación de estado de un gas ideal de Bose puede ser escritacomo la expansión del virial:P l 3k B T = 1 − 1 ( ) 3 ( λ 14 √ +2 l 8 − 2 ( ) 6 λ9 3) √ + . . .ldonde l 3 ≡ V/N.3. Condesados de Bose-Einstein de gases atómicosConsideramos un gas ideal de bosones sin espín, de masa m y no relativista enun potencial externo U(r).a) Usa la aproximación semiclásica para calcular la densidad de estados deenergía de una partícula en el potencial U(r)∫g(ε) = 2π(2m)3/2 d 3 r √ ε − U(r) θ(ε − U(r))h 3donde θ(x) es la función de Heaviside. [Pista: escribe el HamiltonianoH(p, r) para una sola partícula]. En el caso de bosones confinados en unacaja de volumen V , ¿cuál es U(r)? En este caso encuentra la expresiónusual para g(ε).b) Considera U(r) como el potencial de un oscilador armónicoU(r) = 1 2 mω2 r 2 . (2)Calcula g(ε). La integral ∫ 10 du u2 (1 − u 2 ) 1/2 = π/16 puede ser de utilidad.

c) Verificar que con una elección apropiada del cero de energía, el potencialquímico se puede elegir de tal modo que se anula en la transición de Bose-Einstein. Calcula la temperatura crítica de condensación Bose-Einstein. Enel experimento de Mewes et al. [Physical Review Letters, Vol. 77 pág. 416(1996)], N = 15 × 10 6 átomos de sodio están confinados en una trampamagnética, su energía potencial corresponde a la de un oscilador armónicode tres dimensiones de frecuencia ω = 2π×122 Hz. ¿Cuál es la temperaturade transición? (En los experimentos la trampa es asimétrica y ω es un valorpromedio).d) Considerando ahora un potencial de energía arbitrario, muestra que paraT = T c la densidad de partículas como función de r está dada por4. El gas de mesones π.n(r) = 2π(2m)3/2h 3∫ ∞U(r)dε[ε − U(r)]1/2.e βε − 1En éste problema usamos un sistema de unidades donde = c = k B = 1El mesón π es un bosón sin espín, el cual puede existir en alguno de los tresestados de carga: π + , π 0 y π − . Suponga que su masa es cero, la cual es unabuena aproximación a temperaturas suficientemente altas. Por lo tanto, nosencontramos en el caso ultra-relativista donde la relación de dispersión es dadapor ε p = |p| = p. Se pretende estudiar las propiedades en equilibrio de un gasde mesones π a temperatura T = 1/β con potencial químico cero (¿Por qué elpotencial químico para un bosón sin masa es necesariamente cero?).a) Expresa el logaritmo de la gran función de partición en términos de T yV . (Pista: Integra por partes). Expresa la presión P (T ) y la densidad deenergía ɛ(T ) como función de T .b) Da la expresión para el calor específico a volumen constante por unidad devolumen. Obtén a partir de este resultado la densidad de entropía s(T ).Calcula la densidad de partículas n(T ) y muestra que las densidades enn(T ) y s(T ) son proporcionales, es decir,s(T ) =2π4 n(T ).45ζ(3)c) Calcula el promedio de energía por partícula y muestra que para este gas,la aproximación clásica, no es válida para toda temperatura.5. Discuta la “equivalencia termodinámica” entre el gas ideal de bosones y elgas ideal de fermiones, unidimensionales atrapados en un potencial armónicocaracterizado por la frecuencia ω (el espectro de energía de una partícula esε n = ω(n + 1/2)).[Establezca la relación entre los potenciales químicos µ B , µ F . Muestre que lasenergía internas difieren en una constante, ¿cuál es esa constante?]

10. Equilibrio foton-electron-positron en una estrellaEn una estrella, la densidad de electrones fluctúa a causa de la creación yaniquilación de pares (e + , e − ). Por lo tanto las densidades de los electrones (n − )y positrones (n + ) son variables internas cuya diferencia (n − − n + ) permanececonstante e igual a un cierto valor n 0 , que es determinado por la evoluciónprevia de la estrella.a) Asumiendo un equilibrio químico en la estrella,γ ⇆ e − + e +escribe la relación que fija la diferencia en los potenciales químicos parapositrones y electrones.b) Considera primero la situación en la que la tasa de creación de pares es baja,es decir, el régimen de baja temperatura k B T ≪ mc 2 . Sin embargo, supónque la temperatura es lo suficientemente alta para evitar que se formenátomos. Bajo estas condiciones, los electrones y los positrones forman dosgases ideales clásicos (no degenerados). Expresa las densidades, n − y n +en equilibrio en términos de n 0 y T .c) Considerando ahora el régimen k B T ≫ mc 2 : los gases de electrones y positronesahora son gases ideales de Fermi ultrarelativistas y degenerados.Además, la tasa de producción de pares es tan alta que se puede ignorarla densidad de electrones inicial n 0 . Esto significa que las densidades deelectrones y positrones es la misma, n − = n + . Verifica que µ + = µ − = 0 ycalcula las densidades n + y n − . Muestra que la densidad de energía ɛ(T )de un gas de electrones (o positrones) tienen la misma dependencia en latemperatura como un gas fotonesɛ(T ) = αT 4 .